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东北四校2012届第一次高考模拟考试


东北四校 2012 届第一次高考模拟考试

数 学 试 题(理)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚; 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚; 3.

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。 参考公式:圆锥侧面积 S ? ? rl

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.集合 ? x ? N |
*

? ?

12 ? ? Z ? 中含有的元素个数为 x ?
B.6 C.8

( D.12



A.4

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2.已知方程 2 ? k 2k ? 1
A. ? , 2 ?



?1 ?2

? ?

B. (1, ??)

C. (1, 2)

D. ? (

?1 ? ,1? ?2 ?


3.下列有关命题的说法中,正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1”
2 2

B.命题“若 ? ? ? , 则 tan ? ? tan ? ”的逆命题为真命题 C.命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 都有x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.“ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

4. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可 入肺颗粒物,右图是据北京某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则 甲、乙两地浓度的中位数较低的是 ( ) A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定 5.若

?

a

1

1 (2 x ? ) dx ? 3 ? ln 2( a ? 1) ,则 a 的值是 x
B.3 D.6





A.2 C.4 6.某程序框图如右图所示,则输出的结果是 A.43 C.45

( B. 44 D.46



7.已知 a,b 是两个互相垂直的单位向量,且 c ? a ? c ? b ? 1,| c |? 则对任意的正实数 t, | c ? ta ? b | 的最小值是 A.2 C.4

2,

1 t

( B. 2 2 D. 4 2



8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯 视图是等腰三角形,该几何体的表面积是 ( ) A. 16 2 ? 16? B. 16 2 ? 8? C. 8 2 ? 16? D. 8 2 ? 8? 9.过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若 ?MAB 是直角三角形,则此双曲线的离心率 e 的值为 ( ) A.

3 2

B.2

C. 2

D. 3

10.如下图,给定两个平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 120? ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上,且 OC ? xOA ? yOB (其中 x, y ? R ) ,则满足 x ? y ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

2 的概率为(



A. 2 ? 1 C.

? 4

3 4 ? D. 3
B.

11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 设 其 导 函 数 f '( x) , 当 x ? ? ??, 0? 时 , 恒 有

xf '( x) ? f (? x) ,令 F ( x) ? ? f ( x) ,则满足 F (3) ? F (2 x ?1) 的实数 x 的取值范围是
( ) B. (?1, )

A. (-1,2) 12.已知 f ( x ) ? ?

1 2

C. ( , 2)

1 2

D. (-2,1)

? a ? x 2 ? 4 x ( x ? 0) ? f ( x ? 2)( x ? 0)

,且函数 y ? f ( x) ? 2 x 恰有 3 个不同的零点,则实数 ( )

a 的取值范围是 A.[-4,0] B. ? ?8, ?? ? C. ? ?4, ?? ?

D. (0, ??)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上。 13.已知 i 为虚数单位,则复数

1 ? 3i 的虚部是 3?i



14.已知函数 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ? )(| ? |? ? ) ,若 ? 则 ? 的值为 15 . 给 出 下 列 不 等 式 : 1 ? 。

? ? 5? , ?5 8

? ? 是 f ( x) 的一个单调递增区间, ?

1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 3 2 3 7 2 2 3 15


1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ,…,则按此规律可猜想第 n 个不等式为 2 3 31 2

16.在 ?ABC 中, A ? 30?, BC ? 2 5, D 是 AB 边上的一点,CD=2, ?BCD 的面积为 4, 则 AC 的长为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)

a b 已知 {an } 为等比数列, 1 ? 1, a6 ? 243, Sn 为等差数列 {bn } 的前 n 项和, 1 ? 3, S5 ? 35.
(1)求 {an }和{bn }的通项公式;

(2)设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ,求 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客, 现准备在景区内开设经营热饮等食品的 店铺若干。根据以往对 500 名 40 岁以下(含 40 岁)人员和 500 名 40 岁以上人员的统 计调查,有如下一系列数据:40 岁以下(含 40 岁)人员购买热饮等食品的有 260 人, 不购买热饮食品的有 240 人;40 岁以上人员购买热饮等食品的有 220 人,不购买热饮 等食品的有 280 人,请根据以上数据作出 2 ? 2 列联表,并运用独立性检验思想,判断 购买热饮等食品与年龄(按上述统计中的年龄分类方式)是否有关系? 注:要求达到 99.9%的把握才能认定为有关系。

s

19. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 ABB1A1 是菱形,且 ?A1 AB ? 60? , M 是 A1B1 的中点, MB ? AC. (1)求证: MB ? 平面 ABC; (2)求二面角 A1—BB1—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 M 的中心为坐标原点 ,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线

y 2 ? 8 x 的焦点,M 的离心率 e ?
M 于 A,B 两点。 (1)求椭圆 M 的标准方程;

1 ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交 2

(2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( NA ? NB) ? AB ,求实数 t 的取值范围。

??? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值为 2,设函数 y ? f ( x) 图象上任意一点 x ?b
2

( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率为 k。
(1)求 k 的取值范围; (2) 若对于任意 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 存在 k, 使得 k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 求证:x1 ?| x0 |? x2 . x2 ? x1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,? O1与 ? O2 相交于 A、 两点, 是 ? O2 的直径, A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 B AB 过 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 ? O1 、 ? O2 交于 C,D 两点。 求证: (1)PA· PD=PE· PC; (2)AD=AE。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin ? ? 2cos ? ,过点 A(5,α) 为锐角且 tan ? ? (α
2

3 ) 4

作平行于 ? ?

