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贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷(三)理科数学-答案

时间:2015-02-09


贵阳第一中学 2015 届高考适应性月考卷(三) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.由 2 x ? 1 得 x ? 0 ,由 log 2 x ? 1 得 x ? 2 ,故选 D. 2. z ? i ? z 2 ? ?1, z 3 ? ?i, z 4 ?

1 ,故选 B.
?| x |, ? 3≤x≤1, ∴f ( x) 的最大值为 3,故选 C. 3.由 x 与 1 大小知, f ( x) ? ? ?1, 1 ? x≤3,

1 D

2 B

3 C

4 C

5 C

6 D

7 B

8 C

9 B

10 B

11 A

12 A

4 3 4.几何体为半径是 3 的球的四分之三,∴体积为 πR3 ? ? 27π ,故选 C. 3 4
5.将 2 名女生与老师看成一个整体,与 2 名男生一起排列,有 A3 3 种排法,再考虑 2 名女生有
3 2 A2 2 种排法,∴共有 A3 A2 ? 12 种,故选 C.

6.由 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 和 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集相同不能得到 和 x2 ? x ? 2 ? 0 , 反之由

a1 b1 c1 ? ? ,如 x 2 ? x ? 1 ? 0 a2 b2 c2

a1 b1 c1 ? ? 也不能得到 a1 x2 ? b1 x ? c1 ? 0 和 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解 a2 b2 c2

集相同,如 a1 ? b1 ? c1 ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? ?1,故选 D. 7 .由直线方程 ( x ? y ? 4) ? m(3x ? y ) ? 0 可知定点为 (1, 3) , ∴a1 ? 1, a2 ? 3 , ∴an ? 2n ? 1 ,
1? 1 1 ? 10 ∴bn ? ? ? ? ,∴T10 ? ,故选 B. 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 21

8. (bn? 2 ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn ) ? 2 ? {bn?1 ? bn } 为等差数列,公差为 2, 首项 b2 ? b1 ? 1 ,∴bn?1 ? bn ? 2n ? 1 ,用累加法得 bn ? n2 ? 2n ? 2 , 故选 C. 9.画出图象如图 1,故选 B.
理科数学参考答案·第 1 页(共 8 页)
图1

?2 6 ? 2 6 2 3? 10 . 假 设 QF1 QF2 ? 0 得 Q ? ? 3 , 3 ? ? ,∴N 落在 ? ?? 3 , 3 ? ? ?

6? ? ? 内,由几何概型知使 ?

QF1 QF2 ? 0 的 N 点的概率为

6 ,故选 B. 3

? a | PA |2 ? | PB |2 b ? B (0, b) ? P ? , ? ? 2 ? 2? ? 2 , 11. 建立坐标系, 设 A(a, 0) , , 代入得 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 | PC | ? ?

? ? ?1 时得最小值为 1,故选 A.
?b? ?2a (?4) ? 6b ? 8≥0, 1? ? ? b 12 b a ? 12.由已知得 ?2a 2 ? 8≥0, 求出 的取值范围为 ≤ ≤3 ,所以 ? ? 的最小值为 b a 7 a ?b≤6, ? a
4

?

80 ,故选 A. 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13. t ? 2 , Tr ?1 ? C
r 4

13 24

14 1

15
5

16
4 2

x

4? r

?2? r r 4?2r ,令 4 ? 2r ? 0 ? r ? 2 , ? ? ? C4 2 x ? x?

r

2 ∴常数项的值为 C2 4 2 ? 24 .

?2? | x |? 0, ∴x ? (?2, ? 1) 14.∵? ?2? | x |? 1,

(?1, 1)

(1, 2) .作出曲线如图 2,

由此知 y ? ax 2 过 (1, 1) ,得 a ? 1 .
图2

15.点 (c, 0) 到渐近线 bx ? ay ? 0 的距离为 b,则 b ? 2a, ∴e ? 5 .
s? ? 2 16.直 线 l 方 程 为 : (m ? n) x ? y ? m n? 0, 由 已 知 , m , n 是 方 程 x 2 s i n? ? x c o? 0

的 两 根 , ∴m ? n ?

