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北京2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编14:导数


北京 2013 届高三最新文科数学模拟试题分类汇编 14:导数
一、选择题 错误! 未指定书签。(2013 届北京海滨一模文) . 已知曲线

f ( x ) ? ln x 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 (0, ?1) ,
( )

则 x0 的值为

1 A. e

>【答案】B 二、填空题

B. 1

C. e

D. 10

错误! 未指定书签。 . 2013 北京昌平二模数学文科试题及答案) ( 对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,

给出定义: 设 f ' ( x) 是 函 数 y ? f ( x) 的 导 数 , f '' ( x) 是 函 数 f ' ( x) 的 导 数 , 若 方 程 f ??( x) ? 0 有 实 数 解

x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有
“ 拐 点 ”; 任 何 一 个 三 次 函 数 都 有 对 称 中 心 , 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 . 给 定 函 数

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? ,请你根据上面探究结果,解答以下问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 ①函数 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 的对称中心坐标为_________; 3 2 12 1 2 3 2012 )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( ) =________. ②计算 f ( 2013 2013 2013 2013 1 【答案】 ( , 1) ,2012 ; 2 f ( x) ?
错误!未指定书签。 .( 2013 北 京 房 山 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 对 于 三 次 函 数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ''( x ) 是 f '( x) 的导数,
若方程 f ''( x ) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.

1 1 2 1 x ? x ? 1,则该函数的对称中心为____, 3 2 6 1 2 3 2012 计算 f ( )? f ( )? f ( ) ??? f ( ) ? ____. 2013 2013 2013 2013
若 f ( x) ? x3 ?
【答案】 三、解答题 错误!未指定书签。 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a ? R.

1 ( ,1), 2012 2

(I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ? x∈(0,+ ? ),f(x)≥bx-2 恒成立 ,求实数 b 的取值范围.
【答案】

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 第 一 次 综 合 练 习 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ? R .
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.
【答案】解:(Ⅰ)由

f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数定义域为 ? x x ? 0? ,
a a .由题意, f ?(2) ? 4 ? ( a ? 2) ? ? 1 , x 2

且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? 解得 a ? 2

a (2 x ? a)( x ? 1) ? ( x ? 0) . x x a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? . 2
(Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a ?0 ? ? (1)当 a ? 0 时, 2 ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 .
则函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .

0?
(2)当

a a ?1 0? x? ? 2 2 或 x ?1. ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ( x) ? 0 ,得 a (0, ) 2 , (1, ??) .

则函数 f ( x) 的单调递增区间为

a ? x ?1 f ?( x) ? 0 , 得 2 令 . a ( ,1) 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 2 . a ?1 ? (3) 当 2 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . a a ?1 x? f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 2, (4)当 2 ,即 a ? 2 时,令 a ( , ??) 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) , 2 .
? 令 f ( x) ? 0 ,得

1? x ?

a 2. a (1, ) 2

则函数 f ( x) 的单调递减区间为

错误!未指定书签。 . (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)已知函数

f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实 1 ? ax 2

数, x ?

1 是 f ( x ) 的一个极值点. 2 1 时,求函数 f ( x ) 在 [b, ??) 上的最小值. 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 b ?

【答案】解:

f ' ( x) ?

(ax 2 ? 2ax ? 1)e x (1 ? ax 2 )2

(Ⅰ)因为 x ?

1 ' 1 是函数 y ? f ( x ) 的一个极值点,所以 f ( ) ? 0 2 2

因此,

4 1 a ? a ? 1 ? 0 解得 a ? 3 4
4 4 1 时, x ? 是 y ? f (x) 的一个极值点,故所求 a 的值为 3 3 2

经检验,当 a ?

4 8 ( x 2 ? x ? 1)e x 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ' ( x ) ? 3 4 (1 ? x 2 )2 3
f ( x ) 与 f ' ( x ) 的变化情况如下:

令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ?

1 3 , x2 ? 2 2

x
f ' ( x)

1 ( ??, ) 2

1 2

1 3 ( , ) 2 2

3 2

3 ( , ?? ) 2

+

0

-

0

+

f ( x)

3 e 4
1 2 3 2

e e 4
1 3 2 2

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ),( , ?? ), 单调递减区间是 ( , )



3 1 3 3 ? b ? 时, f ( x ) 在 [b, ) 上单调递减,在 ( , ?? ) 上单调递增 2 2 2 2

所以 f ( x ) 在 [b, ?? ) 上的最小值为 f ( ) ?

3 2

e e 4

当b ?

