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2011届高三数学一轮复习精练:圆锥曲线


高三数学一轮复习精练:圆锥曲线
一、选择题 1.两个正数 a、 b 的等差中项是 离心率为 A.

9 x2 y2 , 一个等比中项是 2 5 , 且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的 a b 2

5 3

B.

41 4

C.

5 4

D.

41 5

2.已知:? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0 ? ?y ? 4 ? x
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同的

交点,它们围成的平面区域为 M,向区域 ? 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为

P( M ) ,若 P ( M ) ? [
A. [ ,1]

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为 2?
B. [0,

1 2

3 ] 3

C. [

3 ,1] 3

D. [0,1]

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 3.已知椭圆 C : 2

FA ? 3 FB ,则 | AF | =
(A).

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

4.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的 直线,该直线与双曲线的 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 ( 2 C. 5
) D. 10

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 5.下列命题中假命题是( B. 3 )

A.离心率为 2的双曲线的两渐近线互相垂直 B.过点(1,1)且与直线 x-2y+ 3 =0 垂直的直线方程是 2x + y-3=0 C.抛物线 y2 = 2x 的焦点到准线的距离为 1 D.

25 x 2 y2 + 2 =1 的两条准线之间的距离为 2 4 5 3
2

6.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ).

A. y 2 ? ? 4 x

B. y 2 ? ? 8x

C. y 2 ? 4 x

D. y 2 ? 8x

7.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若

FA ? 2 FB ,则 k=
(A)

1 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

x2 y 2 P , F2 为右焦点, 8.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a b
若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为 A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

9.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多 2 2 4 b

有一个交点的充要条件是 A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
? ? 2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

D. K ? ? ??, ?

? ? ?

2? ? 2 ?

10. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2

y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =
A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 11.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2

12.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是

A.2 二、填空题

B.3

C.

11 5

D.

37 16

1.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 2、已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a, b ? R ? )的离心率e ? [ 2 ,2] ,则一条渐近线与实轴所构成 2 a b

的角的取 值范围是_________. 3.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2
.



?F1PF2 的大小为
. 4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在 a 2 b2


一点 P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值 范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1

5.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 , 则m 的倾斜角可以是 ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)
o

6.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为 60 则双曲线 C 的离心率为



6 2
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 则 p 的值为 6 3


7.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

三、解答题

1.(本小题满分 12 分,(Ⅰ)问 5 分,(Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为

x?

5 ,离心率 e ? 5 . 5
(Ⅰ)求该双曲线的方程; ( Ⅱ ) 如 图 , 点 A 的 坐 标 为 (?

5 , 0, ) B 是圆

x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上 的 点 , 点 M 在 双 曲 线 右 支 上 , 求

MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标;

2.(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

3.(本小题满分 12 分)
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 已知椭圆aC:b

3 3 的离心率为

, 过右焦点 F

的直线 l 与 C 相交于 A、B

两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O
(Ⅰ)求 a,b 的值;

2 2 到

l 的距离为

(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立 ? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

?

?

?

4.(本小题满分 14 分) 如图,已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 椭圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ; (2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点, 证明:直线 EF 与圆 G 相切.

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 为 16

y M A B F

0
C
E

x

. G

[来源:学,科,网]

5.(本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

3 ),两个焦点为(-1,0)(1,0)。 2

[来源:学科网]

6.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 四个点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交 点 P 的坐标。 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A、B、C、D

7.(本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
10 3

的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小 值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

8.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。 已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近 线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

参考答案 一、选择题 1.【答案】:D 【解析】:由已知得 a ? b ? 9, ab ? 20,

a ? b ? a ? 5, b ? 4 ,?c ? a2 ? b2 ? 41 ,

?e ?

c 41 ? ,选 D。 a 5

2.【答案】:D 解析: 已知直线 y ? mx ? 2m 过半圆 y ? (-2, 0) , 4 ? x 2 上一点
2 y

当 P( M ) ? 1 时,直线与x轴重合,这时m=0,故可排除 A,C,若m =1,如图可求得当 P ( M ) ? 3.【答案】:A

? ?2 ,故选 D. 2?