? cos? 2 ? , s i? n 到 ) 直线 l 的距离为 , mn ? ? ,∴圆心 (cos sin? sin ?

| (m ? n ) co? s ? si ? n ? mn | ? 1 ,∴由勾股定理可知弦长为 4 2 . 2 (m ? n ) ? 1
理科数学参考答案·第 2 页(共 8 页)

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 m ∥ n ,有 (sin A ? sin B ? sin C )(sin A ? sin C ? sin B) ? sin C sin B , 由正弦定理得 (a ? b ? c)(a ? c ? b) ? bc ? a2 ? b2 ? c2 ? bc ? A ? 60? .????(4 分) (Ⅱ)如图 3,AD=1,

∴BD ?

1 1 , , CD ? tan B tan C sin A , sin B sin C
图3

BC ? BD ? CD ?

∴S△ABC

1 1 sin A ? AD BC ? 1 2 2 sin B sin C

?

3 1 , ? 4 1 sin ? 2 B? π ? ? 1 ? 6? ? 4 2 ?
1 1 4 2π π? 1 3 ≥ , 得 0 ? sin ? ? 2 B? ? ? ≤ ? 6 ? ? 1 1 2 4 4 3 π? 3 sin ? ? 2 B? ? ? 6? 4 2 ?

由0? B?

∴S≥

3 4 3 ? , ∴Smin ? . 4 3 3

????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) k 2 ?

60(6 ?18 ? 22 ?14)2 ? 3.348 ? 2.706 , 40 ? 20 ? 32 ? 28

P( K 2 ? 2.706) ? 0.10 ,

∴在犯错误的概率不超过 0.10 的条件下,认为“性别与测评结果有关系” . ??????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,性别很有可能对能否优秀有影响, ∴采用分层抽样按男女比例抽取一定的学生,这样得到的结果比较符合实际情况. ????????????????????????????(6 分)

理科数学参考答案·第 3 页(共 8 页)

(Ⅲ)4 名检查人员,从 20 名学生中随机取 1 名是男生的概率为
?7? P(? ? 0) ? C ? ? ? P 1, ? 10 ?
0 4 4

3 ,ξ=0,1,2,3,4, 10

P(? ? 1) ? C1 4

3?7? ? ? ? P2 , 10 ? 10 ?
2 2

3

? 3? ?7? P(? ? 2) ? C2 4? ? ? ? ? P3 , ? 10 ? ? 10 ? ? 3? ?7? P(? ? 3) ? C3 4? ? ? ? ? P4 , ? 10 ? ? 10 ? ? 3? P(? ? 4) ? C4 4? ? ? P5 , ? 10 ?
4 3

故随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 P1 1 P2 2 P3 3 P4 4 P5

∴E(? ) ? 0 ? P 1 ? 1? P 2 ? 2? P 3 ? 3? P 4 ? 4? P 5 ?

6 . 5

????????????????????????????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:建立如图 4 的直角坐标系. 由 AB ? 2 ,可得 OA ? OB ? 1 , 则 A(0, ? 1, 0), B(1, 0, 0), C (0, 1, 0),
D(?1, 0, 0), A1 (0, 0, 1), B1 (1, 1, 1) ,

∵AC ? (0, 1, ? 1), BB1 ? (0, 1, 1), BD ? (?2, 0, 0) , 1

图4

? ? A1C BB1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0, ∴? ? ? A1C BD ? 0 ? 0 ? 0 ? 0,
∴A1C ? 平面BB1 D1 D .

??????????????????????(4 分)

理科数学参考答案·第 4 页(共 8 页)

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, AC ? (0, 1, ? 1) 是平面 BB1 D1 D 的法向量. 1 设平面 OCB1 与平面 BB1 D1 D 所成锐二面角大小为 ? , 平面 OCB1 的法向量为 m ? (a, b, c) ,

∵ OC ? (0, 1, 0), OB1 ? (1, 1, 1) ,

? ?b ? 0, ?m OC ? b ? 0, ∴? ?? ? ?m OB1 ? a ? b ? c ? 0 ?a ? ?c,
不妨取 c ? ?1 ,∴m ? (1, 0, ? 1) ,

∴| m AC 2 1 |?

2 cos? ? 1 ? cos? ?

1 π ?? ? . 2 3

∴平面 OCB1 与平面 BB1 D1 D 所成锐二面角为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?
?ax 2 ? 2bx ? a , ( x 2 ? 1)2

π . 3

???????????(12 分)

由 f ?( x) ? 0 得 ?ax2 ? 2bx ? a =0 的两根为 x1 , x2 . 显然 x1 , x2 是极值点.

