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高二数学理答案


高二月考理科数学答案
) B.[1,+∞) D.[-1,0)∪(0,1] 2 2 2?x -1? 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),由 f′(x)=2x- = ≤0 及 x>0 知 0<x≤1,故 x x 选 A. 答案:A 2. 若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx-2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值

为( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:函数的导数为 f′(x)=12x2-2ax-2b,函数在 x=1 处有极值,则有 f′(1)=12 -2a-2b=0,即 a+b=6,所以 6=a+b≥2 ab,即 ab≤9,当且仅当 a=b=3 时取等号, 选 D. 答案:D 3.[2014· 江门模拟]设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x) 的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) 一、选择题(5 ? 10 ) 1.函数 f(x)=x2-2lnx 的单调递减区间是( A.(0,1] C.(-∞,-1]∪(0,1]

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 解析:由图可得函数 y=(1-x)f′(x)的零点为-2,1,2,则当 x<1 时,1-x>0,此时在(- ∞,-2)上 f′(x)>0,在(-2,1)上 f′(x)<0;当 x>1 时,1-x<0,此时在(1,2)上 f′(x)<0,在 (2,+∞)上 f′(x)>0.所以 f(x)在(-∞,-2)为增函数,在(-2,2)为减函数,在(2,+∞)为增 函数,因此 f(x)有极大值 f(-2),极小值 f(2),故选 D. 答案:D 1 4 若?a(2x+ )dx=3+ln2(a>1),则 a 的值是( ) x ?
1

A.2 C.4

B.3 D.6

1 ?a 解析:∵?a(2x+ )dx=(x2+lnx)? =a2+lna-(12+ln1)=a2-1+lna. x ?1 ?
1

1 且? (2x+ )dx=3+ln2. x ?
a 1

∴a2-1+lna=3+ln2,∴a=2,故选 A. 答案:A 5.如图所示,曲线 y=x2 和曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分),则该叶形图的面积 是( )

1 A. 2 1 C. 6

1 B. 4 1 D. 3

2 ?x=1 ?x=0 ? ? ?y=x 解析:由? ,解得? 或? ,根据积分的应用可得阴影部分的面积为?1 ? ? y = 1 y = 0 ?0 ? ? ?y= x 2 3 1 ?1 2 1 1 ( x-x2)dx=( x - x3)? = - = ,选 D. 3 2 3 ?0 3 3 3

答案:D 6.函数 y=x4-4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为( ) A.72 B.36 C.12 D.0 3 3 解析:因为 y′=4x -4,令 y′=0 即 4x -4=0,解得 x=1.当 x<1 时,y′<0,当 x>1 时,y′>0,所以函数的极小值为 y|x=1=0,而在端点处的函数值 y|x=-2=27,y|x=3=72,所 以 ymin=0. 答案:D 5 7.若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+ ,则 a+b=( ) 2-i A. 2 B.1 C.-2 D.0 2 解析 由已知得 ai+i =b+(2+i), ?b+2=-1, ?a=1, ? ? 即-1+ai=(b+2)+i,∴? ∴? ?a=1, ?b=-3, ? ? ∴a+b=1-3=-2. 答案 -2 8.已知复数 z 的实部为 1,且|z|=2,则复数 z 的虚部是( ) . A.7 B.3 C.12 D.± 3 解析 设 z=a+bi(a,b∈R),由题意知 a=1, ∴1+b2=4,∴b2=3,∴b=± 3. 答案 9 若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 5,1) B.[- 5,1) C.[-2,1) D.(-2,1)

解析:

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以 f(x)的大致图象如图所示, f(1)=-2, ? ?-2≤a<1 f(-2)=-2,若函数 f(x)在(a,6-a2)上有最小值,则? ,解得-2≤a<1. 2 ?6-a >1 ? 答案:C x2,x∈[0,1] ? ? 10 设 f(x)=?1 (其中 e 为自然对数的底数),则?e f(x)dx 的值为( ) ? , x ∈ ? 1 , e ] ? 0 ?x 4 5 A. B. 3 4 6 7 C. D. 5 6 1 x3 ? 1 1 4 ?e 解析:?e f(x)dx=?1f(x)dx+?e f(x)dx=?1x2dx+?e dx= ? +lnx? = +lne= , x 3 3 3 ?0 ?1 ? ? ? ? ?
0 0 1 0 1

故选 A. 答案:A 二.填空题(5 ? 5) 11.已知 i 是虚数单位,则 2 =1-i. 1+i 答案 1-i 解析 1+ai 为纯虚数,则实数 a=________. 2-i 1+ai ?1+ai??2+i? 2-a 2a+1 解析 = = + i, 5 5 2-i ?2-i??2+i? 2-a 由题意知: =0,∴a=2. 5 答案 2 13 将正奇数 1,3,5,7, …排成五列(如下表), 按此表的排列规律, 89 所在的位置是第________ 列. 12.设 i 是虚数单位,复数 2 =________. 1+i

解析 正奇数从小到大排,则 89 位居第 45 位,而 45=4×11+1,故 89 位于第四列. 答案 四 14 在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 S1 S2

1 = .推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体 A-BCD 的内切球体积为 V1,外接球 4 V1 体积为 V2,则 =________. V2 解析 平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球 V1 1 的半径的立方成正比,所以 = . V2 27