3 时, f ( x ) 在 [b, ?? ) 上单调递增, 2

所以 f ( x ) 在 [b, ?? ) 上的最小值为 f (b ) ?

eb 3e b ? 1 ? ab 2 3 ? 4b 2

错误!未指定书签。 . (2013 届北京大兴区一模文科)已知函数 f ( x) = (ax + 1)e x .

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a> 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [- 2,0] 上的最小值.
【答案】解:定义域为 R

f ' ( x) ? (ax ? 1) ' e x ? (ax ? 1)(e x ) ' ? e x (ax ? a ? 1)
' x (Ⅰ)①当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,则 f ( x ) 的单调增区间为 (??,??)

a ?1 a ?1 ' ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 ,?? ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ?? ,? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? a a a ?1 a ?1 ' ' ③当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a
' ②当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ?

则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? ,?

a ?1 a ?1 ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ,?? ) a a
即 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (?2,?

?a ? 0 ? (Ⅱ) ①当 ? a ? 1 ?? a ? ?2 ?

时,

a ?1 a ?1 ) 上是减函数,在 ( ? ,0 ) 上 a a
a ?1 a

是增函数,则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为

f (?

? a ?1 ) ? ?ae a

?a ? 0 ? ②当 ? a ? 1 时, 即 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?2,0] 上是增函数, ? ? ?2 ? a ?
则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 f (?2) ?

1 ? 2a [来源:学科网] e2
? a ?1 a

综上: 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 ? ae 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为
错 误 ! 未 指 定 书 签 。

1 ? 2a e2

.( 2013 北 京 顺 义 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2ae x ? 1 , g( x ) ? ln x ? ln a ? 1 ? ln 2 ,其中 a 为常数, e ? 2.718 ,函数 y ? f ( x ) 的图象
与坐标轴交点处的切线为 l1 ,函数 y ? g( x ) 的图象与直线 y ? 1 交点处的切线为 l 2 ,且 l1 / / l2 . (Ⅰ)若对任意的 x ? 1,5 ,不等式 x ? m ?

? ?

x f ( x ) ? x 成立,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)对于函数 y ? f ( x ) 和 y ? g( x ) 公共定义域内的任意实数 x .我们把 f ( x0 ) ? g( x0 ) 的值称 为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y ? f ( x ) 和 y ? g( x ) 在其公共定义域的所有偏差都大于 2.
【 答 案 】 解 (Ⅰ) 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 与 坐 标 轴 的 交 点 为 (0, 2a ? 1) , 又

f '( x ) ? 2ae x

? f ' (0) ? 2a
函数 y ? g( x ) 的图象与直线 y ? 1 的交点为 (2a ,1) , 又 g ( x) ?
'

1 1 1 1 1 , ? g ' (2a ) ? ,? a 2 ? 又 a ? 0 ,所以 a ? 由题意可知, 2a ? 2 x 2a 2a 4

不等式 x ? m ? 令 h( x) ? x ?

x f ( x ) ? x 可化为 m ? x ? x f ( x) ? x 即 m ? x ? xe x xe x ,则 h' ( x ) ? 1 ? (
1 2 x ? x )e x ,
1 2 x

? x ? 0,?

1 2 x

? x? 2

x 又 x ? 0 时, e ? 1 , ? (

? x )e x ? 1

故 h' ( x ) ? 0 ? h( x ) 在 (0, ?? ) 上是减函数,即 h( x ) 在 1,5 上是减函数 因此,在对任意的 x ? 1,5 ,不等式 x ? m ? 只需 m ? h(15) ? 5 ? 5e5 所以实数 m 的取值范围是 (??,5 ? 5e5 ) (Ⅱ)证明: y ? f ( x ) 和 y ? g( x ) 的公共定义域为 (0, ?? ) ,由(Ⅰ)可知 a ? 1 ,

? ?

? ?

x f ( x ) ? x 成立,

? f ( x ) ? g ( x ) ? e x ? ln x
令 q( x ) ? e x ? x ? 1 ,则 q' ( x ) ? e x ? 1 ? 0 ,? q( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数 故 q( x ) ? q(0) ? 0 ,即 e ? 1 ? 0
x



令 m( x ) ? ln x ? x ? 1 ,则 m ( x ) ?
'

1 ? 1, x
[来源:Zxxk.Com]

当 x ? 1 时, m' ( x ) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, m' ( x ) ? 0 ,

? m( x ) 有最大值 m(1) ? 0 ,因此 ln x ? 1 ? x ②
由①②得 e ? 1 ? ln? 1 ,即 e ? ln x ? 2
x x

又由①得 e ? x ? 1 ? x
x

由②得 ln x ? x ? 1 ? x

? e x ? ln x

? f ( x) ? g( x) ? e x ? ln x ? 2
故函数 y ? f ( x ) 和 y ? g( x ) 在其公共定义域的所有偏差都大于 2
错误!未指定书签。 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知函数 f ( x) ? ?2a ln x ?
2

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (Ⅱ)讨论函 数 f (x) 的单调性.
【答案】解:函数 f (x) 的定义域为 (0,??) ,

f ?( x) ? ?

