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【南方新高考】2016高考数学大一轮总复习 第三章 第2讲 导数的应用课件 理


第 2讲 导数的应用 1.函数 y=xsin x+cos x 在下面哪个区间内是增函数 (C ) π 3π A.(2, 2 ) 3π 5π C.( 2 , 2 ) B.(π,2π) D.(2π,3π) 解析:y′=(xsin x+cos x)′ =sin x+xcos x-sin x =xcos x, 3π 5π 当 x∈( 2 , 2 )时,恒有 xcos x>0

. 2.设 f(x)在(a, b)内有定义, x0∈(a, b ), 当 x<x0 时, f′(x) >0;当 x>x0 时,f′(x)<0.则 x0 是( D ) A.间断点 C.极大值点 B.极小值点 D.不一定是极值点 解析:因为 x→x0 时,函数 f(x)的极限不一定等于 f(x0), 所以 f(x)在 x0 处不一定连续,则 x0 不一定是极值点.故选 D. 3. 函数 f(x)的定义域为开区间(a, b ), 导函数 f′(x)在(a, b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值 点的个数为( A ) A.1 C.3 B.2 D.4 解析:从 f′(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右 的单调性依次为增→减→增→减, 根据极值点的定义可 知 f(x)在(a,b)内只有一个极小值点. 4. 函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如下图, 则函数 f(x) 的单调递增区间为 [-1,0]和[2,+∞) . 5. .如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下 列判断: 1 ①函数 y=f(x)在区间(-3,-2)内单调递增; 1 ②函数 y=f(x)在区间(-2,3)内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=-2时,函数 y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是 ③ . 1 解析:①函数 y=f(x)在区间(-3,-2)内有增有减,故不 1 正确;②函数 y=f(x)在区间(-2,3)内有增有减,故不正确; ③函数 y=f(x)在(4,5)内,恒有 f′(x)>0.正确;④当 x=2 时, 1 函数 y=f(x)有极大值,故不正确;⑤当 x=-2时,f′(x)≠0, 故不正确.故答案为③. 一 利用导数研究函数的单调性 1 2 【例 1】设函数 f(x)=x -2ax +3x+5(a>0),求 f(x)的单 3 调区间. 【思路点拨】由于是高次函数,所以用导数法,先求 导得 f′(x)=3x2-ax+3,令 f′(x)=0 分三种情况讨论: 当判别式 Δ=0 时,为增函数,当 Δ<0 时,为增函数.当 Δ>0 时,两个不同的根为单调区间的分水岭. 【解答过程】f′(x)=3x2-ax+3,判别式 Δ=a2-36=(a -6)(a+6). (1)0<a<6 时,Δ<0,f′(x)>0 对 x∈R 恒成立. 所以当 0<a<6 时,f(x)在 R 上单调递增. (2)a=6 时,y=x3-3x2+3x+5=(x-1)3+4, 所以 f(x)在 R 上单调递增. a+ a2-36 a > 6 时, Δ > 0 ,由 f′(x) > 0 ? x > 或 x< 6 a- a2-36 . 6 a- a2-36 a+ a2-36 f′(x)<0? <x< , 6 6 a+ a2-36 a- a2-36 所以 f(x)在( ,+∞)和(-∞, )内 6 6 a- a2-36 a+ a

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