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2008年高三立体几何二轮复习建议


2008年高三立体几何二轮复习建议

? 第一部分:重温“考试说明”

1.江苏省普通高中数学课程标准教学要求 立体几何初步
(1)空间几何体 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;能运用 这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。 能画出简单空间图形(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易 组合)的三视图,能识别上述的三

视图所表示的立体模型;能使用 纸板等材料制作简单空间图形(例如长方体、圆柱、圆锥等)的模 型,会用斜二测法画出它们的直观图。 了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图) ,了解三 视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。 会画某些简单实物的三视图与直观图 (在不影响图形特征的基础上, 直观图的尺寸、线条等不作严格要求) 。

(2)点、线、面之间的位置关系 理解空间点、线、面的位置关系;会用数学语言规范地表述空 间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的 4 条公理、 3 条推论和 1 条定理: ◆公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线 在此平面内。 ◆公理 2: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且 只有一条过该点的公共直线。 ◆公理 3:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行。 ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,并且方向 相同,那么这两个角相等。

了解空间线面平行、垂直的有关概念;能正确地判断空间线线、 线面与面面的位置关系;理解如下的 4 条关于空间中线面平行、垂 直的判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此 平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理 (这 4 条定理的证明, 这里不作要求) 。

理解如下的 4 条关于空间中线面平行、垂直的性质定理: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平 面的交线与该直线平行。 ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交 线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平 面垂直。

能用图形语言和符号语言表述这些性质定理,并能加以证明。 能运用上述 4 条公理、3 条推论和 9 条定理证明一些空间位置关系 的简单命题。 了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平 面角的概念;了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距 离、 两个平行平面间的距离的概念 (上述角与距离的计算不作要求) 。

2.2008江苏高考数学科考试说明

空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查 要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够 根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本 元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合。

要 求 A B 柱、锥、台、球及其简单组成体 √ 14.空间几何体 三视图与直视图 √ 柱、锥、台、球的表面积和体积 √ 平面及其基本性质 √ 15.点、线、面 直线与平面平行、垂直的判定与性质 √ 之间的位置关系 两平面平行、垂直的判定与性质 √ 内 容

C

3.命题走向
(1)占分比重: 立体几何在高考中的占分比重,随课程内容的变化有所下降, 2002 年前全国的试卷中, 一般有三小一大, 约 26 分, 占全卷的 17.4%, 2003 年江苏自主命题仍延续三小一大,约 26 分;而 2004 年江苏立 几一般“一小一大”共 17 分,仅占 11.3%,2005 年年江苏“一小一 大”共 19 分,约占 12.7%,2006 年是“两大一小” ,33 分,占全卷 的 22%(其中一题是以立几为背景的应用题) ,2007 年又恢复为“一 小一大” 共 17 分, 占 11.3%。 这与立体几何所占的学时比例 (36/324) 基本相当。

由于立体几何内容与方法较多,又是考查空间想象能力的重要 途径,我们认为题量“一小一大”较为合理。 预测 2008 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系: 题 目难易适中,立足于棱柱、棱锥和正方体,以多面体为依托,把直 线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的性质和判定作为 重点。 过去立几解答题的基本模式是“一题三问,一证两算,以算为 主” ;2008 年的文理合卷中肯定淡化空间角与距离的计算,代之以 “平行、垂直关系的证明或探求” ,难度上有所降低,此类题由旧题 改造的可能性很大。

解答题多采用一题多问的方式,这样既降低了起点,又分散了 难点,试题既包含了一定量的证明步骤,也包含了计算部分,能较 全面地考查逻辑推理能力,空间想象能力和运算能力,同时还应注 意利用前面的结论、图形等分析后面的结论。估计这种命题的特点 还将保持下去。 线线、线面、面面的平行与垂直问题,重点考查直线与直线、 直线与平面的位置关系,这类题既可考查多面体的概念和性质,又 能考查空间的线面关系,并将论证与计算有机地结合在一起,可以 比较全面的考查学生的能力。 估计 2008 年立几解答题的模式可能是 “一题三问, 二证一探索”

第二部分:复习建议
1.复习规划 立体几何二轮复习,建议两个课时: 第一课时,空间几何体(包括三视图,直观图,展开与折叠, 表面积和体积) ;第二课时,空间的平行与垂直(点、线、面之间的 位置关系,线与线、线与面、面与面平行与垂直的定义、判定定理 和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关的问题,并会规范 地写出解题过程)

2、地位:兵家必争 虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上不时有些出人意 外之处,但总体上还是保持了稳定,所以复习备考工作有章可循, 有法可依。特别是立体几何试题难度中等,大题分步设问,层次分 明,使得不同层次的学生都可得到一定的分数,因而立体几何成为 历年数学高考中的“兵家必争之地” 。估计立几大题会放在解答题的 第一或第二题的位置。必须拿全分。

3、该部分内容宽度、厚度的把握 (1)依纲靠本,控制难度. 从近年高考立体几何试题的命题来源来看,很多题目是出自于 课本,或略高于课本。我们在复习备考中,一定要依纲靠本,控制 好题目的难度,不出偏题、怪题。 立体几何由于文、理教学内容的不同,考试要求也相应地发生 了变化,文科只考必修的内容即:要求掌握简单的几何体的画法(三 视图、直观图);点线面之间的位置关系;即只有定性分析(位置关 系),而无定量分析(求角和距离等)。 在立体几何里,垂直是热点,中点是常考,正方体是基本的模 型。

(2)网络完备,主干突出 立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络,要突出这门 学科的主干。如转化思想是统帅立体几何的数学思想,所以要让学 生牢固树立以下的思维脉络: 立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转 化,即:

?? 线∥面 ? ?? 面∥面 线∥线 ? 性质 ?判定 ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ?? ?? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面 线∥线 ?

