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2012年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答


2012 年北京市中学生数学竞赛
高一年级复赛试题及参考解答
2012 年 5 月 13 日 8:30~10:30. 一、填空题(满分 40 分,每小题 8 分,将答案写在下面相应的空格中) 小题号 答案 1 150 2
11 3

3 4

4
5? 5 2

5 (37,74)



1.函数 y=

x 4 ? 13x 2 ? 36 的图像与平行于 x 轴的直线 y=c 恰有一个交点.则 c 能取到 ( x ? 3)( x ? 2)


的所有值的乘积等于 答:150. 解:函数 y ?

x 4 ? 13x 2 ? 36 的 定 义 域 是 x≠?2 , x≠3 , 将 分 子 因 式 分 解 并 约 分 , ( x ? 3)( x ? 2)

y?

x 4 ? 13x 2 ? 36 等价于 y=x2+x?6,其图像是抛物线 y=x2+x?6 挖去点(?2, ?4)和(3, 6),所 ( x ? 3)( x ? 2)

以直线 y=c 与挖去两个点的抛物线恰有一个交点,当且仅当 c 取?6.25(抛物线 y=x2+x?6 顶点纵坐标)以及?4,6,共三个值,其积为 150. 2.如右图,锐角△ABC 内接于半径为 R 的⊙O,H 是△ABC 的垂心,AO 的延长线 与 BC 交于点 M,若 OH⊥AO,BC=10,OA=6,则 OM = 11 答: . 3 解:添线如图,则△AOH∽△ONM,且 AH=CF=2ON, OM AH CF 2ON ? ? ? 所以 , ON AO AO AO
OM ? 2ON 2(OB ? BN ) 2(6 ? 5 ) 11 ? ? ? . AO AO 6 3
2 2 2 2 2


A F O? B MN ?H C

3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B,顶点为 C, 如果△ACB 恰是直角三角形,那么判别式 Δ 的值是 答:4. 解:因为二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B,所以 Δ=b2?4ac>0. .

? b 4ac ? b 2 ? b c 设 A(x1, 0),B(x2, 0), C ? ? , ? ,根据韦达定理 x1+x2= ? a ,x1x2= a , 4a ? ? 2a
则 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?
2 2 2 ? b ? 4c b ? 4ac .不妨设 a>0,则 ? 4 x1 x2 ? ? ? ? ? ? a a2 ? a? 2

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AB= x1 ? x2 ? 所以

b2 ? 4ac a

| 4ac ? b2 | b2 ? 4ac ,得 b2 ? 4ac ? 2 . ? 4a 2a 因此,Δ=b2?4ac=4.
4.如右下图,半圆 O 的半径为 1,AC⊥AB 于 A,BD⊥AB 于 B,且 AC=2,BD=3, P 是半圆上任意一点,则封闭图形 ABDPC 的面积的最大值为 答: .
D E P A ? O B

5? 5 2 H 解:如图所示,作 CE⊥BD 于 E ,则△ CED≌△CAO. 所以 C ∠OCD=90° ,当五边形 ABDPC 的面积 S 取最大值时,要△CPD 的面

积最小,即三角形的高 PH 最小,由图可知 OP+PH≥OH≥OC.所以 高最小为 OC?OP= 5 ?1,又求得 CD= 5 ,所以
5( 5 ? 1) 5 ? 5 SABDPC=SABDC-SCPD= 5 ? = . 2 2

5.和为 111 的两个自然数 x 和 y,使得等式 x cos 个条件的一组自然数(x, y)是 答: (37,74) . .

