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上海立体几何高考试题汇总


上海立体几何高考试题汇总
(01 春)若有平面 ? 与 ? ,且 ? ? ? ? l , ? ? ?, P ? ?, P ? l ,则下列命题中的假命题为( )D (A)过点 P 且垂直于 ? 的直线平行于 ? . (B)过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 ? . (C)过点 P 且垂直于 ? 的直线在 ? 内. (D)过点 P 且垂直于 l 的直线在 ? 内. (0

1)已知 a、b 为两条不同的直线,α 、β 为两个不同的平面,且 a⊥α ,b⊥β ,则下列命题中的假命 题是( )D A. 若 a∥b,则α ∥β C.若 a、b 相交,则α 、β 相交 B.若α ⊥β ,则 a⊥b D.若α 、β 相交,则 a、b 相交

(02 春)下图表示一个正方体表面的一种展开图,图中四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原正 方体中相互异面的有 对。3

(02)若正四棱锥的底面边长为 2 3cm ,体积为 4cm 3 ,则它的侧面与底面所成的二面角的大小 是
30 ?

(03 春)关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ,下列命题中正确的是( (A) 若 a // M , b // M ,则 a // b (B) 若 a // M , b ? a ,则 b ? M (C) 若 a ? M , b ? M ,且 l ? a, l ? b ,则 l ? M (D) 若 a ? M , a // N ,则 M ? N D

).

(03) 在正四棱锥 P—ABCD 中,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA 与 BC 所成角 的大小等于 .(结果用反三角函数值表示)arctg2 (03)在下列条件中,可判断平面α 与β 平行的是 ( )

A.α 、β 都垂直于平面 r. B.α 内存在不共线的三点到β 的距离相等. C.l,m 是α 内两条直线,且 l∥β ,m∥β . D.l,m 是两条异面直线,且 l∥α ,m∥α ,l∥β ,m∥β . D (04 春)如图,在底面边长为 2 的正三棱锥 V-ABC 中,E 是 BC 的中点,

若△ VAE 的 反三角函数

1 ,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为 4 1 表示) arctg 4
面积是

(结果用

(04) 在下列关于直线 l、m 与平面 α、β 的命题中,真命题是( (A)若 l ? β 且 α⊥ β,则 l⊥ α. (B) 若 l⊥ β 且 α∥ β,则 l⊥ α. (C) 若 l⊥ β 且 α⊥ β,则 l∥ α. (D) 若 α∩β=m 且 l∥ m,则 l∥ α. B m、 n 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 (05 春)已知直线 l 、 (A)若 l // m , m // n ,则 l // n .

)

(B)若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n .

(C)若 l ? m , m // n ,则 l ? n .
(05) 有两个相同的直三棱柱 , 高为

(D)若 l // ? , n // ? ,则 l // n .D
边长分别 棱柱,在 则 a 的取

2 , 底面三角形的三 a

为 3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四 所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱 , 值范围是 .0<a<

15 3
.

(06 春)正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,则其体积为

16 3

(06 文)若空间中有两条直线, 则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 A

(A)充分非必要条件 (C)充分必要条件

(06 理 ) 若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]( )A (A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. (07 文) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ACB ? 90 ,
?

C1

B1

AA1 ? 2 , AC ? BC ? 1 ,则异面直线 A1 B 与 AC 所成角的
大小是 (结果用反三角函数值表示) .

A1
C

6 arccos 6

B

A

(07 理 ) 在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 . 已知 ?,? 是两个

相交平面,空间两条直线 l1,l2 在 ? 上的射影是直线 s1,s2 , l1,l2 在 ? 上的射影是 直线 t1,t2 .用 s1 与 s 2 , t1 与 t 2 的位置关系,写出一个总能确定 l1 与 l 2 是异 面直线的充分条件: . s1 // s 2 ,并且 t1 与 t 2 相交( t1 // t 2 ,并且 s1 与 s2 相交) (01 春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如图) ,设容器的 h 高为 米,盖子边长为 a 米. (1)求 a 关于 h 的函数解析式; V (2) 设容器的容积为 V 立方米, 则当 h 为 何值时, 最大?求出 V 的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度) 解(1)设 h ' 为正四棱锥的斜高

1 ? 2 a ? 4 ? h ' a ? 2, ? ? 2 由已知 ? ?h 2 ? 1 a 2 ? h ' 2 , ? 4 ?
解得 a ?
1 h2 ?1 (h ? 0)

1 h (h ? 0) (2) V ? ha 2 ? 2 3 3(h ? 1)

易得 V ?

