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高中数学复习 函数及其基本性质人教版必修1


第6讲

函数及其基本性质

1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数 (正比例函数)、二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类. 各类函数的五大性质:①定义域;②值域(最值、 极值、边界);③周期性;④奇偶性(对称

性);⑤单调性,是高考的重点与热点,是试卷
命题的中心,也是

体现考试说明中抽象概括能力、 推理论证能力及运算求解能力的良好载体,试题 多不会趋向简单.

2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一 般方法和规律,按照“定义—定义域、值域—图 象—性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微 观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律. 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分,是高 考考查的重点,其中定义域、单调性、奇偶性、 周期性等几乎是每年必考,常常是将这些知识点 与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融 合,以填空题的形式进行考查.对于函数定义域, 还常常隐性地进行考查,因为研究函数的性质以 及其他问题时,必须首先研究函数的定义域.函数 的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体,在 研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.

4.以函数知识为依托,渗透基本数学思想方法.
函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程,包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试 卷,从老版本教材到新课标教材,选择填空题, 解答题均有涉及,以基本函数为背景的应用题和

综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材.
备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想 方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载 体,除应熟悉常见函数图象外,还应加强函数与 方程、图象与曲线的区别与统一性认识,加强对 图象与图象变换的理解与应用.

5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识
和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提

供了良好的载体.函数知识与社会现实,经济建
设,科技发展密切相关,以社会热点为背景,考

查函数应用题,有利于培养学生应用数学的意
识,有助于提高学生应用数学的能力和创新实践

能力.纵观08、09年高考试卷中,山东、广东、江
苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体

现.

【例1】(2008·山东)已知f(3x)=4xlog23+233,则

f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值等于
分析

2 008

.

首先由题设求出f(x)表达式,进而研究待 ∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,

求和式的规律. 解析 ∴f(x)=4log2x+233,

∴f(2)+f(4)+?+f(28)
=4(1+2+?+8)+233×8 =2 008.

探究拓展

当题设中,f(x)解析式未明确,而由条

件可求时,应首先依相关知识确定f(x)的解析式, 这是各个加数的“通项公式”,而规律往往蕴含 于其中,备考中要注意体会与掌握. 变式训练1 已知函数f(x)>0,对任意x,y有

f(x+y)≤2f(x)·f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则
f (2) f (4) f (2 004) f (2 006) f (2 008) ? ??? ? ? ? 1 004 f (1) f (3) f (2 003) f (2 005) f (2 007)

.

解析

2 f(x)f(y)≥f(x+y)=f 2(x)+f 2(y) ?
f ( x) ?1? f ( y)

? [f(x)-f(y)]2≤0? f(x)=f(y) ?

要求的值为1 004.

【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是
偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的 解析式f(x)= 分析 . f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x),

结合另一条件,可求出待定系数a、b.

解析

∵f(-x)=f(x)且

f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2 =bx2-(2a+ab)x+2a2, ∴-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0,∴a=0或b=-2.

当a=0时,f(x)=bx2,∵f(x)值域为(-∞,4],

而y=bx2值域不可能为(-∞,4],∴a≠0.
当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2]. ∴2a2=4,∴a2=2.∴f(x)=-2x2+4. 答案 -2x2+4 探究拓展 本题实质以偶函数定义为条件构造了

一个“恒成立问题”,即f(x)为偶函数?? x∈R, ?? f(x)=f(-x)恒成立,即?x∈R,(2a+ab)x=0恒成立, ? 这又迫使x的系数2a+ab为零,以满足x取值的“任 意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数” 来构造.

变式训练2
a,c的值. 解

(2008·北京)已知函数 f(x)=x3

+ax2+3bx+c (b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数,求

因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,

所以,对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),

即f(-x)-2=-f(x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
?a ? ? a , 所以? ?c ? 2 ? ?c ? 2.

解得a=0,c=2.

x)= 【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只 有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 010,2 010]

上的根的个数,并说明你的结论.
分析 由条件可得f(x)是周期函数,

依规律探寻[-2 010,2 010]上方程根的个数, 注意考查清楚目标区间包含多少周期. 解 (1)由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5).

? 而f(5)≠0?f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函数.

又f(x)在[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0. 从而知函数y=f(x)不是奇函数. 故函数y=f(x)是非奇非偶函数.