由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找 证题思路。 证明平行,一般利用平行四边形或三角形中位线 证明线线垂直时应优先考虑,三垂线定理及其逆定理
例如 06 年天津高考:如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩 1 形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱 EF // BC . ?2 E (1)证明 FO //平面 CDE ; F (2)设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平面 CDF .
A O B C D

证明: (1)取 CD 中点 M,连结 OM. 1 1 在矩形 ABCD 中, OM // BC ,又 EF // BC , 2 2 则 EF //OM ,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形.? FO // EM 又 FO ? 平面 CDE,切 EM ? 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE ( 2 ) 连 结 FM , 由 ( Ⅰ ) 和 已 知 条 件 , 在 等 边 △ CDE 中 ,
CM ? DM , EM ? CD

又 OM⊥CD EO ∵
EM ?

且 EM∩OM=M, ∴CD⊥平面 EOM, 从而 CD⊥

3 1 CD ? BC ? EF .因此平行四边形 EFOM 为菱形,从 2 2

而 EO⊥FM.

FM ? CD ? M ,所以 EO⊥平面 CDF.

(3)理据充分,规范答题 从近年立体几何解答题的答题情况来看,学生“会而不对,对 而不全”的问题比较严重,很值得引起我们的重视。因此,在平时 的训练中,我们就应当培养学生规范答题的良好习惯, 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 ①有关三垂线定理问题 很多教师说,整个高中立体几何就是“三垂线定理” 。尽管说得 过分些,但从另外一个角度说明, “三垂线定理”在整个高中“立体 几何”中的地位和作用。确实, “三垂线定理”是整个立体几何内容 的一个典型代表,处在整个立体几何知识的枢纽位置,综合了很多 知识内容:直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。 三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高, 在证明线线 垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线, 从 而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根据定理由已知的两直线 垂直得出新的两直线垂直. 另外通过计算证明线线垂直也是常用的 方法之一。 三垂线定理及其逆定理的本质就是线面垂直, 使用时务必加上 “线 面垂直” 。

例 3:如图 3,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 求证: (1) B1 D ? BC1 ; (2) B1 D ? 面 A1 BC1

D1
A1

C1

B1
D
C
B

A

例 4:如图 4,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移

动,试问 A1 D 与 D1 E 的位置关系怎样?为什么?
D1
A1

C1

B1
D
C
E

(答案:永远保持 互相垂直)

A

B

②有关平面几何的证明问题 立几中凡涉及平面几何的问题,一定严格按照初中平面几何的 证明要求,不能跳步骤。 平行线分线段成比例 在立几中,四边相等的四边形为菱形,这样证明不行,必须先 证共面或平行四边形。 ③正方体、棱柱等有哪些可直接用而不须交代证明的性质

(4)重视想象,识图画图 空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查 要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够 根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本 元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合。 2008 年对空间想象能力的要求进一步提高,试题会有直接对空 间想象能力的考查; 立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上,要把 握好以下三点:
①、培养学生识图、想图、画图的能力(包括规范图形和非规 范图形) ; ②、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力,要把文字 语言、符号语言和图形语言有机结合起来; ③、培养学生对图形的处理能力,会把非标准图形转化为标准图形, 对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。

例 1

如图是一个奖杯的三视图,请你画出它的直观图,并求出这

个奖杯的体积。
10cm 20cm 5cm
主视图 左视图

20cm

俯视图

例 2.长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1,从 A 到 C1 沿长方体 的表面的最短距离为( )

A.1+ 3

D1

B.2+ 10
1 3

C1

C.3 2

D.2 3

A1 B1 解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形 .

答案:C
A

D 2

C B

例 3(06 年江西)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 1, 高为 8,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 A1 点的 .. 最短路线的长为
A

10
A

A

C
C B B1 C1

B

B

C

A

A1

A1

C1

B1

A1

B1

C1

A1

解:将正三棱柱 ABC ? A1B1C1 沿侧棱 CC1 展开,其侧面展开图如图所 示,由图中路线可得结论.

