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模块综合检测(C)


模块综合检测(C)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图所示,桌面上放着一个圆锥和一个长方体,其俯视图是(

)

2.如图所示,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如 果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为(

)

1 1 1 B. C. D. 2 3 6 3.直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则 m 等于( ) 1 1 A.1 B.2 C.- D.2 或- 2 2 4.直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同的交点,则 a 的 取值范围是( ) A.-3<a<7 B.-6<a<4 C.-7<a<3 D.-21<a<19 5.若 P 为平面 α 外一点,则下列说法正确的是( ) A.过 P 只能作一条直线与平面 α 相交 B.过 P 可能作无数条直线与平面 α 垂直 C.过 P 只能作一条直线与平面 α 平行 D.过 P 可作无数条直线与平面 α 平行 6.连接平面外一点 P 和平面 α 内不共线的三点 A,B,C,A1,B1,C1 分别在 PA,PB, PC 的延长线上,A1B1,B1C1,A1C1 与平面 α 分别交于 D,E,F,则 D,E,F 三点( ) A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.共线 7.在圆 x2+y2=4 上与直线 l:4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标是( ) 8 6 8 6 ? ? A.? B.? ?5,5? ?5,-5? 8 6? 8 6? C.? D.? ?-5,5? ?-5,-5? 8.过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行 的直线共有( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 2 2 2 2 2 9.若⊙C1:x +y -2mx+m =4 和⊙C2:x +y +2x-4my=8-4m2 相交,则 m 的取值 范围是( ) A.1

12 2? A.? ?- 5 ,-5? 12 2? C.? ?- 5 ,-5?∪(0,2)

B.(0,2) 12 ? D.? ?- 5 ,2?

10. 已知点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA 是圆 C: x2+y2-2x-2y+1=0 的切线, A 为切点,则|PA|的最小值为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 11.设 x+2y=1,x≥0,y≥0,则 x2+y2 的最小值和最大值分别为( ) 1 1 1 A. ,1 B.0,1 C.0, D. ,2 5 5 5 2 2 12.如果圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y)都能使 x+y+c≥0 成立,那么实数 c 的取 值范围是( ) A.c≥- 2-1 B.c≤- 2-1 C.c≥ 2-1 D.c≤ 2-1 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到 一几何体,∠BAC=30° ,则此几何体的体积为________.

14.P(0,-1)在直线 ax+y-b=0 上的射影为 Q(1,0),则 ax-y+b=0 关于 x+y-1=0 对称的直线方程为________. 15.由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A,B,∠APB=60° ,则 动点的轨迹方程为________. 16 . 如 图 所 示 的 是 正 方 体 的 表 面 展 开 图 , 还 原 成 正 方 体 后 , 其 中 完 全 一 样 的 是 ________.(填序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)求圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆 的方程.

18.(12 分)如图所示,在棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. 求证:(1)DM∥平面 APC; (2)平面 ABC⊥平面 APC.

19.(12 分)已知一个几何体的三视图如图所示,试求它的表面积和体积.(单位:cm)

20.(12 分)已知圆过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,求圆 的方程.

21.(12 分)已知△ABC 的顶点 A 为(3,-1),AB 边上的中线所在直线方程为 6x+10y- 59=0,∠B 的平分线所在直线方程为 x-4y+10=0,求 BC 边所在直线的方程.

2? 22.(12 分)已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.

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1.D 3.D 2.D

答案

4m-1 [令 y=0,则(2m2+m-3)x=4m-1,所以直线在 x 轴上的截距为 2 =1, 2m +m-3 1 所以 m=2 或 m=- .] 2 4.B [将圆的方程化为(x-a)2+(y+2)2=16. |4a+4| 圆心(a,-2)到直线的距离 d= . 5 ∵直线与圆有两个不同交点, |4a+4| ∴d<4,即 <4, 5 得-6<a<4,故选 B.] 5.D 6.D [因为 D,E,F 都在平面 A1B1C1 与平面 α 的交线上.] 7.A [经过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线的方程是 3x-4y=0.

?3x-4y=0, ? 解方程组? 2 2 得 ?x +y =4 ?

?x=5, ? 6 ?y=5

8

?x=-5, 或? 6 ?y=-5

8

8 6? 画出图形,可以判断点? ?5,5?是

8 6? 2 2 圆 x2+y2=4 上到直线 l 距离最小的点,点? ?-5,-5?是圆 x +y =4 上到直线 l 距离最大的 点.] 8.D

[如图所示,与 BD 平行的有 4 条,与 BB1 平行的有 4 条,四边形 GHFE 的对角线与面 BB1D1D 平行,同等位置有 4 条,总共 12 条,故选 D.] 9.C [圆 C1 和 C2 的圆心坐标及半径分别为 C1(m,0),r1=2,C2(-1,2m),r2=3. 12 2 由两圆相交的条件得 3-2<|C1C2|<3 + 2 ,即 1<5m2 + 2m+ 1<25 ,解得- <m< - 或 5 5 0<m<2.] 10.D [圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的半径为 1,要使|PA|最小,只需|PC|最小, |3+4+8| |PC|min= =3. 32+42 故|PA|min= 32-12=2 2.] 11.A [

