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上海市虹口区2012届高三4月(二模)质量监控测试数学(理

时间:2014-08-28


虹口区 2011 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试 卷(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
1、 已知集合 M ? x ( x ? 5)(x ? 2) ? 0 ,N ? x 1 ? x ? 5 , 则M ? N ? 2、设 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则

r />?

?

?

?



2 ? z2 ? z

. .

3、 若非零向量 a 、b , 满足 a ? b , 且 (2a ? b) ? b ? 0 , 则 a 与 b 的夹角大小为 4、若等比数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 9n ,则公比 q ? .

5、 一平面截一球得到直径为 2 的 圆面, 球心到这平面的距离为 3, 则该球的体积是 6、如果 ( x ? 是 . .



1 n ) 展开式中,第 4 项与第 6 项的系数相等,则该展开式中,常数项 的值 x

x2 y2 ? 1 的焦距为 2 6 ,则实数 t ? 7、已知椭圆 2 ? 5t t
8、随机变量 x 的分布如图所 Ex ? .

x
p

0

1

2

3













0 .1

0 .3

2a

a

9、圆 ? ? 2 cos( ? ?

?
4

) 的圆 心的极坐标是



10、执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值是



开始

输入

A

p ?1, S ?1

S?A




p ? p ?1
结束

S?S?

1 p

输出 P
[来源:Zxxk.Com]

11、从{1,2,3,4,5,6}中随机选一个数 a ,从{1,2 ,3}中随机选一个数 b ,则 a ? b
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

的概率等于

. .

12、在 ?ABC 中,边 BC ? 2 , AB ? 3 ,则角 C 的取值范围是

13、函数 f ( x) ? ?

2 ? ?x ? 4x x ? 0 ,则不等式 f (2 ? x 2 ) ? f ( x) 的解集是 2 ? x?0 ?4 x ? x



14、 a, b ? R , a ? b 且 ab ? 1 ,则

a2 ? b2 的最小值等于 a ?b



二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、命题 A :若函数 y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图像不经过第四象限.那么命 题 A 的 逆命题、否命题、逆否命题这三个命 题中假命题的个数是( )
[来源:学科网]

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

16、在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x) 的图像与 y ? e x 的图像关于直线 y ? x 对称, 而函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像关于 y 轴对称,若 f (a) ? ?1 ,则 a 的值是 ( )

A. ? e
2

B. ?

1 e

C. e

D.

1 e

y2 ? 1 上一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,若 PF1 : PF2 ? 3 : 2 , 17、 P 为双曲线 x ? 12
则 ?PF 1 F2 的面积是( )

A. 6 3

B. 12 3

C. 12

D. 24

18、等差数列 ?an ? 中 ,如果存在正整数 k 和 l ( k ? l ) ,使得前 k 项和 S k ?

k ,前 l 项和 l

Sl ?

l ,则( k



A. S k ?l ? 4

B. S k ?l ? 4
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

C . S k ?l ? 4

D. S k ?l 与 4 的大小关 系不确定

三、解答题(满分 74 分)

19、 (本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 6 ,用过 A1 , B , C1 三点的平面截去长方体的一个角后, 留下如图的几何体, 且这几何 D1 体的体积为 120. (1)求棱 AA1 的长; ( 2)求点 D1 到平面 A1 BC1 的距离.
A A1 D C C1

20 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 f ( x) ? m ? n , 其 中

B

m ? (2 cos x, 1) , n ? (cos x,

3 sin 2x) ( x ? R) .

(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A) ? 2 , b ? 1 , ?ABC

面积为
[来源:学+科+网]

3 3 ,求:边 a 的长及 ?ABC 的外接圆半径 R . 2

21、 (本题满分 14 分)已知:曲线 C 上任意一点到点 F (1, 离相等. (1)求曲线 C 的方程;

0) 的距离与到直线 x ? ?1 的距

(2)如果直线 y ? k ( x ? 1) 交曲线 C 于 A 、 B 两点,是否存在实数 k ,使得以 AB 为直径 的圆经过原点 O ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

2 22、 (本题满 分 18 分) 已知: 函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) , 在区间 [2,

3]

上有最大值 4,最小值 1,设函数 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 x ? 1 ) ? t ? ( 取值范围.

4 2x ?1

? 3) ? 0 有三个相异的实数根,求实数 t 的

[来源:学。科。网]

23 、 (本题满分 18 分)如图,平面直角坐标系中,射线 y ? x ( x ? 0 )和 y ? 2 x ( x ? 0 )

上分别依次有点 A1 、 A2 , ……, An ,……, 和点 B1 ,B2 , ……,Bn ……, 其中 A1 (1, 1) , 且 OAn ? OAn?1 ? 2 , Bn Bn ?1 ? B1 (1, 2) ,B2 (2, 4) . (1)用 n 表示 OAn 及点 An 的坐标; (2)用 n 表示 Bn Bn?1 及点 Bn 的坐标; (3)写出四边形 An An?1 Bn?1 Bn 的面积关于 n 的表达式 S (n) ,并求 S (n) 的最大值.