X -2

o

2

【解析】:解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意

FA ? 3FB ,故 | BM |?
A 4.【答案】:C

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? | AF |? 2 .故选 3 2 3 3

【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) ,则有 ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?
BC ? ( 2a 2b 2a 2b ab ? ? ab , ? ), AB ? ? ? , ? 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a ?b a ?b ?
, 因

2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 .
5.【答案】:D 【解析】: 对于 A:e =

2 ,a = b,渐近线 y = ±x 互相垂直,真命题. 对于 B:

设所求直线斜率为 k,则 k=-2,由点斜式得方程为 2x+y-3=0 , 也为真命题. 对 于 C:焦点 F(

1 1 ,0),准线 x = - , d = 1 真命题. 对于 D: a = 5 ,b = 3 , 2 2

c = 4 ,d = 2·

a 2 25 ? c 2

假命题,选 D.

【总结点评】本题主要考查对圆锥曲线的基本知识、相关运算的熟练程度. 以及思维的灵活 性、数形结合、化归与转化的思想方法. 6. 【答案】:B.
2 【 解 析 】 : 抛 物 线 y ? ax (a ? 0) 的 焦 点 F 坐 标 为 ( , 0) , 则 直 线 l 的 方 程 为

a 4

y ? 2 (x ?

a a 1 a a ), 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) , 所以△ OAF 的面积为 | | ? | |? 4, 解得 4 2 2 4 2

a ? ?8 .所以抛物线方程为 y 2 ? ? 8x ,故选 B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. 7.【答案】:D 【解析】:本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0),

由 FA ? 2 FB 及第二定义知 x A ? 2 ? 2( xB ? 2) 联立方程用根与系数关系可求 k= 8.【答案】:B 【解析】因为 P(?c, ? B 9.【答案】:A 【解析】易得准线方程是 x ? ?

2 2 。 3

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 a a a 3

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A 10.【答案】C 【 解 析 1 】 : 由 题 知

b2 ? 2





y0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F1 (?2,0), F2 (2,0) ,
∴ PF1 ? PF2 ? (?2 ? 3 ,?1) ? (2 ? 3 ,?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 ,故选择 C。 【解析 2】:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1 ,则左、右焦点坐标 2 2

分别为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) , 再 将 点 P( 3, y0 ) 代 入 方 程 可 求 出 P( 3, ?1) , 则 可 得

PF1 ? PF2 ? 0 ,故选 C。
11.【答案】B 【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的 距离等于半径 2即可. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P
2

到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点
2

F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

解析 2:如下图,由题意可知 d ? 二、填空题 1.【答案】:4

| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42

?2

解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4。 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
ππ 2.【答案】:[ , ]. 43 【解析】:依题意 有 2 ? 得1 ?

c c2 a 2 ? b2 b2 ? 2 ,∴ 2 ? 2 ? 4 ,即 2 ? ? 4 1 ? ?3, ,∴ a a2 a a2

b ? ? ? 3 ,∴ ? ? ? a 4 3

3. 【解析】 本题主要考查椭圆的定义、 焦点、 长轴、 短轴、 焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 【答案】 2, 120? ∵ a2 ? 9, b2 ? 3 , ∴ c ? a2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 , ∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,∴ PF 2 ? 2, (第 13 题解答图)

又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4
?

?

?

2

1 ?? , 2

? ∴ ?F 1PF 2 ? 120 ,故应填 2, 120 .

4.【答案】

?

2 ? 1,1

?
PF2 PF1 ? sin PF1F2 sin PF2 F1

【解法 1】,因为在 ?PF 1F 2 中,由正弦定理得

则由已知,得

a c ? ,即 aPF1 ? cPF2 PF PF 1 2 1 1

设 点 ( x0 , y0 ) 由 焦 点 半 径 公 式 , 得 P 1 F?

a ? ,0e x

2

P ?F ?则 a 0

e x

a(a ? ex0 ) ? c(a ? ex0 )
记得 x0 ?

a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) 由椭圆的几何性质知 x0 ? ?a则 整理得 ? ? ?a , e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解 得 e ? ? 2 ?1 或e ? 2 ? ,又 1 e ?( 0 ,, 1)故 椭 圆 的 离 心 率

e ? ( 2 ?1,1)
【解法 2】: 由解析 1 知 PF1 ?

c PF2 由椭圆的定义知 a

c 2a 2 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? ,由椭圆的几何性质知 a c?a PF2 ? a ? c, 则
析 1. 5.本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想。 【解析】 : 两平行线间的距离为 d ?