?
4

( ? ? R) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角 坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (2)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? log 2 a (其中 a ? 0 ) 。 (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

参 考 答 案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 B 11 A 12 C

二、填空题: 13. ? 1 三、解答题: 17. (Ⅰ) a n ? 3 n ?1 (3 分) (6 分) 14.

? 4

15. 1 ?

1 1 1 n ?1 ? ? ? ? n?1 ? 2 3 2 2 ?1

16. 2 2 或 4

bn ? 2n ? 1
(Ⅱ) Tn ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3n ?2 ? ?2n ? 1? ? 3 n ?1 ①

3Tn ?

3 ? 3 ? 5 ? 3 2 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3 n ?1 ? ?2n ? 1? ? 3 n ②

①-②得: ? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ? ?2n ? 1? ? 3n 整理得: Tn ? n ? 3 n 18. 由题得 2 ? 2 列联表 购买热饮等食品 40 岁以下 41 岁以上 总计 260 220 480 不购买热饮等食品 240 280 520

?

?

(9 分) (12 分)

总计 500 500 1000 (4 分)

K ?
2

1000 ? 260 ? 280 ? 220 ? 240 ? 500 ? 500 ? 480 ? 520

2

? 6.410 ? 10.828

(10 分) (12 分)

所以没有 99.9%的把握认定为有关系. 19. (Ⅰ)∵侧面 ABB1 A1 是菱形且 ?A1 AB ? 60
o

∴ ?A1BB1 为正三角形

又∵点 M 为 A1 B1 的中点 ∴ BM ? A1B1

∵ AB ∥ A1 B1 ∴ BM ? AB 由已知 MB ? AC ∴ MB ? 平面 ABC (Ⅱ) (法一)连接 C1 M ,作 MH ? BB1 于 H ,连接 C1 H 由(Ⅰ)知 C1 M ? 面 A1 ABB1 ,∴ C1 M ? BB1 又 MH ? BB1 ∴ BB1 ? 面 C1 MH ∴ BB1 ? C1 H ∴ ?C1 MH 为所求二面角的平面角 设菱形 ABB1 A1 边长为 2,则 C1 M ? (8 分)
C A1 M H C1

(4 分)

B1

3
A B

在 Rt?B1 MB 中,由 MH ? BB1 ? MB1 ? MB 知: MH ?

3 2 5 5
(12 分)

在 Rt?C1 MH 中, tan ?C1 MH ?

C1 M ?2 MH
5 5

∴ cos ?C1 MH ?

即二面角 A1 ? BB1 ? C 的余弦值为 (法二)如图建立空间直角坐标系 设菱形 ABB1 A1 边长为 2 得 B1 0, ?1, 3 , A ? 0,2,0 ?

z
C1 A1 M B1

?

?

C

?

3,1,0 , A1 0,1, 3

?

?

?
y
A

x
C

则 BA1 ? 0,1, 3 , BA ? ? 0,2,0 ?

????

?

?

??? ?

B

???? ??? ? BB1 ? 0, ?1, 3 , BC ?

?

?

?

3,1,0

?
?? ??? ?? ?

设面 ABB1 A1 的法向量 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,由 n1 ? BA , n1 ? BA1 得

??

????

?? ? 2 y1 ? 0 ? ,令 x1 ? 1 ,得 n1 ? ?1,0,0 ? ? ? y1 ? 3 z1 ? 0 ?
设面 BB1C1C 的法向量 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? , 由 n2 ? BB1 , n2 ? BC 得

(8 分)

?? ?

?? ?

????

?? ?

??? ?

? ? y2 ? 3 z 2 ? 0 ? ,令 y 2 ? 3 ,得 n2 ? ? 1, 3 ,1 ? 3 x2 ? y2 ? 0 ? ?

?

?

(10 分)

得 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?1 1? 5

??

5 . 5
5 5
(12 分)

又二面角 A1 ? BB1 ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

20. (Ⅰ)椭圆 M 的标准方程:

x2 y2 ? ?1 4 3

(4 分)

(Ⅱ)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? ,设 l : x ? my ? 1 ?m ? R, m ? 0?

? x ? my ? 1 ? 2 ? ?3m 2 ? 4?y 2 ? 6my ? 9 ? 0 y2 ?x ? ?1 ?4 3 ?
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

6m 3m 2 ? 4



(6 分)

( NA ? NB) ? AB ? NA ? NB ?