? f (2 ? x) ? f (2 ? x), ? f ( x) ? f (4 ? x), (2)? ?? ? f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10),
从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0,

∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有2个根,从 而可知函数y=f(x)在[0,2 000]上有400个根,

在[2 000,2 010]上有2个根,在[-2 000,0] 上有400个根,在[-2 010,-2 000]上有2个根,

所以方程f(x)=0在[-2 010,2 010]上有804个根.
探究拓展 本题考查抽象函数的奇偶性、周期性

等函数性质,利用周期性求方程根的个数.对抽象
函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋

势.解题的关键是:合理赋值,化抽象为具体,由
此探究函数的性质.

变式训练3

设f(x)定义如下面数表,{xn}满足
010的

x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn),则x2 1 值为 . x f(x) 解析 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2

∵x0=5,∴x1=f(x0)=f(5)=2,

x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1, 可见数列{xn}周期为4,∴x2
010=x2=1.

【例4】定义在(0,+∞)上的函数f(x),对于任意
的m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,且

当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;

(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(3)比较 f (
m?n f ( m) ? f ( n ) 的大小. )与 2 2

分析

赋值法求出f(1)=0,单调性的证明紧扣条

件,依靠定义完成.比较大小可根据单调性作出结 论. (1)解 令m=n=1,则有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.

(2)证明

设x1>x2>0,∵f(mn)=f(m)+f(n),

∴f(x1)-f(x2)= f (

x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) x2 x1 x1 ? f ( ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( ). x2 x2 x1 ? x1 ? x2 ? 0,? ? 1. x2 x1 ? f ( ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ). x2
?( m ? n ) 2 ?, f? ? ? 2 ?

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (3)解 ? f ( m ? n ) ? f ( m ? n ) ? 2 2 m?n 1 ? m?n 2? ?f( ) ? f ?( ) ?. 2 2 ? 2 ?

f ( m) ? f ( n) 1 又 ? f (mn), 2 2 m?n 故只需比较 ( ) 与mn的大小. 2 m?n ?( ) ? mn(当且仅当m ? n时取值等号), 2 又 ? f ( x)在(0,??)上是减函数, m?n f ( m) ? f ( n) ?f( )? (当且仅当m ? n时取等号). 2 2
2 2

探究拓展

(1)抽象函数是近几年来高考考查的

一个重点,在近几年的高考试题中经常出现,因 此也是一个热点. (2)抽象函数的背景函数常见形式如下:

①f(x+y)=f(x)f(y),其背景函数为f(x)=ax (a>0,且
a≠1); ②f(xy)=f(x)+f(y),其背景函数为f(x)=logax(a>0, 且a≠1); ③f(x+y)=f(x)+f(y),其背景函数为f(x)=kx; x? y x? y ④f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( )f( ), 其背景函数为 2 2 f ( x) ? cos x. 变式训练4 定义在R上的函数f(x)满足 f(x+y)

=f(x)+f(y)+2xy (x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)= .

解析

令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2n? ?

f(n+1)-f(n)=2n+2?f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n?

1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+?+[f(2)-f(1)]
+f(1)=[2(n-1)+2]+[2(n-2)+2]+?+[2×1+2]

+2= 2 ? ?(n ? 1) ? 1?? (n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 ? n ? n ? f (?3)
2

2

? (?3)2 ? 3 ? 6.
答案 6

a 1 【例5】已知a>0且f(logax)= 2 ( x ? ). a≠1, a ?1 x

(1)求f(x);

(2)判断f(x)的奇偶性和单调性;
(3)若函数f(x)定义在(-1,1)时,有f(1-

m)+f(1-m2)<0,求m的集合M.
分析 (1)换元法求f(x).(2)依奇偶性和单调性的

定义来解.(3)若将不等式具体化将是十分麻烦
的,紧扣性质解题,可使过程优化.



(1)令t=logax,则x=at.

a 1 (x ? ) 代入f(logax)= 2 a ?1 x

a (a t ? a ?t ). a2 ?1 ∴函数解析式为 f ( x) ? a (a x ? a ? x )( x ? R). a2 ?1 (2)对于任意实数x,

可得 f (t ) ?