2a 2 ? a ? c, 既c 2 ? 2c ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0,以下同解 c?a

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o ,l 1 的
o 0 0 o 0 0

倾斜角为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。故填写①
o

或⑤ 6.【答案】:

6 2
?

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知,这个三角形的两边直角 分别是 b, c (b 是虚半轴长, c 是焦半距 ) ,且一个内角是 30 ,即得

b ? ? tan 30 ,所以 c

c ? 3b ,所以 a ? 2b ,离心率 e ?

c 3 6 ? ? a 2 2

7.【答案】:6. 【解析】:本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识. 双曲线

P x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,所以, ? 3 ,p=6 2 6 3

三、解答题 1. 1. 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 可 知 , 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为

x2 y 2 5 a2 5 2 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,设 c ? a ? b ,由准线方程为 x ? 得 ,由 ? 2 a b 5 c 5

e? 5


c ? 5 a

解得 a ? 1, c ? 5

从而 b ? 2 ,? 该双曲线的方程为 x ?
2

y2 ? 1; 4

(Ⅱ)设点 D 的坐标为 ( 5,0) ,则点 A、D 为双曲线的焦点,| MA | ? | MD |? 2a ? 2 所以 | MA | ? | MB |? 2? | MB | ? | MD |≥ 2? | BD | ,

B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上

的 点 , 其 圆 心 为 C (0, 5) , 半 径 为 1 , 故 | B D≥ | |C D ?| ? 1

1 ?0

从 1 而

| M A |? | M ≥ B| ? 2 |B ≥ D |

? 10

1

当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | ? | MB | 的最小值为 10 ? 1 直线 CD 的方程为 y ? ? x ? 5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0

?4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 由方程组 ? ? ? y ? ?x ? 5
所以 M 点的坐标为 (

解得 x ?

? 5?4 2 4 5 ?4 2 ,y? 3 3

? 5 ?4 2 4 5 ?4 2 , ); 3 3

2.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2) 假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? k x

? y ? kx ? m ? m 解 方 程 组 ? x2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要 使 O A ?

O ,B需 使 x1 x2 ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 y1 ?y0 2 , 即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 8 ? 3m ? 8

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? ,所求的圆为 2 3m ? 8 3 3 1? 8

x2 ? y 2 ?

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m? ? ,而当切线的斜 3 3 3

率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的两个交点为 ( ,? )或 与椭圆 8 4 3 3 3

(?

8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? , 使得该圆的 3 3 3

任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) , 所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线 与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系. 3.解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距 离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数 关系解决问题,注意特殊情况的处理。 解:(Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

0?0?c 2


?

c 2

c 2

?

2 , c ?1 2

由 e?

c 3 ? a 3

得 a?

3 , b ? a2 ? c2 = 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2 x + 3 y 2 =6. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设 l的方程为y ? k ( x ? 1) C 上的点P使OP ? OA ? OB 成立的充要条件是 P点的坐标为( ,且 x1 ? x2 , y1 ? y2)
2

2( x1 ? x2 ) 2 ? 3( y1 ? y2 ) 2 ? 6
整理得 2x1 ? 3 y1 ? 2x2 ? 3 y2 ? 4x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6
2 2 2 2

又A、B在C上,即 2 x1 ? 3 y1


2

2

? 6,2 x 2 ? 3 y 2 ? 6


2

2

2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? 3 ? 0

将 y ? k ( x ? 1)代入2x 2 ? 3 y 2 ? 6, 并化简得

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0
于是 x1 ? x 2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , = , x x 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 1)(x 2 ? 2) ?

? 4k 2 2 ? 3k 2
3 2

2 代入①解得, k ? 2 ,此时 x1 ? x 2 ?

于是 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) = ? 因此, 当 k ? ? 2 时, P( ,

k 3 k , 即 P ( ,? ) 2 2 2

3 2

2 ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ; 2

当k ?

