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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(76)

时间:2013-10-23


加试模拟训练题(76)
1 2 以△ABC 的两边 AB,AC 向外作正方形 ABDE,ACFG。△ABC 的高为 AH。 求证:AH,BF,CD 交于一点。

M E G D B A K H C F

3.一次竞赛在 n(>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了

轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章.这个竞赛

共包括几轮?一共发了多少奖章?

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3.证明:恰好存在一个三角形,其三条边长为连续自然数,而且一个角的大小是另一个角的两倍.

4. 设 ax0 ? by0 为 形 如 a x ? b y( a, b 不 全 为 零 ) 的 整 数 中 最 小 的 正 数 , 证 明 : ?x, y ? Z , 恒 有

? ax0 ? by0 ? ? ax ? by ? 。

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加试模拟训练题(76)
以△ABC 的两边 AB, 向外作正方形 ABDE, AC ACFG。 △ABC 的高为 AH。 求证:AH, BF, 交于一点。 CD M 证 如图。延长 HA 到 M, 使 AM=BC。连 CM,BM。 E 设 CM 与 BF 交于点 K。 在△ACM 和△BCF 中, G AC=CF,AM=BC,∠MAC+∠HAC=180°,∠HAC+∠ HCA=90°, A D 并且∠BCF=90°+∠HCA, F K 因此∠BCF+∠HAC=180°,∠MAC=∠BCF。 从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。 B C H 所 以 ∠ MKF= ∠ KCF+ ∠ KFC= ∠ KCF+ ∠ MCF=90°, 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH,BF,CD 为△MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,CD 三线交于一点。 1
3.一次竞赛在 n(>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了

轮正好发了 n 枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮?一共发了多少奖章? 【题说】第九届(1967 年)国际数学奥林匹克题 6.本题由匈牙利提供.

即 (m-36) n-1=7n· ·6 (n-6) n-1 所以 6 |(n-6) 但 6n-1>n-6 所以 n=6,m=36 3.证明:恰好存在一个三角形,其三条边长为连续自然数,而且一个角的大小是另一个角的两倍. 【题说】 第十届(1968 年)国际数学奥林匹克题 1.本题由罗马尼亚提供. 【证】 设△ABC 的三边为 n+1,n,n-l(n 为自然数),∠C=2

AD=AB,于是 2AB=AB+AD>BC+CD=BC+AC,所以 AB=n+1. 由△DCA∽△DAB,得 DB·DC=AD2 因 DB=DC+BC=AC+BC=2n-1
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所以 AC×(2n-1)=(n+1)2 由于 n 不能整除(n+1)2.所以 AC=n-1. 由(n-1)(2n-1)=(n+1)2,解得 n=5

4. 设 ax0 ? by0 为 形 如 a x ? b y( a, b 不 全 为 零 ) 的 整 数 中 最 小 的 正 数 , 证 明 : ?x, y ? Z , 恒 有

? ax0 ? by0 ? ? ax ? by ? 。
解析: ?x, y ? Z , ?!q, r ? Z ,使 ax ? by ? ? ax0 ? by0 ? q ? r , 0 ? r ? ? ax0 ? by0 ? 。 若 r ? 0 ,则 0 ? r ? ? ax0 ? by0 ? ,且 r ? a ? x ? x0 q ? ? b ? y ? y0 q ? , 而 x ? x0 q 与 y ? y0 q 均为整数, 故 r 是比 ax0 ? by0 还要小的形如 ax ? by 的正整数。 这与 ax0 ? by0 的最小性矛盾。

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