有f (? x) ? ??

a (a ? x ? a x ) a2 ?1

a (a x ? a ? x ) ? ? f ( x), a2 ?1

∴f(x)为奇函数.

设x1,x2∈R,且x1<x2,则
a ?(a x1 ? a ? x1 ) ? (a x 2 ? a ? x 2 )? a2 ?1 a 1 ? 2 (a x 1 ? a x 2 )(1 ? x ). x a ?1 a 1 ?a 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

当a>1时,a2-1>0, a x1 ? a x 2 ? 0,

∴f(x1)<f(x2);
x x 当0<a<1时,a2-1<0,a 1 ? a 2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

∴当a>0且a≠1时,f(x)是增函数. (3)当x∈(-1,1)时,有
?0 ? m ? 2, ?? 1 ? 1 ? m ? 1, ?? ? 0 ? m ? 2. ? 2 ?? 1 ? 1 ? m ? 1 ?? 2 ? m ? 2且m ? 0

由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2).
∵f(x)为奇函数, ∴f(1-m)<f(m2-1).又f(x)为增函数, ∴1-m<m2-1,即m2+m-2>0. 解得m>1或m<-2. 综上所述,可知1<m< 2 , 所以集合M={m|1<m< 2 }. 探究的展 (1)求函数解析式是一项基本功,多不

会单独考察,而是融于大题之中,是处理后面各 小题的基础,务必掌握好.

(2)单调性与奇偶性的证明与判断,要求理由充分
详实,多依据定义. (3)抽象不等式处理,通常不要具体化,多依据单 调性解决,但要注意限制在函数的定义域内. 变式训练5 已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常

数且a≠0)满足条件f(x-3)=f(5-x),且方程f(x)=x有
等根. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在实数m,n (m<n)使f(x)的定义域和值 域分别为[m,n]和[3m,3n].如果存在,求出

m,n的值;如果不存在,请说明理由.



(1)由f(x-3)=f(5-x)可知,

函数f(x)的对称轴为直线x=1, b 即? ? 1. 2a 又方程f(x)=x有等根.即ax2+(b-1)x=0.

2 1 1 1 1 (3) ? f ( x) ? ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? ? , 2 2 2 2 1 1 ? 3n ? ,? m ? n ? ? 1, 2 6

所以b-1=0,故b=1. 1 代入①可得 a ? ? . 2 所以 f ( x) ? ? 1 x ? x.
2

∴函数f(x)在[m,n]上单调递增.
假设存在实数m,n (m<n)使f(x)的定义域和值域
? f (m) ? 3m, 分别为[m,n]和[3m,3n],则有 ? ? f (n) ? 3n, 即m,n是方程f(x)=3x的两根.

由f(x)=3x,得x1=-4,x2=0.
所以m=-4,n=0.

规律方法总结
1.周期性 (1)类比“三角函数图象与性质”得: ①若y=f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b (a≠b),则 y=f(x)必是周期函数,且其周期为T=2|a-b|;

②若y=f(x)图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)
(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且其周期为T=2|ab|; ③如果函数y=f(x)的图象有一个对称中心A(a,0) 和一条对称轴x=b (a≠b),则函数y=f(x)必是周期

函数,且其周期为T=4|a-b|.

或者叙述为:
①如果函数y=f(x)满足f(T1+x)=f(T1-x)且 f(T2+x) =f(T2-x)(T1与T2是不相等的常数),则y=f(x)是以 2(T1-T2)为周期的周期函数.(本质上,f(x)关 于 x=T1与x=T2对称,实为前述结论①.只是叙述角

度 上此为代数方式,彼为几何法).②如果偶函
数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) (T≠0),则y=f(x)是以 2T 为周期的周期函数.(你能指出与结论①的联系 吗?)③如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) (T≠0),则y=f(x)是以4T为周期的周期函数.

(你能指出该结论与前述③之间的联系吗?)

(2)函数周期的若干给出方式:
①函数f(x)满足-f(x)=f(a+x),则f(x)是周期为2a的 周期函数;②若 f ( x ? a) ? 1 (a ? 0)恒成立,则
f ( x)

T=2a;③若 f ( x ? a) ?

1 (a ? 0) 恒成立,则T=2a. f ( x)

运用函数的周期性,是实现化归思想方法的重要
手段. 2.关于函数的对称性 (1)函数图象自身的对称性(自对称) ①函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x) (T为常数)的 充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称.