?y
2x

? y sin

?x
2y

? 0 成立,满足这

解 : 要 使 等 式 成 立 , 考 虑 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 , 观 察 cos
cos

?y , 当 y=2x 时 , 2x

?y =cosπ=?1,不妨按 y=2x 进行实验,原式 2x

2 x? x? ? 2 ? 2 x sin ? x cos ? ? 2 x sin ? ? x ? 2 x ? =0 =右边. 2x 2 ? 2x 4 2 ?y ?x ? y sin ? 0 的要求.令 x+y=111,所以 x=37,y=74. 恰合于 x cos 2x 2y

左边= x cos

即,合于题设条件的一组自然数( x , y )的是(37,74) . 二、 (满分 15 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=3,BC=4,以 B 为中心,将 △ABC 顺时针旋转,使点 A 落在 CB 延长线上的点 A1 处,此时点 C 落在点 C1 的位置. 连接 AA1,CC1 相 交于 O,CC1 交 AB 于 D,AA1 交 BC1 于 E,求四边形 BDOE 的面积.
C D B A O E A1 C1

解:易知∠ABA1=∠CBC1,所以等腰△ABA1∽等腰△CBC1.且∠OAB=∠OCB, 所以 B、C、A、O 四点共圆,连 BO,有∠AOB=90° ,O 为 AB 中点,且 B、O、C1、 A1 也共圆.
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由勾股定理得 AA1 ? AC 2 ? CA12 ? 32 ? 92 ? 3 10 ,所以 AO ? 容易发现△CDB∽△A1BE∽△ADO,设 S△CDB =x,则 S?A1EB ?

3 10 . 2

25 45 x , S?ADO ? x ,再设 16 32 1 27 1 27 SBDOE=y, 有 S ?ACA1 ? ? 3 ? (4 ? 5) ? . 又 CO 平分△ACA1 的面积, 因此 S?COA1 ? S?ACA1 ? , 2 2 2 4 1 15 而 S ?ABA1 ? ? 5 ? 3 ? ,因此列得方程组: 2 2

? ? 25 ? 27 24 ? x ? ? ?1 ? 16 ? x ? y ? 4 , ? ? ?? ? 13 . 解之,得: ? ? 105 25 45 15 ? ? ?y ? ? ? ? ?x? y ? . ? ? 52 ? 16 32 2 ? ??
答:四边形 BDOE 的面积是
105 . 52

三、 (满分 15 分) (1)如果整数 a、b 和 c 满足关系式 a2+b2=2c2?2,求证 144│abc. (2)试写出不定方程 a2+b2=2c2?2 的一组正整数解,并对这组正整数解验证 144│abc. 解: (1)证明:因为 144=32× 42,只须证 9│abc 并 16│abc 即可. 先证 9│abc.由于不被 3 整除的整数的平方被 3 除余 1,被 3 整除的整数的平方仍被 3 整除.从而被 3 除余 2 的整数一定不是平方数. 如果 a,b 都不被 3 整除,则等式左边的 a2+b2 被 3 除余 2;等式右边,若 c2 被 3 整 除, 则 2c2?2 被 3 除余 1, 若 c2 被 3 除于 1, 则 2c2?2 被 3 整除. 由此可得, 等式 a2+b2=2c2?2 恒不能成立.因此 a,b 和 c 要满足关系式 a2+b2=2c2?2,a,b 中至少有一个被 3 整除.若 a,b 都为 3 的倍数,显然 ab 为 9 的倍数,更有 9│abc.若 a,b 只有一个为 3 的倍数, 则 a2+b2 被 3 除余 1.又 a,b 和 c 要满足关系式 a2+b2=2c2?2,就有 2c2?2 被 3 除余 1, 因此 c2 被 3 整除,c 被 3 整除.所以 9│abc. 再证 16│abc.由 a,b 和 c 满足关系式 a2+b2=2c2?2,可知 a , b 的奇偶性相同。因为 若 a,b 一奇一偶,则 a2+b2 为奇数,而 2c2?2 为偶数,矛盾!所以必需 a,b 的奇偶性相 同. 若 a,b 同为奇数,则 a2+b2≡2(mod8),即 2c2?2≡2(mod8),进而得 c2≡2(mod8), 与 c2 是平方数矛盾!所以只能 a,b 同为偶数.此时 a2+b2≡0(mod4), 即 2c2?2≡0(mod4),进而得 c2≡1(mod4),此时 c 为奇数, 因此 c2≡1(mod8),进而得 2c2?2≡2(c2?1)≡0(mod16). 由 a2+b2=2c2?2≡0(mod16),同余式 a2+b2≡0(mod16)当且仅当 a , b 同为 4 的倍数.因此 16│ab ? 16│abc.因为(9,16)=1,所以 144 abc . (2)例子,a=12,b=4,c=9 时,122+42=2× 92?2. 而 abc=12× 4× 9=432=144× 3,即 144│12× 4× 9.