1 Bn ?1 Bn (n ? 2,3,4 ……) . 2

y

Bn+1 Bn An A2 An+1

B2 B1 A1

O

x

虹口区 2011 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试卷答案(理科)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 x 1 ? x ? 2 ; 6 、70; 10、4;

[来源:Zxxk.Com]

?

?

2、 1 ? i ;

3、 120 ? ;

4、3;

5、

40 10? ; 3

7、2,3,6; 11、

8、 1 . 7 ;

9、 (1,

?
4

);
14、 2 2

2 ; 3

12、 (0,

?
3

];

13、 (? 2, 1) ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、C; 16、B ; 17、C; 18、A; 三、解答题(满分 74 分) 19、 (12 分) (1)设 AA1 ? h , V ? 6 ? h ?
2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1 1 2 ? ? 6 ? h ? 120 3 2

z D1 C1

? AA1 ? h ? 4 …………4 分
(2)如图建立空间直角坐标系, 则 A1 (6,
A1

0, 4) ,

B(6, 6, 0) , C1 (0, 6, 4) ,
A

D C y

D1 (0, 0, 4) .
设 平 面 A1 BC1 的 法 向 量 为 n ? ( x,

B

y, z) ,

x

? A1 B ? (0, 6, ? 4) ,
?6 y ? 4 z ? 0 得 n ? (2, 2, 3) …………8 分 A1C1 ? (? 6, 6, 0) ,由 ? ?? 6 x ? 6 y ? 0
又 BD1 ? (? 6,

? 6, 4) ,? d ?

BD1 ? n n

?

12 17 …………12 分 17

20、 ( 12 分) (1) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
2

?
6

) ? 1 …………2 分

T ? ? ………………3 分
单调递增区间 [ k? ? (2) f ( A) ? 2 sin( 2 A ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) ……………4 分 )?

?
6

) ? 1 ? 2 ,由 sin( 2 A ?

?
6

? 1 ,得 A ? ………… 6 分 3 2

1 ? 3 3 ,? c ? 6 …………8 分 ? 1 ? c ? sin ? 2 3 2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

a ? 12 ? 6 2 ? 2 ? 1 ? 6 ?
a ? sin A 31 sin

1 ? 31 …………10 分 2
93 …………12 分 3

2R ?

?
3

,? R ?

21、 (14 分) (1) y 2 ? 4 x …………4 分 (2)将 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 …………8 分
网 Z#X#X#K]

[来源:学#科#

记 A( x1 ,

y1 ) , B( x2 ,

y 2 ) ? x1 x2 ? 1 , x1 ? x 2 ?

2(k 2 ? 2) ,…………10 分 k2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? ?4 …………12 分

? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 ? 0 , OA ? OB ? 0 ,? 以 AB 为直径的圆不经过原点 O ,
不存在满足条件的 k .…………14 分 22、 (18 分) (1) g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ,由题意得:
2

?a ? 0 ?a ? 1 ? 1? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 得? , 或 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4 ?b ? 0 ?
去)

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 2 ? ? g ( 2) ? 1 ? b ? 4 得? (舍 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1 ?b ? 3 ? 1 ?

? a ? 1 , b ? 0 …………4 分
1 ? 2 …………5 分 x 1 2 1 1 x x (2)不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 ,即 2 ? x ? 2 ? k ? 2 ,? k ? ( x ) ? 2 ? ( x ) ? 1 ……9 2 2 2

g ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 , f ( x) ? x ?

分 设t ?

1 1 ? [ , 2] ,? k ? (t ? 1) 2 ,? (t ? 1) 2 min ? 0 ,? k ? 0 …………11 分 x 2 2

(3) f ( 2 x ? 1 ) ? t ? (

4 2 ?1
x

? 3) ? 0 ,即 2 x ? 1 ?

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

x 2 令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ? 0 (?) …………13 分

记方程 (?) 的根为 u 1 、 u 2 ,当 0 ? u1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? (u) ? u 2 ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ,由题可知,

? ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .…………16 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?

??

1 ? t ? 0 时满足题设.…………18 分 4

23、 (18 分) (1)? OAn ? OA1 ? (n ? 1) 2 ?

2 ? n ……………2 分

? An (n, n) …………4 分
(2) Bn Bn ?1 ?

1 1 Bn ?1 Bn ? 5 ? ( ) n ?1 …………7 分 2 2 1 1 1 OB n ? OB1 ? B1 B2 ? ? ? Bn ?1 Bn ? 5 ? 5[1 ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? 5[3 ? ( ) n ? 2 ] 2 2 2

1 1 ? Bn (3 ? ( ) n ? 2 , 6 ? ( ) n ?3 ) …………10 分 2 2
(3) tan ?An ?1OB n ?1 ?

2 ?1 1 10 ? ,? sin ?An?1OBn?1 ? …………12 分 1 ? 1? 2 3 10

?
……………………15 分

3?n ,? n ? 4 时, S (n) 单调递减. 2n 3 7 27 又 S (1) ? , S (2) ? ? S (3) ? S (4) ? . 2 4 16 7 ? n ? 2 或 3 时, S (n) 取得最大值 …………18 分 4

? S (n) ? S (n ? 1) ?


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