1 1 3(h ? ) h

因为 h ?

1 1 1 ? 2 h ? ? 2 ,所以 V ? h h 6

等式当且仅当 h ?

1 ,即 h ? 1 时取得。 h 1 立方米. 6

故当 h ? 1 米时, V 有最大值, V 的最大值为

(01 春) 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 、 F 分别 BB1 、 DD1 上,且 AE ? A1 B , AF ? A1D 。

(1)求证: A1C ? 平面AEF ; (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角) ,则在空间中有定 理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。 试根据上述定理,在 AB ? 4 , AD ? 3 , AA (用 1 ? 5 时,求平面 AEF 与平面 D1 B1 BD 所成的角的大小。 反三角函数值表示) 证(1)因为 CB ? 平面A1B ,所 A1C 在平面 A1 B 上的射影为 A1 B 由 A1 B ? AE, AE ? 平面A1 B ,得 A1C ? AE , 同理可证 A1C ? AF 因为 A1C ? AF, A1C ? AE 所以 A1C ? 平面AEF

解(2)过 A 作 BD 的垂线交 CD 于 G , 因为 D1 D ? AG ,所以 AG ? 平面D1 B1 BD

设 AG 与 A1C 所成的角为 ? ,则 ? 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角.

9 . 4 如图建立直角坐标系,则得点 A(0,0,0) ,
由已知,计算得 DG ?

9 G( ,3,0), A1 (0,0,5), C (4,3,0) , 4 9 AG ? { ,3,0}, A1C ? {4,3,?5} , 4
因为 AG 与 A1C 所成的角为 ? 所以 cos ? ?
AG ? A1C 12 2 ? | AG | ? | A1C | 25
12 2 25 12 2 25

? ? arccos

由定理知,平面 AEF 与平面 CEF 所成角的大小为 arccos

(01) 在棱长为 a 的正方体 OABC-O'A'B'C'中,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF.
(1)求证:A'F⊥C'E; (2)当三棱锥 B'-BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B'-EF-B 的大小.(结果用反三角函数表示) (1)利用空间直角坐标系证明;

(2)arctan2

(02 春) 如图,三棱柱 OAB-O1A1B1,平面 OBB1O1

⊥ 平 面 OA=√3。

OAB, O1OB=60°, ∠AOB=90°, 且 OB= OO1=2,

求: (1)二面角O1-AB-O大小;

(2)异面直线A1B与AO1所成角的大小。

(上述结果用反三角函数值表示) [解] (1)取 OB 的中点 D,连结 O1D,则 O1D⊥ OB。 ∵ 平面 OBB1O1⊥ 平面 OAB, ∴ O1D⊥ 平面 OAB 过 D 作 AB 的垂线,垂足为 E,连结 O1E,则 O1E⊥ AB。 ∴ ∠ DEO1 为二面角 O1-AB-O 的平面角。 由题设得 O1D=√3, ∴ DE=DBsin∠ OBA=√21/7. ∵ 在 Rt△ O1DE 中,tg∠ DEO1=√7, ∴ ∠ DEO1=arctg√7.即二面角 O1-AB-O 的大小为 arctg√7. (2)以 O 点为原点,分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴、过 O 点且与平面 AOB 垂直的 直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0) ,O1(0,1,√3) ,A(√3,0,0) ,A1(√3,1,√3) ,B(0,2,0) 。 设异面直线 A1B 与 AO1 所成角为 α,
(02)如图,在直三棱柱 ABO ,D 是线段 A ? A 'B ' O '中, OO '?4, OA ? 4 , OB ? 3 , ? AOB ? 90 ' B' 的 O’ A’ 中点,P 是侧棱 BB' 上的一点,若 OP ,求 OP与底面 AOB 所 成 角 的 ?BD D 大小。 (结果用反三角函数值表示) B’ [解法一] 如图,以 O点为原点建立空间直角坐标系
?

