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幂函数练习题及答案


幂函数练习题及答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.下列函数中既是偶函数又是 ( ??,0) 上是增函数的是 A. y ( D. y )

?x

4 3

B. y

?x

>
3 2

C. y

?x

?2

?x

?

1 4

2.函数 A.

1 y ? x ?2 在区间 [ , 2] 上的最大值是 2
B. ? 1 C. 4 D. ? 4





1 4

3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 A.

( C. y



y ? ?x3

B.
4 3

y ? x ?3

? 2x 3

D.

y ? x3 ?1
( )

4.函数

y ? x 的图象是

A. 5.下列命题中正确的是 A.当 ? ? 0 时函数

B.

C.

D. ( )

y ? x ? 的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数

y ? x ? 是奇函数,则 y ? x ? 是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数

y ? x 和 y ? x 图象满足
3

1 3





A.关于原点对称

B.关于 x 轴对称

C.关于 y 轴对称 7. 函数 y ? x | x |, x ? R ,满足 A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数 8.函数

D.关于直线 y ? x 对称 ( B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 ( C. (??,?1] ) )

y ? x 2 ? 2 x ? 24 的单调递减区间是
B. [?6,??)

A. (??,?6]

D. [?1,??) )

9. 如图1—9所示,幂函数 A. ?1

( y ? x ? 在第一象限的图象,比较 0, ?1 , ? 2 ,? 3 ,? 4 ,1 的大小
?1

? ?3 ? 0 ? ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ?3 ? ? 4 ? 1

B. 0 ? ?1 C. ? 2 D. ? 3

? ? 4 ? 0 ? ? 3 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? 0 ? ? 4 ? 1 ? ?1
4

?4

?2

?3

10. 对于幂函数

f ( x) ? x 5 ,若 0 ? x1 ? x2 ,则


f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ), 大小关系是( 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

A. f (

B. f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

C.

f(

D. 无法确定

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.函数 y 12. 13. y

?x

?

3 2

的定义域是

. 的解析式是 . .

? xa

2

?4 a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
( ?1) k n m

14.幂函数

y?x

(m, n, k ? N *,m, n互质) 图象在一、二象限,不过原点,则 k , m, n 的

奇偶性为

.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤(共 76 分) . 15.(12 分)比较下列各组中两个值大小 (1) 0.6
6 11

与0.7

6 11

;(2)(?088 . ) 与(?089 . ) .

5 3

5 3

16.(12分)已知幂函数

f ( x) ? x m ?2m?3 (m ? Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于y 轴对称,试确 f ( x )
的解析式.

2

17.(12 分)求证:函数

y ? x 3 在 R 上为奇函数且为增函数.

18.(12 分)下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.

( 1 )y ? x ;(2)y ? x ;(3)y ? x ; (4)y ? x ? 2;(5)y ? x ?3;(6)y ? x 2 .
? 1

3 2

1 3

2 3

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

x 19.(14分)由于对某种商品开始收税,使其定价比原定价上涨x成(即上涨率为 10 ),涨价
后,商品卖出个数减少bx成,税率是新定价的a成,这里a,b均为正常数,且a<10,设售货款 扣除税款后,剩余y元,要使y最大,求x的值.

20.(14 分)利用幂函数图象,画出下列函数的图象(写清步骤).

x 2 ? 2x ? 2 (1) y ? 2 x ? 2x ? 1

(2 )y ? ( x ? 2)

?

5 3

?1.

参考答案 一、CCBAD DCADA
4

二、11. ( 0,?? ) ;

12.

f ( x) ? x 3 ( x ? 0) ;

13.5;

14. m, k 为奇数, n 是偶数; 三、15. 解:(1)?函数y
6 6

? x 在(0,??)上是增函数且 0 ? 0.6 ? 0.7 ? ??
5

6 11

? 0.6 11 ? 0.7 11 (2)函数 y ? x 3 在(0,??) 上增函数且 0 ? 0.88 ? 0.89
5 5 5 5 5 5

? 0.883 ? 0.89 3

? ?0.883 ? ?0.89 3 , 即? (?0.88) 3 ? (?0.89) 3 .

?m 2 ? 2m ? 3 ? 0 16. 解:由 ?m 2 ? 2m ? 3是偶数 ? ?m ? Z ?

得m ? ?1,1,3.

m ? ?1和3时解析式为 f ( x) ? x 0 , m ? 1时解析式为 f ( x) ? x ?4 .

17.解: 显然 f (? x) ? (? x) 3 ? ? x 3 ? ? f ( x) ,奇函数; 令 x1

? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x13 ? x2 3 ? ( x1 ? x2 )(x12 ? x1 x2 ? x2 2 ) , ? x2 ? 0 ,
2

其中,显然 x1
2

x1 ? x1 x2 ? x2 = ( x1 ? 1 x 2 ) 2 ? 3 x 2 2 ,由于 ( x1 ? 1 x 2 ) 2 ? 0 , 3 x 2 2 ? 0 ,
2 4

2

4

且不能同时为0,否则 x1 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .

? x2 ? 0 ,故 ( x1 ? 1 x2 ) 2 ? 3 x2 2 ? 0 .
2 4
所以该函数为增函数.

18.解:六个幂函数的定义域,奇偶性,单调性如下:
3

(1)

y ? x 2 ? x 3 定义域[0, ??) ,既不是奇函数也不是偶函数,在[0, ??) 是增函数;

1

(2)y ? x 3 ? 3 x定义域为R,是奇函数,在 [0,??)是增函数;
2

(3)y ? x 3 ? 3 x 2 定义域为R,是偶函数,在 [0,??)是增函数; 1 (4)y ? x ? 2 ? 2 定义域R ?UR ? 是偶函数,在 (0,??)是减函数; x 1 (5)y ? x ?3 ? 3 定义域R ?UR ? 是奇函数,在 (0,??)是减函数; x 1 ? 1 (6)y ? x 2 ? 定义域为R ?既不是奇函数也不是偶 函数,在(0,??) x 上减函数.
通过上面分析,可以得出(1)?(A),(2)?(F),(3)?(E),(4)?(C), (5)?(D),(6)?(B).

19.解:设原定价 A 元,卖出 B 个,则现在定价为 A(1+

x ), 10

现在卖出个数为B(1-

x bx x bx bx ),现在售货金额为A(1+ ) B(1- )=AB(1+ )(1- ), 10 10 10 10 10

应交税款为AB(1+

x bx a )(1- )· , 10 10 10

剩余款为y= AB(1+

x )(1- bx ) (1 ? a ) = AB (1 ? a )( ? b x 2 ? 1 ? b x ? 1) , 10 10 100 10 10 10
要使y最大,x的值为 x ? 5(1 ? b) . b

所以 x ? 5(1 ? b) 时y最大 b 20.解:

2 1 1 1 (1) y ? x ? 2 x ? 2 ? ?1 ? ? 1 把函数 , y ? 2 的图象向左平移 1 个单位,再 2 2 2 x x ? 2x ? 1 x ? 2x ? 1 ( x ? 1)

向上平移 1 个单位可以得到函数
5 3

y?

x 2 ? 2x ? 2 的图象. x 2 ? 2x ? 1
? 5

(2) y ? ( x ? 2)

?

? 1 的图象可以由 y ? x 3 图象向右平移 2 个单位,再向下平移

1 个单位而得到.图象略


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