2a 2 ?x?a x

3 , f ?(1) ? ?2 ? 1 ? 1 ? 0 , 2 3 所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? 2
(Ⅰ) 当 a ? 1 时, f (1) ? (Ⅱ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? , x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 0 , f (x) 在定义域为 (0,??) 上单调递增, (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a (舍去), x2 ? a , 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下:

此时, f (x) 在区间 (0, a ) 单调递减,在区间 (a,??) 上单调递增; (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a , x2 ? a (舍去), 当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下:

此时, f (x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减,在区间 (?2a,??) 上单调递增
错误!未指定书签。(2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x ) ? ? .

a (a ? 0) . x

(1)当 a ? 1 时,若曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 P( x0 , g ( x0 )) 处的 切线平行,求实数 x0 的值; (II)若 ?x ? (0, e] ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ?
【答案】解:(I)当因为 a ? 1 ,

3 ,求实数 a 的取值范围. 2

1 1 f '( x) ? , g ( x) ? 2 x x

若函数 f ( x ) 在点 M ( x , f ( x )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P( x , g ( x )) 处的切线平行, 0 0 0 0 所以 1 1 ,解得 x0 ? 1 ? 2 x0 x0 此时 f ( x ) 在点 M (1,0) 处的切线为 y ? x ? 1

g ( x ) 在点 P (1, ?1) 处的切线为 y ? x ? 2

所以 x ? 1 0 (II)若 ?x ? (0,e] ,都有

f ( x) ? g ( x) ?

3 2



F ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ?

3 a 3, ? ln x ? ? 2 x 2

只要 F ( x ) 在 (0,e] 上的最小值大于等于 0

1 a x ?a ? ? 2 x x2 x 则 F '( x ), F ( x ) 随 x 的变化情况如下表: F '( x) ?

x
F '( x ) F ( x)

(0, a )
?

a
0 极 大 值

( a, ??)

?
?

?

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0,e) 上单调递减, F (e) 为最小值

a 3 e 所以 a ? e ? ? 0 ,得 a ? e 2 2 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a ,e) 上单调递增 ,
所以 F (e) ? 1 ?

F ( a ) 为最小值,所以 F (a) ? ln a ?
所以 e ? a ? e 综上, e ? a

a 3 ? ? 0 ,得 a ? e a 2

错误!未指定书签。(2013 北京房山二模数学文科试题及答案)已知函数 .

f ( x) ? (ax ? 2)ex 在 x ? 1 处取得

极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ?m, m?1? 上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e .
【答案】(Ⅰ)

f '( x) ? aex ? (ax ? 2)ex ? (ax ? a ? 2)ex
x

由已知得 f '(1) ? 0 即 (2a ? 2)e ? 0 解得: a ? 1

[来源:学科网 ZXXK]

x 当 a ? 1 时,在 x ? 1 处函数 f ( x) ? ( x ? 2)e 取得极小值,所以 a ? 1

(Ⅱ) f ( x) ? ? x ? 2? e ,
x

f'( x) ? ex + ? x ? 2? ex ? ? x ?1? ex .
x

(??,1)


1
0

(1, ??)
+ 增

f ?( x )

f ( x)

所以函数 f ( x ) 在 ? ??,1? 递减,在 ?1, ?? ? 递增 当 m ? 1 时, f ( x ) 在 ?m, m?1? 单调递增, f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)e m 当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? m ? 1

f ( x) 在 ? m,1? 单调递减,在 ?1, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (1) ? ?e .
当 m ? 0 时, m+1 ? 1 ,

f ( x) 在 ?m, m?1? 单调递减, fmin ( x) ? f (m ? 1) ? (m ?1)em?1.
? (m ? 2)em , m ? 1, f ( x) 在 m, m?1 上的最小值 f ( x) ? ? ?e, 0 ? m ? 1, ? ? ? min ?(m ? 1)em?1 , m ? 0. ?
x

综上

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? 2? e , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 所以 f max ( x) ? 0, 所以,对任意

f'( x) ? ex + ? x ? 2? ex ? ? x ?1? ex .

因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0

f min ( x) ? ?e

x1 , x2 ?[0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? fmax ( x) ? f min ( x) ? e
北 京 朝 阳 二 模 数 学 文 科 试 题 ) 已 知 函 数

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013

f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.
【答案】解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

(??, ?1)

x

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

f ?( x ) f ( x)
当 a ? 0 时,

?