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四、 (满分 15 分)在边长都是正整数的三角形中,周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形哪一种的数量多?说明理由. 答:两种三角形的数量相等. 理由:设自然数 k≥n≥m 是周长为 2009 的三角形边长,则自然数 k+1,n+1,m+1 是周长为 2012 的三角形的边长,这样的三角形存在,因为由不等式 m+n > k 推出 (m+1)+(n+1)>(k+1), 即, 每个周长为 2009 的三角形都有周长为 2012 的三角形与之对应. 所以,如果再我们证明,每个周长为 2012 的三角形都有周长为 2009 的三角形与之 对应.命题的论断将被证明. 设 K≥N≥M 是周长为 2012 的三角形的边长,则①,它的所有边长大于 1.实际上, 三角形的每条边大于另两边的差, 所以如果某边长为 1, 那么两条另外的边应当是彼此相 等的, 并且在这种情况下三角形的周长是奇数. ②, M+N>K, 由此(M?1)+(N?1)≥(K?1). 等 式成立时,我们得到 M+N+K=2K+1(奇数) ,它等于 2012,这意味着数 M?1,N?1 和 K?1 中两个较小数的和大于第三个,且这些数是某个三角形三边的长. 所以周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形的数量一样多. 五、 (满分 15 分) 在锐角△ABC 中,O 是外心,I 是内心,连接 AI,BI 和 CI 的直线交 △ABC 的外接圆分别于点 A1,B1 和 C1.求证: 的半径,r 是△ABC 内切圆的半径.) 证明:由于 I 是内心,易知 A1 是 BC 的中点,B1 是 AC 的中点,C1 是 AB 的中点。连 接 AB1,B1C,CA1,A1B,BC1,C1A,则有 A1B=CA1,B1C=AB1,C1A=BC1。 设 AA1 交 B1C1 于 H1,BB1 交 A1C1 于 H2,CC1 交 A1B1 于 H3,可得∠AH1B1=90° ,因 此 AA1⊥B1C1,同理可得 BB1⊥A1C1,CC1⊥A1B1. 下面用两种方法计算六边形 AB1CA1BC1 的面积 S. 注意到△AB1C1≌△IB1C1(∠AB1C1=∠IB1C1,B1C1=B1C1,∠AC1B1=∠IC1B1),因此 AH1=IH1,所以 S AB1IC1 ? 2SB1IC1 ;同理, SBC1IA1 ? 2S A1IC1 , SCA1IB1 ? 2SB1IA1 .相加得
S ABC 2r . (其中 R 是△ABC 外接圆 ? S A1B1C1 R

S ? S AB1IC1 ? SBC1IA1 ? SCA1IB1 ? 2SB1IC1 ? SC1IA1 ? S A1IB1 ? 2SA1B1C1
另一方面,连 OA,OB1,OC,OA1,OB,OC1,由垂径定理得 OB1⊥AC,OA1⊥BC, OC1⊥AB。则

S ? SOAB1C ? SOBC1A ? SOCA1B
1 R = (OB1?AC+OC1?AB+ OA1?BC)= (AC+AB+BC) 2 2
C
1

A B1 H
1

R ? S ABC . r R ? S ABC S 2r ? 2S A1B1C1 ,即 ABC ? 所以, . r S A1B1C1 R ?

H
2

I ? O

H
3

B A1

C

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