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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习微专题研究 5


高考调研

新课标版 ·数学(理) ·高三总复习

专题研究 平面向量的综合应用

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第五章

平面向量与复数

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专题讲解

课外阅读

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题 组 层 级 快 练

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第五章

平面向量与复数

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专 题 讲 解

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第五章

平面向量与复数

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题型一 向量与平面几何
例1 已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P →· → -BC → )的最大值为________. 为AB边上任意一点,则CP (BA

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平面向量与复数

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【解析】 方法一:(坐标法)以C为原点,建立平面直 角坐标系如图所示,设P点坐标为(x,y)且 →· → - BC → )= CP →· → =(x,y)· 0≤y≤3,0≤x≤4,则 CP ( BA CA (0,3)= 3y,当y=3时,取得最大值9.

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平面向量与复数

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→ =CA → +AP → ,BA → -BC → =CA →, 方法二:(基向量法)∵CP →· → -BC → )=(CA → +AP → )· → ∴CP (BA CA → 2+AP →· → =9-AP →· → =CA CA AC → ||AC → |cos∠BAC=9-3|AP → |cos∠BAC. =9-|AP ∵cos∠BAC为正且为定值, → |最小即|AP → |=0时,CP →· → -BC → )取得最大值9. ∴当|AP (BA
【答案】 9
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平面向量与复数

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探究1 平面几何问题的向量解法. (1)坐标法.

把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向
量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算, 从而使问题得到解决. (2)基向量法. 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共 线构造关于设定未知量的方程来进行求解.

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平面向量与复数

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思考题1

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(1)(2014· 山东理)在△ABC中,已知

π → → AB· AC=tanA,当A= 时,△ABC的面积为________. 6

→· → =| AB → 【解析】 根据平面向量数量积的概念得 AB AC π 2 → → → |· | AC |cosA,当A= 6 时,根据已知可得| AB |· | AC |= 3 ,故△ 1→ → π 1 ABC的面积为2|AB|· |AC|sin6=6.

1 【答案】 6
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平面向量与复数

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→ = 3 BD →, ( 2 ) 如图所示,在△ABC中,AD⊥AB, BC → |=1,则AC →· → =( |AD AD A.2 3 3 C. 3 ) 3 B. 2 D. 3

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平面向量与复数

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【解析】

→· → =( AB → +BC → )· → =AB →· → + BC →· →= AC AD AD AD AD

→· → = 3 BD →· → = 3|BD → ||AD → |cos∠BDA= 3|AD → |2= 3. BC AD AD
【答案】 D

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平面向量与复数

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题型二 向量与三角函数
例2 已知在锐角△ABC中,向量p=(2-2 s n i A,c o s A+ s n i A),q=( s n i A-c o s A,1+s n i A),且p与q是共线向量. ( 1 ) 求A的大小; ( 2 ) 求函数y=2 s n i 小.
2

B+c o s (

C-3B )取最大值时,B的大 2

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平面向量与复数

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【思路】

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向量与三角函数的结合往往是简单的组

合.如本题中的条件通过向量给出,根据向量的平行得到一

个等式.因此这种题目较为简单.
【解析】 (1)∵p∥q, ∴(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA) =0. 3 3 ∴sin A=4,∴sinA= 2 .
2

∵△ABC为锐角三角形,∴A=60° .

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( 2 ) y=2 s n i
2

2

C-3B B+c o s ( 2 )

180° -B-A-3B =2 s i n B+c o s ( ) 2 =2sin2B+cos(2B-60° ) =1-cos2B+cos2Bcos60° +sin2B sin60° 1 3 =1-2cos2B+ 2 sin2B=1+sin(2B-30° ), 当2B-30° =90° ,即B=60° 时,函数取最大值2.
【答案】 (1)60° (2)B=60°,ymax=2
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探究2

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键,准

确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数 的问题解决.

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平面向量与复数

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思考题2

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(2015· 河南中原名校联考)在△ABC π 3

中,A,B,C为三个内角,a,b,c为对应的三条边, π b sin2 C <C< ,且 = . 2 a-b sinA- sin2 C (1)判断△ABC的形状; → +BC → |=2,求BA →· → 的取值范围. (2)若|BA BC

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b sin2 C 【解析】 (1)由 = 及正弦定理,得 a-b sinA-sin2 C sinB=sin2 C. ∴B=2C或B+2C=π. π π 2π 若B=2C,且3<C<2,则 3 <B<π,∴B+C>π(舍去). 若B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三角形.