②函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x) (T为常数)的充要
条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称. ③函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是 y=f(x)的图象关于直线 x ? (a ? x) ? (b ? x) ? a ? b对称.
2 2

(2)两个函数的图象对称性(互对称)(利用解析 几何中对称曲线的方程理解) ①曲线y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称.②曲线y=f(x)

与y=f(-x)关于y轴对称.③曲线y=f(x)与y=f(2a-x)
关于直线x=a对称.④曲线f(x,y)=0关于直线y=b的 对称曲线为f(x,2b-y)=0.⑤曲线f(x,y)=0关于直线

x+y+c=0的对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0.⑥曲线
f(x,y)=0关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(yc,x+c)=0.⑦曲线f(x,y)=0关于点P(a,b)的对称曲

线为f(2a-x,2b-y )=0.特别地,f(x,y)=0关于点
(0,0)的对称曲线为f(-x,-y)=0. 3.判断函数单调性的常用方法

(1)定义法;
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数, 一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减) 函数;(3)互为反函数的两个函数具有相同的单 调性;(4)奇函数在对称的两个区间上具有相同 的单调性,偶函数在对称的两个区间上具有相反的 单调性;(5)利用导数的理论去研究函数的单调性.

复合函数单调性的判断方法:如果y=f(u)和u=g(x)
的单调性相同,那么y=f[g(x)]是增函数;如果 y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f[g(x)]

是减函数.
4.函数的奇偶性(1)对于函数f(x),如果对于定 义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫 做奇函数;如果对于函数定义域内任意一个x都有 f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.偶函数性质:
? f(-x)=f(x)?f(x)=f(|x|);奇函数f(x)若在x=0处有

意义,则f(0)=0. (2)函数f(x)可以是奇函数也可以是偶函数,也可 以既是奇函数又是偶函数,也可以两者都不是.但是

必须注意的是,研究函数的奇偶性必须首先明确
函数的定义域是否关于原点对称. (3)奇函数的图象是关于原点成中心对称的图 形;偶函数的图象是关于y轴成轴对称的图形.反 之也成立.在定义域的公共部分内,两奇函数之积

(商)为偶函数;两个偶函数之积(商)也是偶
函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注: 取商时应使分母不为0).奇(偶)函数有关定义 的等价形式:
f ( ? x) f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ? ? ?1( f ( x) ? 0). f ( x)

(4)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可
写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式,
f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? . 2 2 5.函数图象的几种变换

且 g ( x) ?

(1)平移变换
函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以由函数y=f(x)

的图象向左平移a个单位而得到;
函数y=f(x)+b (b≠0)的图象可以由函数y=f(x)的图 象向上平移b个单位而得到.

(2)伸缩变换
函数y=Af(x)(A>0,且A≠1)的图象可由函数

y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短
(0<A<1)到原来的A倍,横坐标不变而得到;

函数y=f( ? x) ( ? >0,且 ? ≠1)的图象可由函数
y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短(? >1)或伸长

(0< ? <1)到原来的

1

?

倍,纵坐标不变而得到.

(3)对称变换

函数y=-f(x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关
于x轴对称的图形而得到;

函数y=f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于
y轴对称的图形而得到; 函数y=-f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关 于原点对称的图形而得到; 函数y=|f(x)|的图象可通过作函数y=f(x)的图象, 然后把其在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x 轴的上方,其余部分保持不变而得到.

一、填空题 1.若函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(x-1)的 定义域是 解析
?3 ? ? 2 ,3? ? ?

.

1 ? 2 x ? 2, 因x∈[-1,1],则 2

? 1 , 2? , 知f(x)定义域为 ? ? ?2 ?

1 3 故f(x-1)中 ? x ? 1 ? 2 ? ? x ? 3. 2 2

2.已知函数f(x)的定义域为R,值域为[1,2],则
函数f(x+2)的值域是 [1,2] .

解析

函数f(x)图象向左平移2个单位可得函数

f(x+2)图象,可知图象只有左右平移则不会改变值

域,故函数f(x+2)的值域仍是[1,2].
本题解答时易由“y∈[1,2]”而得“f(x+2)∈

[3,4]”的错误,主要是对定义域与值域的概
念理解不清而造成的.