3 2 2 时, P( ,? ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 。 2 2

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知,C 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 成立。 综上,C 上存在点 P( ,?

3 2

2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2

2x ? y ? 2 ? 0 .

4.解: (1)设 B(2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

GD HB y r ? 得 ? 0 , 2 AD AH 6?r 36 ? r



y0 ?

r 6?r 6?r
2

(1)

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 而点 B(2 ? r, y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ? 16 16 16
2 由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ?

(2)

2 6 或 r ? ? (舍去) 3 5
(3)

(2) 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx 9
(4)



2 2k ? 1 2 ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

解得 k1 ?

将(3)代入

32k x2 ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 16k 2 ? 1 16

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

则直线 FE 的斜率为: kEF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ? 即y?

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 FE d ? ? 则圆心 (2, 0) 到直线 的距离 3 9 1? 16
故结论成立. 5.解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 1 ? b 2 4b 2

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去)。 2 1? b 4b 4
. . .. . .4

所以椭圆方程为 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ),F( xF , yF ).因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2
分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

. . . . . . . 8

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
.......12

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 分

6.解:(Ⅰ)将抛物线 E : y ? x 代入圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 的方程,消去 y ,
2 2 2 2 2

整理得 x ? 7 x ? 16 ? r ? 0 .............(1)
2 2

抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A 、 B 、C 、 D 四个点
2 2 2 2

的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 ? 5 5 5 ? ?r ? ? 或r ? ?r?4 ∴ ? x1 ? x 2 ? 7 ? 0 即? 2 2 。解这个方程组得 2 ? ? 2 ? x1 ? x 2 ? 16 ? r ? 0 ?? 4 ? r ? 4

r ?(

15 , 4) . 2

(II) 设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2 ? 7, x1 x2 ? 16 ? r 2 , r ? ( 则S ?

15 , 4) 2

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2

? S 2 ? [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)
令 16 ? r 2 ? t ,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t ) 方法 1:由三次均值有: 下面求 S 的最大值。
2

1 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ? ( ) ? ?( ) 2 3 2 3
当且仅当 7 ? 2t ? 14 ? 4t ,即 t ?

7 15 时取最大值。经检验此时 r ? ( , 4) 满足题意。 6 2

法 2:设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 则直线 AC、BD 的方程分别为

y ? x1 ?

? x 2 ? x1 x 2 ? x1

( x ? x1 ), y ? x1 ?

x 2 ? x1 x 2 ? x1

( x ? x1 )

解得点 P 的坐标为 ( x1 x2 ,0) 。 设t ?

1 x1 x2 ,由 t ? 16 ? r 2 及(Ⅰ)得 t ? (0, ) 4 1 ( 2 x1 ? 2 x 2 ) | x1 ? x 2 | 2

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S ?

则 S 2 ? ( x1 ? 2 x1 x2 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 将 x1 ? x 2 ? 7 , 式,并令 f (t ) ? S ,等
2

x1 x2 ? t 代 入上

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2

∴ f `(t ) ? ?24t 2 ? 56t ? 98 ? ?2(2t ? 7)(6t ? 7) , 令 f `(t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `(t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `(t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `(t ) ? 0 6 6 6 2 7 时, f ( t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P 的坐标 6

故当且仅当 t ?

为 ( ,0) 。 7.解法一: (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1
[来源:学科网]

7 6

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

[来源:学#科#网]

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而

M(

10 16k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ? 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k
即 S(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) ? x ? ? ? ? 4k 3 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? | MN |? 当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

1 16k 1 ? ,即 k ? 时等号成立 4 3 3k 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

1 4

此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? | BS |?

6 4 5 5

4 2 5
1 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 5

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

2 2 ,所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 的直线 l 上。 4 4
设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

则由

3 5 |t ?2| 2 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 2 2 4 2

解:(1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2分 2

? 直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ……….8 分 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

当k ?

2 时,d ? 6 2

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为 6 。

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
设 t ? 3 2k ? 6 当k ?

由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6

1? k 2 ,

1? k 2

2 , t ? 3 2k ? 6 1 ? k 2 ? 0………………………………..13 分 2
2 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ?1) ? 0

将 y0 ? kx0 ? t

(*)

k?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立
故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分


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