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→ +BC → |=2,∴a2+c2+2accosB=4. ( 2 ) ∵|BA 2-a2 又∵a=c,∴cosB= 2 . a 1 2 4 而cosB=-cos2C,2<cosB<1,∴1<a <3. 2 → → 2 2 由(1)知a=c,∴BA· BC=a cosB=2-a ∈(3,1).

2 【答案】 (1)等腰三角形 (2)(3,1)
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题型三 向量与解析几何

例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平 1→ → 1→ → 面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且( PC+ PQ)· (PC - PQ ) 2 2 =0. (1)求动点P的轨迹方程; →· → (2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求PE PF 的最小值.
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【解析】 (1)设P(x,y),则Q(8,y). 1→ → 1→ → 由(PC+2PQ)· (PC-2PQ)=0, 1→2 → 2 得|PC| - |PQ| =0. 4 1 即(x-2) +y - (x-8)2=0. 4
2 2

x2 y2 化简得16+12=1. x2 y2 所以点P在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12
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平面向量与复数

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→· → =(NE → -NP → )· → -NP →) ( 2 ) 因为PE PF (NF → -NP → )· → -NP →) =(-NF (NF → )2-NF →2=NP →2-1, =(-NP x2 y2 P是椭圆 16+ 12=1上的任意一点,
2 x2 y 0 0 设P(x0,y0),则有 + =1, 16 12 2 4 y 0 2 即x0 =16- 3 .又N(0,1),

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1 2 1 → 2 2 2 所以NP =x0+(y0-1) =-3y0-2y0+17=-3 (y0+3)2+ 20. 因为y0∈[-2 3,2 3], →2 取得最小值(2 3 -1)2=13-4 3 所以当y0=2 3时,NP (此时x0=0). →· → 的最小值为12-4 3. 故PE PF

x2 y2 【答案】 (1)16+12=1 (2)12-4 3
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探究3

向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理,

也可以将代数问题转化为几何问题来解决,其中向量是桥 梁,因此,在解此类题目的时候,一定要重视转化与化归.

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思考题3

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x2 y2 若点O和点F分别为椭圆 + =1的 4 3

→· → 的最大 中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 OP FP 值为( A.2 C.6 ) B.3 D.8

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【解析】 由题意,得F(-1 0 ,) ,设P(x0,y0), 则 有

x2 0 4

2 y2 x 0 0 2 → =(x +1,y ), OP →= + =1,解得y 0 =3 ( 1 - ).因为 FP 0 0 3 4 2 2 x x 0 0 → → 2 2 (x0,y0),所以 OP · FP =x0(x0+1)+y 0 =x0 +x0+3 ( 1 - 4 )= 4

+x0+3,对应的抛物线的对称轴方程为x0=-2.因为-
2 2 →· → 取得最大值 +2+3=6, 2≤x0≤2,故当x0=2时, OP FP 4

故选C. 【答案】 C
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课外阅读

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平面向量与复数

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三角形的“心”的向量表示及应用 1.三角形各心的概念介绍

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重心:三角形的三条中线的交点;
垂心:三角形的三条高线的交点; 内心:三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆 的圆心); 外心:三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接 圆的圆心).

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根据概念,可知各心的特征条件.比如:重心将中线长 度分成 2∶1 ;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角 两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等.

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2.三角形各心的向量表示 → +OB → +OC → =0; (1)O 是△ABC 的重心?OA →· → =OB →· → =OC →· →; (2)O 是△ABC 的垂心?OA OB OC OA → |=|OB → |=|OC → |(或OA → 2=OB →2 (3)O 是△ABC 的外心?|OA → 2 ); =OC

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→ → → → AB AC BA BC →· →· ( 4 ) O 是△ABC 的内心?OA ( - )=OB ( - ) → | |AC →| → | |BC →| |AB |BA → → CA CB →· =OC ( - )=0. → | |CB →| |CA → → AB AC 注意 向量 λ( + )(λ≠0)所在直线过△ABC 的内 → | |AC →| |AB 心(是∠BAC 的角平分线所在直线)

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1.将平面向量与三角形外心结合考查 → |=| OB → |=| OC → |,则O是 例1 若O为△ABC内一点,| OA △ABC的( A.内心 C.垂心 ) B.外心 D.重心

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【解析】

由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相

等,故O是△ABC的外心,故选B. 【答案】 B

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2.将平面向量与三角形垂心结合考查 →· → = PB →· → 例2 点P是△ABC所在平面上一点,若 PA PB PC →· → ,则点P是△ABC的( =PC PA A.外心 C.重心 B.内心 D.垂心 )

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→· → =PB →· → ,得 PA →· → - PB →· → =0, 【解析】 由 PA PB PC PB PC →· → -PC → )=0,即PB →· → =0,则PB⊥CA. 即PB (PA CA 同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.故选 D.