x2+y2 为线段 AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, 1 O 到线段 AB 的距离的平方为最小值,即 d2= ,|OB|2=1 为最大值.] 5 12.C [对任意点 P(x,y)能使 x+y+c≥0 成立, 等价于 c≥[-(x+y)]max. 设 b=-(x+y),则 y=-x-b. |1+b| ∴圆心(0,1)到直线 y=-x-b 的距离 d= ≤1,解得,- 2-1≤b≤ 2-1. 2 ∴c≥ 2-1.] 5 13. πR3 6 4 解析 半圆旋转一周形成一个球体,其体积为 V 球= πR3,内部两个圆锥的体积之和为 3 1 1 ? 3 ?2 π V 锥= πCD2· AB= π· · 2R= R3, 3 3 ? 2 R? 2 4 3 π 3 5 3 ∴所求几何体的体积为 πR - R = πR . 3 2 6 14.x-y+1=0 解析 ∵kPQ· (-a)=-1,∴a=1,Q(1,0)代入 x+y-b=0 得 b=1,将其代入 ax-y+b =0,得 x-y+1=0,此直线与 x+y-1=0 垂直, ∴其关于 x+y-1=0 的对称的直线是其本身.

15.x2+y2=4 解析 在 Rt△AOP 中, ∵∠APB=60° ,∴∠APO=30° , ∴|PO|=2|OA|=2,动点的轨迹是以原点为圆心,2 为半径的圆,方程为 x2+y2=4. 16.(2)(3)(4) 解析 由正方体的平面展开图可得:(2)(3)(4)是相同的. 17.解 由于过 P(3,-2)垂直于切线的直线必定过圆心, 故该直线的方程为 x-y-5=0. ?x-y-5=0, ?x=1, ? ? 由? 得? ?y=-4x, ?y=-4, ? ? 故圆心为(1,-4),r= ?1-3?2+?-4+2?2=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 18.证明 (1)∵M 为 AB 的中点,D 为 PB 中点, ∴DM∥AP. 又∵DM?平面 APC,AP?平面 APC, ∴DM∥平面 APC. (2)∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 中点, ∴DM⊥PB. 又∵DM∥AP,∴AP⊥PB. 又∵AP⊥PC,PC∩PB=P,∴AP⊥平面 PBC. ∵BC?平面 PBC,∴AP⊥BC. 又∵AC⊥BC,且 AC∩AP=A, ∴BC⊥平面 APC. 又∵BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 APC. 19.解 由三视图可知,该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体,则圆 1?2 1 台的高为 h′=1 cm,上底半径为 r= cm,下底半径为 R=1 cm,母线 l 为 12+? ?1-2? = 2 5 1 (cm),圆柱的底面半径为 R=1 cm,高 h 为 cm, 2 2 ∴该几何体的体积为 V=V 圆台+V 圆柱 1 1 1 1 1 = (S 上+S 下+ S上· S下)h′+S 底面· h= ?π×? ?2+π×12+ π×? ?2×π?×1+π×12× 3 3? ?2? 2 ?2? ? 13 3 = π(cm ). 12 1? 2 2 ? 1? 该几何体的表面积为 S 表面 = πr2+ πR2+ π(R + r)· l+2πRh = π×? ?2? +π×1 + π×?1+2? 5 1 9+3 5 × +2π×1× = π(cm2). 2 2 4 9+3 5 13 ∴该几何体的体积为 πcm3,表面积为 πcm2. 12 4 20.解 方法一 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将 P,Q 坐标代入①得 ?4D-2E+F=-20 ② ?
? ? ?D-3E-F=10
2



令 x=0,由①得 y +Ey+F=0 ④ 据题设知|y1-y2|=4 3,其中 y1,y2 是④的两根. 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2 =E2-4F=48 ⑤ 解由②③⑤组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12 或 D=-10,E=-8,F=4.

故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0. 方法二 易求 PQ 的中垂线方程为 x-y-1=0 ① 因为所求圆的圆心 C 在直线①上, 故可设其坐标为(a,a-1). 又圆 C 的半径 r=|CP|= ?a-4?2+?a+1?2 ② 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3,而点 C 到 y 轴的距离为|a|, 4 3?2 ∴r2=a2+? , ? 2 ? 2 将②式代入得 a -6a+5=0. 所以有 a1=1,r1= 13或 a2=5,r2= 37,即 (x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37. 21.解 设 B(4y1-10,y1), 由 AB 中点在 6x+10y-59=0 上, 4y1-7 y1-1 可得:6· +10· -59=0,y1=5, 2 2 所以 B(10,5). 设 A 点关于 x-4y+10=0 的对称点为 A′(x′,y′), x′+3 y′-1 ? ? 2 -4· 2 +10=0 则有? y′+1 1 =-1 ?x′-3· 4 ?

?A′(1,7),

∵点 A′(1,7),B(10,5)在直线 BC 上, y-5 x-10 ∴ = , 7-5 1-10 故 BC:2x+9y-65=0. 4 22.(1)证明 ∵圆 C 过原点 O,∴r2=t2+ 2. t 2 4 y- ?2=t2+ 2, 设圆 C 的方程是(x-t)2+? ? t? t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0, t 得 x1=0,x2=2t. 4? 1 1 ∴S△OAB= OA×OB= ×? ×|2t|=4, 2 2 ? t? 即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵OM=ON,CM=CN, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x. 2 2 1 ∴ = t.解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5, 1 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,

此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

9 > 5, 5


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