( 3 ,0 ,0 ), D ( ,2 ,4 ) 由题意,有 B
设P (3 ,0 , z) ,则

3 2

P Bz
O’ D B’

O

A

3 BD ? { ?, 2 , 4 }, OP ? { 3 , 0 ,z } 2 因为 BD ? OP 9 BD ?OP ? ? ? 4 z? 0 2 9 z ? 8 因为 BB '?平面 AOB 是 OP 与底面 AOB 所成的角 ?POB
3 tg ? POB ? 8 3 ? ? POB ? arctg 8

A’

P B x

O

A

y

O’ E B’ D

A’

P
[解法二]取 O' B' 中点 E,连结 DE、BE,则 'O ' DE ? 平面 OBB 'O '内的射影。 ?BE 是 BD 在平面 OBB ?BD 又因为 OP ?BE 由三垂线定理的逆定理,得 OP

O

A

B

在矩形 OBB 'O ' 中,易得 Rt ? OBP ~ Rt ? BB ' E

BP OB 9 ? ? , 得 BP ? B' E BB ' 8
(以下同解法一) (03 春)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,在某个空间直角坐标系中,

A1

B1
C

m 3m AB ? { ,? ,0}, AC ? {m,0,0}, AA1 ? {0,0, n}. 其中 m, n ? 0 2 2
(1) 证明:三棱柱 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱; (2) 若 m ? (2)

A

B

2n ,求直线 CA1 与平面 A1 ABB 1 所成角的大小.

? 4

(03)已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,AB=4,AD=2.若 B1D⊥BC,直线 B1D 与 平面 ABCD 所成的角等于 30°,求平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的体积. [解]连结 BD,因为 B1B⊥平面 ABCD,B1D⊥BC,所以 BC⊥BD. 在△BCD 中,BC=2,CD=4,所以 BD= 2 3 . 又因为直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°,所以 ∠B1DB=30°,于是 BB1=

1 3

BD=2.

故平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的体积为 SABCD· BB1= 8 3 . (04 春)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一 点,PM⊥ BB1 交 AA1 于点 M,PN⊥ BB1 交 CC1 于点 N. (1) 求证:CC1⊥ MN;(6 分) (2) 在任意△ DEF 中有余弦定理: DE2=DF2+EF2-2DF· EFcos∠ DFE.拓展到空间,类比三角形的余 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之 系式,并予以证明.(8 分) 证明:(1) ∵ CC1∥ BB1, ∴ CC1⊥ PM, CC1⊥ PN,且 PM、PN 相交于点 P, ∴ CC1⊥ 平面 PMN. ∵ MN ? 平面 PMN, ∴ CC1⊥ MN. 解:(2)在钭三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 S ABB1 A1 =S BCC1B1 +S ACC1 A1 -2S BCC1B1 S ACC1 A1 cosα 其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角 ∵CC1⊥ 平面 PMN, ∴ 平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角为∠ MNP 2 2 2 在△ PMN 中,PM =PN +MN -2PN· MNcos∠ MNP,
2 2 2

弦定理, 间的关



2 2 2 PM2· CC 1 = PN2· CC 1 + MN2· CC 1 -2(PN· CC1)(MN· CC1) cos∠ MNP

由于 S BCC1B1 = PN· CC1, S ACC1 A1 = MN· CC1, S ABB1 A1 =PM· BB1 及 CC1=BB1,
2 2 则 S2 ABB1 A1 =S BCC1B1 +S ACC1 A1 -2S BCC1B1 S ACC1 A1 cosα

(04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长 位: m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面 y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 【解】由题意得

分别为 x、y(单 积 8cm2. 问 x、

x2 8? 1 4 = 8 ? x (0<x<4 2 ). xy+ x2=8,∴ y= x 4 x 4
于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2( 当(

3 16 2 x )=( + 2 )x+ ≥4 6 ? 4 2 . 2 x 2

3 16 + 2 )x= ,即 x=8-4 2 时等号成立. 2 x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省. (05 春)已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 ? . (1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离 [证明](1)取 BC 边的中点 D ,连接 AD 、 PD , 则 AD ? BC , PD ? BC , 故 BC ? 平 面

P

APD .


?? 4 分

A O

C

?? 6 分 B [解](2)如图, 由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD ,则 ?PDA 是侧面 与底面所成二面角的 平面角. 过点 O 作 OE ? PD, E 为垂足, 则 OE 就 是点 O 到侧 面的距离. ?? 9 分 设 OE 为 h ,由题意可知点 O 在 AD 上, ∴ ?PDO ? 60? , OP ? 2h .

PA ? BC .

? OD ?