0

?


0

?


当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

(??, ?1)

x
f ?( x ) f ( x)
综上所述,

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

?


0

?


0

?


当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ; f ( x) 在 (1, e] 上单调递减,且
所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a .

f (e) ?

ae ?a ?a e ?1 .
2

因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以

g ?( x ) ?

a ?1 x ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

? ? ①当 0 ? a ? e 时,由 g ( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ( x) < 0 ,得 x ? a ,
所以函数 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,在 ( a, e] 上单调递减. 所以

g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a .

因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意

x1 , x2 ? ? 0,e?

,总有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) .

? ②当 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立,
所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, 所以对于任意

g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a .

x1 , x2 ? ? 0,e?

,仍有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) .

综上所述,对于任意

x1 , x2 ? ? 0,e?

,总有

g ( x1 ) ? f ( x2 )
x ,其中 b ? R . x ?b
2

错误!未指定书签。(2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知函数 f ( x ) ? .

(Ⅰ) f (x) 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行,求 b 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间.
【答案】解:(Ⅰ)

f ?( x) ?

b ? x2 ( x 2 ? b) 2

依题意,由 f ?(?1) ? 0 ,得 b ? 1 经检验, b ? 1 符合题意 (Ⅱ)① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 . x

故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )

? b

(? b , b )

b

( b , ? ?)

?

0

?

0

?







故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间
错误!未指定书签。(2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)已知函数 .

f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x ?

1 2 x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性.

【答案】解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数 f(x)的图象上,?f(2)=0

? a ln 2 ? 2(a ? 1) ? 2 ? 0 ,即 (ln 2 ? 2)a ? 0, , ? ln 2 ? 2 ? 0,? a ? 0 ?f(x)=

1 2 x ? x ,? f ?( x) ? x ? 1 , 2

? f ?(2) ? 1 , ?直线 l 的方程为 y=x-2,即 x-y-2=0 (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,

f ?( x) ?

a ( x ? 1)( x ? a) , ? (a ? 1) ? x ? x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1, 或x ? a , ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,当且仅当 x=1 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,+?);
②当 a=0 时,, f ?( x) ? 0 ? x ? 1, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,

? f ( x) 的单调递增区间是(1,+?), f ( x) 的单调递减区间是(0,1);
③当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a,或x ? 1 , f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 1,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,a)和(1,+?), f ( x) 的单调递减区间是(a,1);
④当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,或x ? a , f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? a ,

? f ( x) 的单调递增区间是(0,1)和(a,+?), f ( x) 的单调递减区间是(1,a).
错误!未指定书签。(2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)已知函数 f ( x ) ? .

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值.
【答案】解:(I) f ( x ) 的定义域为 (0,??).

f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x
4?a 3 ? , a ? 1. 2 2

由 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,则 f '(2) ?

1 2 x2 ?1 . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 此时 f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 2 x
f (x) 与 f ?(x) 的情况如下:

x
f ?(x) f (x)

( 0,1 ) — ↘

1 0

(1, ??)
+ ↗

1 2

所以, f (x) 的单调递减区间是( 0,1 ),单调递增区间是 (1, ??) (II)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a. ①若 a ? 1,即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递增, f ( x) min ? f (1) ?

1 ; 2

② 若 1 ? a ? e,即 ? a ? e2 , 在( a ) 上 , f '( x) ? 0 , f (x) 单 调 递 减 ; 在( a ,e) 1 1, 上, f '( x) ? 0 , f (x) 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x) min ? f ( a ) ? ③ 若

1 a(1 ? ln a) ; 2

a ? e,即a ? e2 , 在 (1, e) 上 , f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 ,

1 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? a. 2
综 上 , 当 0 ? a ? 1 时 , f ( x ) min ? 时, f ( x) min ?

1 1 ; 当 1 ? a ? e2 时 , f ( x) min ? a (1 ? ln a ); 当 a ? e2 2 2

1 2 e ? a. 2
1 2 , g ( x) ? bx ? 3x . x?a

错误!未指定书签。(2013 届北京丰台区一模文科)已知函数 f ( x) ? .
' (1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 h(1) ? h (1) ? 0 求 a,b 的值;

(2)当 a=2 且 b=4 时,求函数 ? ( x ) ? 最大值.
【答案】

1 g ( x) 的单调区间,并求该函数在区间(-2,m] ( ?2 ? m ? )上的 4 f ( x)

已知函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? bx ? 3x . x?a

' (1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 h(1) ? h (1) ? 0 求 a,b 的值;

(2)当 a=2 且 b=4 时,求函数 ? ( x ) ?