?x1 ? t ?2 ? y12 ? ?x2 ? t ?2 ? y 2 2 ?
?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? 2t ? ? ?y12 ? y 2 2 ? ? 0
将 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my 2 ? 1 代入上式整理得:

? y1 ? y 2 ???m 2 ? 1?? y1 ? y 2 ? ? m?2 ? 2t ?? ? 0 ,由 y1 ? y 2 知

?m

2

? 1 ? y1 ? y 2 ? ? m?2 ? 2t ? ? 0 ,将①代入得 t ?

?

1 3m ? 4
2

(10 分)

所以实数 t ? ? 0, ?

? ?

1? 4?

(12 分)

21. (Ⅰ) f ?? x ? ?

?

ab ? ax 2 x2 ? b 2

?

由 f ??1? ? 0 及 f ?1? ? 2 得, a ? 4, b ? 1

(2 分)

? 2 k ? f ??x0 ? ? 4? ? 1 ? x0 2 ?

?

?

2

?

? ? 2 1 ? x0 ? ? 1
(4 分)



1 1 ? x0
2

? 1 ? ? t , t ? ?0,1? 得 k ? ?? ,4? ? 2 ?

(Ⅱ) f ?? x ? ?

?

4 ? 4x 2 ,令 f ??x ? ? 0 ? x ? ?? 1,1? 1? x2 2

?

f ? x ? 的增区间为 ?? 1,1? ,故当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,
即 k ? 0 ,故 x 0 ? ?? 1,1?

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0. x 2 ? x1
(6 分)

(法一)由于 f ?( x0 ) ? f ?(? x0) ,故只需要证明 x0 ? ?0,1? 时结论成立 由k ?

f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ,得 f ?x2 ? ? kx2 ? f ?x1 ? ? kx1 , x 2 ? x1

记 h( x) ? f ( x) ? kx ,则 h( x 2 ) ? h( x1 )

h?( x) ? f ?( x) ? k ,则 h?( x0 ) ? 0 ,
设 g ?x ? ?

?1 ? x ?

1? x

2

, x ? ?0,1? , g ??x ? ?

x?3 ? 0, (1 ? x) 3

g ? x ? 为减函数,故 f ?? x ? 为减函数
? 故当 x ? x0 时有 f ?( x) ? f ?( x0) k ,此时 h?( x) ? 0 , h ? x ? 为减函数
当 x ? x0 时 h?( x) ? 0 , h ? x ? 为增函数 所以 h( x0 ) 为 h(x ) 的唯一的极大值, 因此要使 h( x 2 ) ? h( x1 ) , 必有 x1 ? x0 ? x 2 综上,有 x1 ? x0 ? x 2 成立 (法二) 由已知: (12 分)

?x

1 ? x0
2 0

2 2

? 1 x0 ? 1

??

? ?x

?

1 ? x1 x 2
2

1

? 1 x2 ? 1
2

??

?



下面以反证法证明结论:

假设 x0 ? x 2 ? x1 ,则 x0 ? x1 x 2 ,
2

因为 x 0 ? ?? 1,1? , x1 , x2 ? ?0,1? ,所以 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x 1 x 2 ,
2

又0 ?

?x

1
2 0

?1

? ?x
2

?

2

1

? 1 x2 ? 1
2

??

1

?

,故

?x
2 2

1 ? x0
2 0

2 2

? 1 x0 ? 1

??

? ?x

?

1 ? x1 x 2
2

1

? 1 x2 ? 1
2

??

?

与①式矛盾 假设 x0 ? x1 ? x 2 ,同理可得 与①式矛盾 综上,有 x1 ? x0 ? x 2 成立 22. (Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB 又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA ? PC ? PB
2

?x

1 ? x0
2 0

? 1 x0 ? 1

??

? ?x

?

1 ? x1 x 2
2

1

? 1 x2 ? 1
2

??

?
(12 分)

① ②

(2 分) (4 分) (5 分)

由①,②得 PA ? PD ? PE ? PC (Ⅱ)连结 AC 、 ED

E

设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径 ∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. (6 分) 由(Ⅰ)知

A

F
P C D O1

O2 B

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE ? PE PD

(8 分)

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE 23. (Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 L 的普通方程为: y ? 2 x
2

(10 分) (1 分) (3 分)

直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x 2 , y 2 )

(5 分)

? y 2 ? 2x ? ?y ? x ?1

联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 由弦长公式得 BC ? 1 ? k 24. (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 2 ,
2

(7 分) (10 分)

x1 ? x 2 ? 2 6

1 1 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? 2 2 1 1 2 ? ? x ? 1 时, 3x ? 2 ,得 ? ? x ? 2 2 3

(1 分) (2 分) (3 分) (5 分)

x ? 1时, x ? 0 ,此时 x 不存在
∴不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

? ?

2? ? 3?

? ?? x ? 2, ? ? (Ⅱ)∵设 f (x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 x, ? ? x ? 2, ? ?
故 f (x) ? ??

x?? ?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

3 ? 3 ? ,?? ? ,即 f (x) 的最小值为 ? 2 ? 2 ? 3 2

(8 分)

所以 f ( x) ? log 2 a 有解,则 log 2 a ? ? 解得 a ?

? 2 ? 2 ,?? ? ,即 a 的取值范围是 ? ? 4 ? 4 ?

(10 分)


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