2b ? ?x ? x ? ? , ∴? 1 2 a ? ? x1 x2 ? ?1,

ax1 ? b ? 2 ? f ( x1 ) ? x2 ? 1 ? 2, ? ? ?ax1 ? b ? 2 x1 ? 2, 1 ?? ? b ? 0 ? x1 , x2 分别是 1, ? 1 , ? 2 ax ? b ax ? b ? ? 2 x ? 2 ? 2 ? f (x ) ? 2 ? ?2 ? 2 2 2 ? x2 ?1 ?
再代回 f ( x1 ) 或 f ( x2 ) 求得 a ? 4 . ?????????????????(5 分)

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(Ⅱ) F ( x) 的零点个数 ? F ( x) =0 方程的不等实根 的个数 ? f ( x) ? g ( x) 不等实根的个数, 即
4x ? k 的不等实根的个数, 1? ? ( x 2 ? 1) ? x ? ? 3? ? 4x 与 y ? k 的交点个数. 1? ? ( x 2 ? 1) ? x ? ? 3? ? 4x 研究单调性,作图如图 5, 1? ? ( x 2 ? 1) ? x ? ? 3? ?
1? ? ? ??, ? ? 2? ? ? 1 1? ?? , ? ? 2 3?
?
图5

即需找 y ?

由函数 y ?

x
f ?( x) f ( x)

?1 ? ? , ? ?? ?3 ?

?

?

1 48 ∴当 x ? ? 时, f ( x) 有极大值 , 2 25
由图象知 k≤0 时,1 个; 0 ? k ?

48 48 48 时, 3 个; k ? 时, 2 个; k ? 时, 1 个. 25 25 25

?????????????????????????????(12 分) 21.(本小题满分 12 分)

?c 1 ? ? , 解: (Ⅰ) ? a 2 ? a ? 2 ? b2 ? 3 , ? ? 4a ? 8
∴椭圆 E 的方程为 (Ⅱ)当 M 为 (0,

x2 y 2 ? ?1. 4 3

??????????????????(4 分)

3) 时, l 为 y ? 3 ,点 N (4,

3) ,

∴以 MN 为直径的圆为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,此时圆与 x 轴有一交点(1,0), 此时(1,0)点满足以 MN 为直径的圆经过定点 G(1,0), 当 M 不在 (0,

3) 时,不妨设以 MN 为直径的圆过定点 G (1, 0) ,
理科数学参考答案·第 6 页(共 8 页)

? y ? kx ? t , ? ? ? ? 0 ? 4k 2 ? 3 ? t 2 , 由 l 与椭圆只有一个公共点及 ? x 2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?4
3? ? 4k 3 ? ? 4k ? 1, ? , GN ? (3, 4k ? t ) , 此时 M 为 ? ? , ? , N (4, 4k ? t ) , GM = ? ? t? ? t t? ? t

GM GN ? ?

12k 12k ?3? ?3?0 , t t
??????(12 分)

∴存在定点 G(1,0)使以 MN 为直径的圆恒过定点 G(1,0). 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明:因为 PA 与圆 O 相切于 A , 所以 DA2 ? DB DC ,

?????????????????????(5 分)

因为 D 为 PA 中点,所以 DP=DA, 所以 DP2 ? DB DC ,即

PD DB . ? DC PD

因为 ?BDP ? ?PDC ,所以 △BDP∽△PDC , 所以 ?DPB ? ?DCP . ??????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3
???????????????(5 分)

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

(Ⅱ)设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos? , sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

d?

3 cos? ? 3 sin ? ? 3 2

π? ? 3 2 sin ?? ? ? ? 1 4? ? . ? 2

π? ? 因为 ? 2≤ 2 sin ? ? ? ?≤ 2 ,所以 4? ? π? π π 3π ? 当 sin ? ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? 2kπ ? (k ? Z) 时,d 取得最大值. 4? 4 2 4 ?

理科数学参考答案·第 7 页(共 8 页)

此时 3 cos ? ? ?

6 2 , sin ? ? ? . 2 2

? 7π ? 6 2? ? 综上,点 M 的极坐标为 ? 2, ? , ? ? 时,该点到直线 l ? 或点 M 的直角坐标为 ? ? 2 6 ? 2 ? ? ? ?
的距离最大. ?????????????????????????(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ )由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5≥0 , 如图 6,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象,知定义域为 (??, ? 2] [3, ? ?) . ???????????????(5 分) (Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时,
图6

恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a≥0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ≥ ? a ,又 x ? 1 ? x ? 2 ≥3 ,
∴? a≤3, ∴a≥ ? 3 .

???????????????????????(10 分)

理科数学参考答案·第 8 页(共 8 页)


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