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【讲评】

本题考查平面向量有关运算,及“数量积为

零,则两向量所在直线垂直 ”、三角形的垂心的定义等相关 知识.将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及 “ 数量 积为零,则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合. 【答案】 D

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3.将 平 面 向 量 与 三 角 形 内 心 结 合 考 查 例3 O是 平 面 上 一 定 点 , 三 个 点 , 动 点

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A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的

→ → AB AC → = OA → +λ( P满 足 OP + ),λ∈(0, + → → |AB| |AC| △ABC的( )

∞), 则 点 P的 轨 迹 一 定 通 过

A. 外 心 C. 重 心
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B.内 心 D.垂 心
第五章 平面向量与复数

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→ AB → 的单位向量,设 AB → 与 AC → 【解析】 因为 是向量 AB →| |AB → - OA → = AP → ,则原式 方向上的单位向量分别为e1和e2,又 OP → =λ(e +e ),由菱形的基本性质可知AP平分∠ 可化为 AP 1 2 BAC,那么在△ABC中,AP平分∠BAC,故选B.
【答案】 B

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4.将平面向量与三角形重心结合考查 例4 点P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重 1→ → → → 心?PG=3(PA+PB+PC).

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→ =PA → +AG → =PB → +BG → =PC → +CG →, 【证明】 ∵PG → =(AG → +BG → +CG → )+(PA → +PB → +PC → ). ∴3PG → +GB → +GC → =0. ∵点G是△ABC的重心,∴GA → +BG → +CG → =0,即3PG → =PA → +PB → +PC →. ∴AG 1→ → → → 由此得PG= (PA+PB+PC). 3 反之亦然(证略).

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5.将平面向量与三角形四心结合考查 → , OP → , OP → 满足条件 OP → + OP → + 例5 已知向量 OP 1 2 3 1 2 → =0,| OP → |=| OP → |=| OP → |=1, OP 求 证 : △P1P2P3是正三角 3 1 2 3 形.

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【 证 明 】

由 已 知 条 件 可 得

→ +OP →= →, OP - OP 边 平 1 2 3 两

1 → → 方 , 得 OP1· OP2= - 2. 1 → → → → 同 理 OP2· OP3=OP3· OP1= - . 2 → → ∴|P→ 1P2|= |P2P3|= |P3P1|= 3. 从 而 △P1P2P3是 正 三 角 形 .

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1.若O为空间中一定点,动点P在A,B,C三点确定的 → -OA → )· → -AC → )=0,则点P的轨迹一定过 平面内且满足(OP (AB △ABC的( A.外心 C.重心 ) B.内心 D.垂心

答案 D

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→ |=|OB → |= 2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且|OA → |,NA → +NB → +NC → =0,PA →· → =PB →· → =PC →· → ,则点O, |OC PB PC PA N,P依次是△ABC的( )

A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
答案 C

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→ |=|OB → |=|OC → |知,O是三角形的外心,排除 解析 由 |OA 答案A,B. → +NB → +NC → =0得出N必然为重心. 由NA →· → =PB →· → ,∴(PA → -PC → )· → =0. ∵PA PB PC PB →· → =0,∴CA⊥PB,同理,AP⊥BC. ∴CA PB ∴P为△ABC的垂心,故选C.

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→ 2= CB → 2-2AB →· → ,则 3.在△ABC中,若动点P满足 CA CP P点轨迹一定通过△ABC的( A.外心 C.重心
答案 A

)

B.内心 D.垂心

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→· → = CB → 2- CA → 2=( CB → - CA → )· → + CA → )= 解析 2 AB CP ( CB →· → +CA → ),即2AB →· → =AB →· → +CA → ),∴AB →· → -CB → AB (CB CP (CB (2CP → )=AB →· → + AP → )=0.∴以BP → , AP → 为邻边的平行四边形 - CA ( BP 的对角线互相垂直.∴点P在线段AB的中垂线上,故选A.

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→ → AB AC → 与 AC → 满足( → =0且 4.已知非零向量 AB + )· BC → | |AC →| |AB → AC → 1 AB · =2,则△ABC为( → | |AC →| |AB ) B.直角三角形 D.等边三角形

A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形
答案 D

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思路 本题可先由条件的几何意义得出AB=AC,再求 π 得A=3,即可得出答案.

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→ → AB AC → 与AC → 满足( → =0, 解析 因为非零向量 AB + )· BC → | |AC →| |AB 所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC. → AC → 1 AB π 又cos∠BAC= · =2,所以∠BAC=3. → | |AC →| |AB 所以△ABC为等边三角形.故选D.

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题组层级快练

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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练54

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