1 27 15 我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为 弦.若 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a2+b2=c2,称这个定理为勾股 定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体 O-ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA =90° ,S 为顶点 O 所对面的面积,S1,S2,S3 分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC 的面积, 则 S,S1,S2,S3 满足的关系式为________. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ①S2=S1 +S2 2+S3;②S = 2+ 2+ 2;③S=S1+S2+S3;④S= + + . S1 S2 S3 S1 S2 S3 答案 解析 如图,作 OD⊥BC 于点 D,连接 AD,由立体几何知识知,AD⊥BC,从而 S2= 1 1 1 ?1BC· ? 2 1 2 AD2 = 1 BC2· OA? 2 (OA2 + OD2) = (OB2 + OC2)· OA2 + BC2· OD2 =? ?2 AD? = 4BC · ?2OB· ? 4 4 4 1 1 ?2 2 2 2 OA?2+? BC· +? ?2OC· ? ?2 OD? =S1+S2+S3.

答案 ① 三.解答题 1-x 16(12).已知函数 f(x)= +lnx,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则求正实数 a ax 的取值范围. 1- x 解析:∵f(x)= +lnx, ax ax-1 ∴f′(x)= (a>0), ax2 ∵函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数, ax-1 ∴f′(x)= ≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立, ax2 1 ∴ax-1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≥ 对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.检验:当 x a=1 时满足题意. 答案:[1,+∞) 17(12).函数 f(x)=x(x-m)2 在 x=1 处取得极小值,求 m. 解析:f′(1)=0 可得 m=1 或 m=3. 当 m=3 时,f′(x)=3(x-1)(x-3), 1<x<3,f′(x)<0;x<1 或 x>3,f′(x)>0,此时 x=1 处取得极大值,不合题意,所以 m =1. 答案:1 18(12).已知函数 f(x)=(x2-3x+3)ex,设 t>-2,函数 f(x)在[-2,t]上为单调函数时,求 t 的取值范围. 解析:因为 f′(x)=(x2-3x+3)· ex+(2x-3)· ex=x(x-1)· ex. 由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<0; 由 f′(x)<0 得 0<x<1, 所以 f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. 要使 f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0. 答案:(-2,0]

ax 19(13)设 a>0,f(x)= ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. a+x (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. a a a 解 (1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)= ;a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= . 1+a 2+a 3+a a 猜想 an= (n∈N*). ?n-1?+a (2)证明:①易知,n=1 时,猜想正确. ②假设 n=k 时猜想正确, a 即 ak= , ?k-1?+a a a· ? k - 1 ?+a a· ak a a 则 ak+1=f(ak)= = = = . a a+ak ?k-1?+a+1 [?k+1?-1]+a a+ ?k-1?+a 这说明,n=k+1 时猜想正确. a 由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an= . ?n-1?+a 20(12).已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R). 若函数 f(x)在 x=1 处有极值 10,求 b 的值; 解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b, ?f′?1?=3+2a+b=0 ? 于是,根据题设有? , 2 ?f?1?=1+a+b+a =10 ?
? ? ?a=4 ?a=-3 解得? 或? . ?b=-11 ? ? ?b=3 ?a=4 ? 当? 时,f′(x)=3x2+8x-11,Δ=64+132>0,所以函数有极值点; ? b =- 11 ? ? ?a=-3 当? 时,f′(x)=3(x-1)2≥0,所以函数无极值点. ?b=3 ? 所以 b=-11. (2)由题意知 f′(x)=3x2+2ax+b≥0 对任意的 a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立, 所以 F(a)=2xa+3x2+b≥0 对任意的 a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立. 因为 x≥0, 所以 F(a)在 a∈[-4,+∞)上为单调递增函数或为常数函数, ①当 F(a)为常数函数时,F(a)=b≥0; ②当 F(a)为增函数时,F(a)min=F(-4)=-8x+3x2+b≥0, 即 b≥(-3x2+8x)max 对任意 x∈[0,2]都成立, 4 16 16 又-3x2+8x=-3(x- )2+ ≤ , 3 3 3 4 16 16 2 所以当 x= 时,(-3x +8x)max= ,所以 b≥ . 3 3 3 16 所以 b 的最小值为 . 3

21(14).设 f(x)=ln(1+x)-x-ax2. (1)当 x=1 时,f(x)取到极值,求 a 的值; 1 1 (2)当 a 满足什么条件时,f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间? 2 3

解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), -2ax2-?2a+1?x 1 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x 1 由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0,得 a=- , 4 1 2 1 1 x - x x?x-1? 2 2 2 1 又当 a=- 时,f′(x)= = , 4 1+x 1+x 当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0, 1 所以 f(1)是函数 f(x)的极大值,所以 a=- . 4 1 1 (2)要使 f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间, 2 3 1 1 即要求 f′(x)>0 在区间[- ,- ]上有解, 2 3 1 1 当- ≤x≤- 时, 2 3 f′(x)>0 等价于 2ax+(2a+1)>0. ①当 a=0 时,不等式恒成立; 2a+1 ②当 a>0 时,得 x>- , 2a 2a+1 1 此时只要- <- , 2a 3 解得 a>0; 2a+1 ③当 a<0 时,得 x<- , 2a 2a+1 1 此时只要- >- , 2a 2 解得-1<a<0. 综上所述,a∈(-1,+∞).


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