例4.(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形, 正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图 (或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射 影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD ; 1 (1) V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3 (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上 的高为
?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , ?2?
2 2

另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰

三角形,
?6? AB 边上的高为 h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2 2

因此

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

注重培养学生的空间想象能力,画出简单空间图形的三视图与直观 图,且会把三视图、直观图还原成空间图形。 例 5. (宁夏?理? 8 题) 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( B )
10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

例 6. (06 年山东)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重 合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的体积为(C)

4 3? (A) 27

6? (B) 2

6? (C) 8

6? (D) 24
6 , 4

解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1,故外接球半径为
4 6 3 6 ? ,故选 C. 外接球的体积为 ? ( ) ? 3 4 8

例 7. (05 年全国高考)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方 形,且△ADE、△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )

A

2 3

B

3 3

C

4 3

E

F

3 D 2

D

C

A B 解:分别取 AD、BC 的中点 M、G,分别过点 M、G 作 MN⊥EF、GH⊥EF, 垂足分别为 N、H,连 AN、ND、BH、HC.原几何体可分割为左三棱锥 E -AND,右三棱锥 F-BHC,直三棱柱 AND-BHC。
E N H F

M A

D B

G

C

易求得该多面体的体积为

2

,故选 A.

从能力上,着重考查空间想象能力,即空间形体的观察分析和抽象的 能力,要求是“四会” : (1)会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作 的辅助线(面) ,作出图形要直观虚实分明; (2)会识图——根据题目所给的图形,想象出立体的形状和有关的 线面关系; (3)会析图——对图形进行必要的分解、组合; (4)会复图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或 实行割补术;

(5)强调数学思想方法 化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法,在解答问 题时,往往需要定理之间的相互转化,这当中,一个定理的结论,常常 又是后续定理的前提条件。在对问题的证明或计算时,一般需要将立体 图形化归为平面图形,把新的问题情景纳入到原有的认知结构中去,用 我们熟悉的平面几何知识或三角方法解答。立体几何中,平面与空间图 形间的变换(如把平面图形折叠、旋转成空间图形,把空间图形展开成 平面图形,把空间图形切割、补形与换底等) ,要善于运用“转化”和 “降维”的思想方法,通过点、线、面之间的平行与垂直关系,最终将 问题归结到某个平面内,使问题容易解决。

例 8(2005 年上海)有两个相同的直三棱柱,高为

2 ,底面三角 a

形的三边长分到为 3a、4a、5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是 ________________.

分析和解 这两个相同的直三棱柱各有 5 个面,但是拼合的方法却 有 7 种, 由于底面三角形是直角三角形, 所以拼合底面的方法只有一种, 而每个侧面都有两种不同的拼合方法,拼成后的三棱柱或四棱柱,其俯 视图如图所示。

如果拼合成四棱柱,俯视图有(2) , (4) , (6) , (7)四种,由于粘合的

面积越大,四棱柱的表面积越小,所以表面积最小的四棱柱当属(6) , (7)两种,且其表面积都是
2 S ? 2(3a ? 4a) ? 2(3a ? 4a) ? ? 24 a 2 ? 28 。 a

如果拼合成三棱柱,俯视图有(1) , (3) , (5)三种,计算可知对 应的三棱柱的表面积分别为:12a +48,24a +36,24a +32。 为使 S 最小,只须满足 24a +28<12a +48,解得 a ? (0,
2 2 2 2 2

15 )。 3

要考虑所有可能的情形必须分类,第一类是“摞”成一个三棱柱, 全面积为 12a +48; 第二类是使长为 3a 的两个面重合拼成三棱柱或四棱 柱, 全面积为 24a +36; 第三类是使长为 4a 的两个面重合拼成三棱柱或 四棱柱,全面积为 24a +32;第四类是使长为 5a 的两个面重合拼成三 棱柱或四棱柱,全面积为 24a +28。只需解不等式 24a +28<12a +48, 便可得到所求的 a 的取值范围。这一过程中,应用穷举法,以保证分类 不重不漏,依据全面积的大小,有效地整合出一个不等式是两个关键步 骤,恰恰体现了先“分”后“合” ,有“分”有“合”的思想。
2 2 2 2 2 2

例 9. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆, 且这个圆锥的体积为 求圆锥的表面积.

( S ? 12?



8 3 ?. 3

例 10.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器中 放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面和球面正好相切,然后将 球取出,求这时容器中水的深度.
A M D E O N B

C

解:如图,已知圆 O 是球的大圆,它切于△ABC,又球的半径为 r, 则 OD=r,AD= 3r, AB= AC=BC=2 3r,CD=3r, 1 1 ∴V 圆锥 CMN∶V 圆锥 CAB=( ???ME2?CE)∶( ???AD2?CD)=CE3∶CD3. 3 3 1 4 3 5 3 2 由题设可知,V 圆锥 CMN=V 圆锥 CAB-V 球 O= ?? AD ?CD- ?r = ?r . 3 3 3 5 3 ∴ ?r3∶3?r3=CE3∶(3r)3,∴CE= 15r.即取出球后,水面的高度为 3
3

15r.

例 11.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,

AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点.
(1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明 你的结论。
分析: (1) 由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B , 只要证明 C1D 垂 直交线 A1B1 ,由直线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。 (2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只要过 D 作 AB1 的垂线,它与 BB1 的 交点即为所求的 F 点位置。

点评:本题(1)的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是 直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ,立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)是 开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题。


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