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从结论入手巧探立几证题途径举例


: 分 析 由 题 意知 以 尸 A 尸 B 尸 C 为 棱 构 造

,





解 立 几 题 根 据 相 应 的 公 式 进 行 计 算是 最
基 本 的方 法 但 仅仅 依 靠 这 些 还 是 远 远 不 够 的 目的
.

,

/>正 方 体 则 正 方 体 内 接 于球 ( 因 正 方 体 中 心 到 八
,

,

,

个 顶 点距 离 相 等 正 方 体 中 心 为球 心 ) 而 正 方
,

,

往 往 还 要 借 助 一 定 的 变换 才 能达到顺 利 解 题 的
以 上 所 提及 的 图 形 变换 一 定 要 引 起 重
,
.

体对 角线

A D 二

了了
,



,

故 球 的直 径 为 厂丁.a
,
.

从而 S =


4二 R

=


3二


,

再 如 平 移 旋 转 对 称等 变 换 在解 立 几题
时 有 时 也 要 应用 这 里 就 不 再 赘述 了
,
.

井甘泊必撬蜘藏条夯熊豁琳殉沙朴价

.

魏 正清

达 凡 乡含

论 夕 手 巧 探 立 J 七勺毛题 途 形乏举 例




立体 几何 中 有 关 平行
,

,



与 垂直 的证 明
.





~

0 6
E




,

将 此 形 所 在平 面 沿 B D 折 成 直 二 面 角 分别 是
:

.

问 题 既 是 教 学 的 重 点 又 是 难 点 本 文 从结 论
,





F

BD



AC

的 中点

.

人手
直线 且
a



,

利 用 反 向思 维 巧 探 立 几 证题 途 径
已知

,

,

.

求证

B D EF

EF



AC

与 B D 的距离
AC

.

例 1
,

a



b

是异面
,

: 分析 要证 EF 是


A

BD AC

的距离 只要 的中点 E 是
B
,

,

a

土 平面
,

,

b

土 平面夕
a `



AC


,

EF



BD ( F



必月
A

b


,

a

A B 为


,

b

的 中点 ) 只要证 △ E C
.

与 △F D

均为 等

的公 垂线段

Q

门 夕~
,



腰 三角形



: `

/

.B
:

只要 证 E C 一 E A F D ~
1)
a


,

F

B .
,

分析 ( 如 图
:

要证 的 公垂

显然 由 ( a ) 图知 E C 一 E A
.

,

/
,

AB (A B
`

为 与
、 |

b

又 △ A C B 望 △ A C D 知 对应 边 上 中 线相

线 ) 只要 证
a

a



b

都垂 直

` C c
万 、 ` , 电 . 孑 J

等 则

,

FD ~

F

B .
.



a

b
a

上 月 门 月=


ó



因此 E F 是 A C 与 B D 的 距 离
例 3

b
a



如图

3

,

已知 尸 A

垂直 于矩形
, 、, J 、 ` 几

ABCD AB

所在 平





土 平面 y (
A

) 与 夕 确定 y
,

l



,

M N 分 别是
.



P C 的

’ 土 月则 夕 / 作 b

b冷 A B

土 平面

y

中点



:

/

AB

.

求证 材 N 土
分 析
A B (M
.

:

A

B .
,

:

要 证 材N 土

是 的 中点 ) 只 要 证 △ A N B 为 等腰 三角 形 只要证 N A ~ N . B
A B

显 然 R t △ 尸A C 中 N A ~
,

,

~ 二,

1

。 。
2一 七






尸A

土 平面
BC

AC
,

,

CB 土 B A 一

知 R t△ P
例 2

中 N“
,



尸c
.

如 图 2 已 知 口 A B C D 的 一 个锐 角
,

A

于是 N

A -

N B 故 MN 土 AB

例 4

如图
B C D
,

4

,

已 知直 四
BCD

但 易知
.

BO

土 平面 I A

ACC

`

,

故 只要 证

F G

棱 柱 A

`

`

`

`

一A



/

BO

底 面 是 菱形 且 面 积 为
2
e 了了 m
Z
,

而由
。 ,

乙刀 =
`

60





F

分 别是棱 Cc
点 且 EC ~
,

与 B B I 上的



G 里 乙 .L 乙 o
~

1 。



二一

一o

/

n 。
r
,



,

翔 四 理 形 口力厂
.

~ ` 。

八。 。 。

U

B C 一 2尸 .B
A EF



4
,

是平 行 四 边 形 从 而
, , ,

F G

/

BO
,

由 上 可 见 不 拘 泥 于 常 规 的 判 定 方 法 转换 思 维角 度 从 结 论人 手 反 向探 索 可 快 捷 巧 妙
,
,


求证 平 面
` ` A A CC
.

:

土 平面

找 到 解 题 的 最 佳 途径 不 失 为一 重要 地 解 题 策 略
.

,

分析 取
A EF A ` A CC`
.

:

AE

中点 G 连 结
,

F G

要证平 面

上 平 面 ’A

A CC

`

,

只 要 证 FG 上 面

单 李盛 瘫如 必共公女 井价 羹 巷潇 着嘀 徐第 鉴

. 刘 志刚

两种 空 间 角的 求 孩
两 条 异 面 直 线 所 成 角 直 线 与 平 面所 成 角 二 面 角 是 三 种 空 间 角 本 文 对 前 两种 角 的 求 法 作 以 归 纳 总 结 供 复 习 参 考用 一 两 条异面 直线所 成角 这 种 角 的 基 本 求 法 是按 定 义 将 两 条 异 面 直 线 平 移 使其 相 交 化空 间 角 为 平 面 角 得 到
,
, , ,


,

2 ) ( ( 平移 两 次 ) 易 知 F C /
BG
.

A E

挤A
BG

l

/

,

,

.

,



F A

:


A
I

F C

所成 角就 是
F C

A E
,


~

所成
-

,

.

角 易求 得

F ~

了了
2
s

A Ic

了 万
一 ’1 5

,

由余 弦 定 理 求 得 c o

匕A

:

F C -


,

所 求角


.

但 异 面 直 线所 成 角 不 能 是 钝 角 故
1
I I

AE




I ,
,




,

体 是
1

B G

所成 角为
!

A B C D 一A B C D



E
;

棱 C 刀 的 中点 G 是 棱

A IB



中 汽 求下 列 各 角
.

.

:

: ( )A E 与 A C l

;


中点
F
,

( 3 ) ( 补形 法 ) 在 原 正 方



c o s

(一


Z

) -

·





1 5


体下 方 接 上 一 个 同 样 大 小 的
正方 体
:

A B C D一 A
I

(2) A E 与 B G
(3) A C 与 B C
I

;
I
.

凡c


Z

D

2

.

: 易知 CB / C

B

,



A IC



CB
AB

: 解 ( 1 ) ( 平移 一 次 ) 取

所 成 角就 是
.

A ,C
l

召C :
,

易知
.

A E

/

CF

,

: 故 匕A C F 是 A E 与

A IC

所 成 角 设 正方

所 成角 易 求 得
C召
2

A c 一

抓了

体棱 长 为

1

,

易 求得

=
I Z

丫万

,

A : 召2 =

了 万几
,

A l

;



F c



A c 奈l
I

,



·


。·
.



A C

I + C B墓 一 5 = A B呈

I : 得 匕A CB =

90



,



图 2

由余 弦 定 理 求 得 乙 、

F c

一 a r c

A



刀 与

B C

I

所成 角

·

, : ( 垂直 法 ) 连结 B C 由 A B

,

,

l 面

B e C ,刀,


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