2h 3

, ? BC ? 4h , ?? 11 分

3 ( 4 h ) 2 ? 4 3h 2 , 4 1 8 3 3 h ,∴ h ? 3 . ∵ 72 3 ? ? 4 3h 2 ? 2h ? 3 3 即底面中心 O 到侧面的距离为 3. (05 文)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,AB=4,AD=2.B1D 与平面 ABCD 所 成角的大小为 60° ,求异面直线 B1D 与 MN 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]联结 B1C,由 M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,得 B1C∥ MN, ∴ ∠ DB1C 就是异面直线 B1D 与 MN 所成的角.
∴ S ?ABC ? 联结 BD,在 Rt△ ABD 中,可得 BD=2 5 ,又 BB1⊥ 平面 ABCD, ∠ B1DB 是 B1D 与平面 ABCD 所成的角, ∴ ∠ B1DB=60° . 在 Rt△ B1BD 中, B1B=BDtan60° =2 15 , 又 DC⊥ 平面 BB1C1C, ∴ DC⊥ B1C, 在 Rt△ DB1C 中, tan∠ DB1C=

DC ? B1C

DC BC 2 ? BB12

?

1 , 2

∴ ∠ DB1C=arctan

1 . 2 1 . 2

即异面直线 B1D 与 MN 所成角的大小为 arctan

(05 理 ) 已 知 直 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中 , AA1=2 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,∠ A 为直 角,AB∥ CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]由题意 AB∥ CD,∴ ∠ C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所 成 的角.连结 AC1 与 AC,在 Rt△ ADC 中,可得 AC= 5 . 又在 Rt△ ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH∥ AD 交 AB 于 H, 得∠ CHB=90° ,CH=2,HB=3, ∴ CB= 13 . 又在 Rt△ CBC1 中,可得 BC1= 17 , 在△ ABC1 中,cos∠ C1BA=

3 17 3 17 ,∴ ∠ C1BA=arccos 17 17 3 17 17

异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

另解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 所在 直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系. 则 C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴BC1 =(-2,-3,2),

CD =(0,-1,0),设 BC1 与 CD 所成的角为 θ,
则 cosθ=

BC1 ? CD BC1 ? CD

=

3 17 3 17 ,θ= arccos . 17 17
3 17 17

异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

(06 春)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA=DC=4,DD1=3,求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小(结 果用反三角函数表示). [解法一]连接 A1D ∵ A1D∥ B1C, ∴ ∠ BA1D 是异面直线 A1B 与 B1C 所成的角 连接 BD,在△ A1DB 中,AB=A1D=5,BD=4 2 ……6 分

……4 分

A1 B 2 ? A1 D 2 ? BD2 cos∠ BA1D= 2 ? A1 B ? A1 D
=

25 ? 25 ? 32 9 = 25 2?5?5

……10 分

∴ 异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

9 25

……12 分

[ 解 法 二 ] 以 D 为 坐 标 原 点 ,DA 、 DC 、 DD1 所 在 直 线 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系. ……2 分 则 A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得 A1 B =(0,4,-3), B1C =( -4,0,-3) 设 A1 B 与 B1C 的夹角为 θ, cosθ= ……6 分

A1 B ? B1C A1 B ? B1C

=

9 25

……10 分

∴ 异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

9 25

(06 文)在直三棱柱 ABC ? ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;
ABC S 所成角为 45 ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积 (2)若 AC 1 与平面
解:(1) ∵ BC∥B1C1, ∴ ∠ ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵ ∠ ABC=90° , AB=BC=1, ∴ ∠ ACB=45° , ∴ 异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° . (2) ∵ AA1⊥ 平面 ABC,

∠ ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ ACA =45° . ∵ ∠ ABC=90° , AB=BC=1, AC= 2 , ∴ AA1= 2 . ∴ 三棱锥 A1-ABC 的体积 V=

1 6 S△ABC× AA1= . 3 2
? ?

(06 理)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所 (结果用反三角函数值表示) [解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥ 平面 ABCD, ∠ PBO 是 PB 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 , 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° =1, 由 PO⊥ BO, 于是 ,PO=BOtg60° = 3 , 而底面菱形的面积 ∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积 V= A B E O D C

P

成角的大小 得 ∠ PBO=60° . 为2 3.