3.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若
f(1)=2,则f(99)=
13 2

.
f ( x)

解析

f(x)·f(x+2)=13? f ( x ? 2) ? 13 ? f ( x ? 4) ? ?

13 ? f ( x) ? f ( x) 以4为周期,f(99)=f(4× ? f ( x ? 2)

13 13 13 ? ? . ×25-1)=f(-1)= f (?1 ? 2) f (1) 2

4.设函数 f ( x) ? f ( 1 ) ? lg x ? 1, 则f(10)的值为 x 解析 f ( 1 ) ? f ( x) ? lg 1 ? 1 x x

1 .

? ? f ( x) lg x ? 1, 1 所以f ( x) ? f ( ) ? lg x ? 1 ? ?? f ( x) lg x ? 1?? lg x ? 1 x ? ? f ( x) lg x ? lg x ? 1, 1 学生在解题中不能挖掘出“x”与“ ”之间结 x
2

构关系而无法解决.

5.(2009·江苏押题)二次函数f(x)满足 f(3+x)=
f(3-x),又f(x)是[0,3]上的增函数,且f(a)≥

f(0),那么实数a的取值范围是
解析

0≤a≤6

.

∵f(3+x)=f(3-x),∴y=f(x)关于x=3对称,

又∵f(x)是[0,3]上的增函数.
∴f(x)是[3,6]上的减函数,

又∵f(a)≥f(0),∴0≤a≤6.
6.(2009·徐州调研)设函数y=f(x)的定义域为

R,则下列命题:

①设y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对
称; ②设y=f(x+2)是偶函数,则y=f(x)的图象关于直线

x=2对称;
③设f(x-2)=-f(2-x),则y=f(x)的图象关于直线 x=2对称; ④y=f(4-x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 其中正确命题的序号是 ②④ .

解析

①因y=f(x)是偶函数可知其图象关于y轴

对称,则y=f(x+2)图象关于直线x=-2对称; ③设f(x-2)=-f(2-x),则y=f(x)的图象关于点 (2,0)对称.

二、解答题
7.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上 单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 解 ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|). (*)

∴由f(1-m)<f(m),得f(|1-m|)<f(|m|).

又-2≤1-m≤2,-2≤m≤2,
∴0≤|1-m|≤2,0≤|m|≤2, 而y=f(x)在[0,2]上单调递减, ∴由式*得|m|<|1-m|≤2.

1 ?? 1, 1 ?. 解得 ? 1 ? m ? , 故m的取值范围是 ? 2 ? 2? ?

8.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=
-1,若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都 成立,则当a∈[-1,1]时,求t的取值范围. 解 奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,

∴f(1)=1,函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈
[-1,1]都成立,t2-2at+1≥1, 又∵a∈[-1,1],∴令g(a)=(-2t)a+t2, ①t=0时,g(a)=0成立; ②t≠0时,g(1)≥0且g(-1)≥0,∴t≤-2或t≥2;

由①②得t≤-2或t=0或t≥2.

4 9.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f ( x) ? x ? , 且当 x x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,求m-n的

最小值.
解 由题意知,当x∈[-3,-1]时,

n≤f(x)min,m≥f(x)max,
所以(m-n)min=f(x)max-f(x)min.

由f(x)是偶函数知当x∈[-3,-1]时,
4 f ( x) ? ? x ? , 所以f ( x) max ? f (?1) ? 5, x f(x)min=f(-2)=4,故(m-n)min=1.

10.(2009·镇江调研)函数f(x)满足:①定义域是
(0,+∞);②当x>1时,f(x)<2;③对任意 x,y∈(0, +∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.回答下面的问题: (1)求出f(1)的值; (2)写出一个满足上述条件的具体函数;

(3)判断函数f(x)的单调性,并用单调性的定义证
明你的结论. 解 (1)令x=1,有f(1·y)=f(1)+f(y)-2,

所以f(1)=2. (2)f(x)=2+logax,0<a<1.

(3)f(x)在(0,+∞)上单调递减.证明如下:
设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
则 x x ? 1, f ( ) ? 2. x x
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

x x 所以f ( x ) ? f ( x ? ) ? f ( x ) ? f ( ) ? 2 ? f ( x ), x x
2 2

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.

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