1 × 2 3 × 3 =2. 3

(2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△ AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、 D、P 的坐标分别是 A(0,- 3 ,0), B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, E 是 PB 的中点,则 E(

3 ).
3 ), AP =(0, 2

1 3 3 ,0, ) 于是 DE =( ,0, 2 2 2

3 , 3 ).

3 2 2 2 ? 设 DE ,θ=arccos , 与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ= 4 4 9 3 ? ? 3?3 4 4
∴ 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥ PA, ∴ ∠ FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角), 在 Rt△ AOB 中 AO=ABcos30° = 3 =OP,

2 ; 4

于是, 在等腰 Rt△ POA 中,

6 . 2 在正△ ABD 和正△ PBD 中,DE=DF= 3 ,
PA= 6 ,则 EF=

1 6 EF 2 2 ? 4 = cos∠ FED= DE 3 4
∴ 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

E、F 分别是 A?B ? 和 AB 的中点, (07 春)如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, 求异面直线 A?F 与 CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) [解法一] 如图建立空间直角坐标系. ?? 2 分
由题意可知 A?( 2, 0, 2 ), C ( 0, 2, 0 ), E ( 2, 1, 2 ), F ( 2, 1, 0 ) .

2 . 4

? A?F ? ( 0, 1, ? 2 ), CE ? ( 2, ? 1, 2 ) .
设直线 A?F 与 CE 所成角为 ? ,则

?? 6 分

co? s ?

A?F ? CE A?F ? CE

?

5 5 ?3

?

5 . 3

?? 10 分

5 ? ? ?arccos , 3
即异面直线 A?F 与 CE 所成角的大小为 arccos [解法二] 连接 EB ,

5 . 3

?? 12 分 ?? 2 分

? A?E // BF ,且 A?E ? BF ,? A?FBE 是平行四边形,则 A?F // EB ,

? 异面直线 A?F 与 CE 所成的角就是 CE 与 EB 所成的角.
由 CB ? 平面 ABB ?A ? ,得 CB ? BE . 在 Rt △ CEB 中, CB ? 2,

?? 6 分

BE ? 5 ,则
?? 10 分

t an ?C E B ?

2 5 , 5 2 5 . 5

? ?CEB ? arctan

? 异面直线 A?F 与 CE 所成角的大小为 arctan

2 5 . 5

? (07 文)在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 2 ,直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求

正四棱锥 P ? ABCD 的体积 V . 解:作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O .连接 AO , O 是 正方形 ABCD 的中心, ?PAO 是直线 PA 与平面

P

D

C

ABCD 所成的角.

?PAO = 60? , PA ? 2 .? PO ? 3 .
AO ? 1, AB ? 2 ,
1 1 2 3 ? V ? PO S ABCD ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3

4 3 17.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ? B? ? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 , 7
1 2 10 4 8 ? ? . 7 5 7

? S ? ac sin B ? ? 2 ?

1 2

(07 理) 如图,在体积为 1 的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?ACB ? 90? , 平面 BB1C1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) . 解法一: 由题意,可得体积

AC ? BC ? 1 .求直线 A1 B 与

V ? CC1 S△ABC ? CC1

1 1 AC BC ? CC1 ? 1 , 2 2

? AA1 ? CC1 ? 2 .
连接 BC1 .
A1C1 ? B1C1,A1C1 ? CC1 ,

? A1C1 ? 平面 BB1C1C , ? ?A1 BC1 是直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角.
BC1 ? CC1 ? BC 2 ? 5 ,
2

? t an ?A1 BC1 ?

A1C1 5 1 ,则 ?A1 BC1 = arctan . ? 5 BC1 5
5 . 5
C1
1 1 AC BC ? CC1 ? 1, 2 2

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan 解法二: 由题意,可得 体积 V ? CC1 S?ABC ? CC1

z
B1

A1

C

B y

x

A

? CC1 ? 2 ,
1, 0) , 如图,建立空间直角坐标系. 得点 B( 0, C1 ( 0,, 0 2) , A1 (1,, 0 2 ) . 则 A1 B ? ( ? 1 , 1, ? 2) ,

平面 BB1C1C 的法向量为 n ? (1,, 0 0) .

?, 设直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角为 ? , A 1B 与 n 的夹角为
则 cos ? ?

A1 B n A1 B n

??

6 6 6 , ? sin ? ?| cos? |? , , ? ? arcsin 6 6 6 6 . 6

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin

4 3 17.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7 7


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