1 g ( x) 的单调区间,并讨论该函数在区间(-2,m] ( ?2 ? m ? )上 4 f ( x)

的最大值. [来源:学科网] 解:(Ⅰ)函数 h(x )定义域为{x|x≠-a},

则 h?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ?

1 ? 2bx ? 3 , ( x ? a) 2

? 1 4 ? ?1 ? a ? b ? 3 ? 0, ?h(1) ? 0, ?a ? 0, ? ?a ? ? , 因为 ? 所以 ? 解得, ? 或? 3 ?h?(1) ? 0. ?b ? ?2, ?b ? ?6. ?? 1 2 ? 2b ? 3 ? 0. ? ? (1 ? a) ?
(Ⅱ)记 ? (x)=

g ( x) 2 ,则 ? (x)=(x+a)(bx +3x)(x≠-a) , f ( x)

? 因为 a=2,b=4,所以 ? ( x) ? ( x ? 2)(4x2 ? 3x) (x≠-2),

??( x) ? 12x2 ? 22x ? 6 ? 2(2 x ? 3)(3x ? 1) ,
令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 当x??

3 1 ,或 x ? ? , 2 3

3 1 3 1 ,或 x ? ? 时, ? ?( x) ? 0 ,当 ? ? x ? ? 时, ? ?( x) ? 0 , 2 3 2 3 3 1 ? 函数 ? ( x) 的单调递增区间为 (??, ?2), (?2, ? ), (? , ??) , 2 3 3 1 单调递减区间为 (? , ? ) , 2 3 3 ①当-2<m< ? 时, ? (x)在(-2,m)上单调递增, 2

? 其最大值为 ? (m)= 4m3 ? 11m2 ? 6m ,
1 1 3 3 3 1 ≤m≤ 时, ? (x)在(-2, ? )上单调递增,在( ? ,- )上单调递减,在( ? ,m)上单调递 4 3 2 2 2 3 1 9 3 增,而 ? ( ? )= ? ( )= , 4 4 2 9 ? ? (x)的最大值为 4
②当 ?
错误!未指定书签。(2013 届北京海滨一模文)函数 f ( x) ? .

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. [来源:学科网 ZXXK]
【答案】解:(I)因为

f '( x) ? x 2 ? k

当 k ? 4 时, f '( x) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??, ?2)

?2

( ?2, 2)

2

(2, ??)

f '( x) f ( x)

?
?

0 极 大 值

?
?

0 极 小 值

?
?

[来源:学科网] 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??) 单调递减区间是 ( ?2, 2) (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点 因为 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k 当 k ? 0 时, g ( x) ? x3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? k 或 x2 ? ? k 所以 g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x)

(??, ? k )

? k
0[来 源: 学* 科* 网]

(? k , k )
?

k
0

( k , ??)

?

?

g ( x)

?

极大 值

?

极 小 值

?

g ( x ) 有且仅 有一个零点等价于 g (? k ) ? 0
g (? k ) ?


2 9 k k ?k ?0 0?k ? 3 4 ,解得

综上所述, k 的取值范围是

k?

9 4

错误!未指定书签。(2013 届房山区一模文科数学)已知函数 f ( x) ? .

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 2 2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x ?[1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) a ? 2 时,

f ( x) ?

1 2 1 x ? 2 ln x ? , 2 2

f (1) ? 0

2 f '( x) ? x ? , x

f '(1) ? ?1

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ? y ? 1 ? 0 (Ⅱ) f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? x x

( x ? 0)

①当 a ? 0 时, f '( x) ?

x2 ? a ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的递增区间为 ? 0, ??? x

②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ?

a或x?? a

x f’(x) f(x)

( 0, 减

a)

a

( ( a , ??) ,1) + 增

所以函数 f ( x ) 的递增区间为

?

a , ?? ,递减区间为 (0, a )

?

(Ⅲ)对任意的 x ? [1, ??) ,使 f ( x) ? 0 成立,只需任意的 x ? [1, ??) , f ( x)min ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在[1,+?)上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2 所以 a ? 0 满足题意;
而 f (1) ? ②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? a ? 1, f ( x ) 在[1,+?)上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2 所以 0 ? a ? 1 满足题意;
而 f (1) ? ③当 a ? 1 时, a ? 1 , f ( x ) 在[1, a ] 上是减函数,[ a ,+?)上是增函数,

所以只需 f ( a ) ? 0 即可 而 f ( a ) ? f (1) ? 0 从而 a ? 1 不满足题意; 综合①②③实数 a 的取值范围为 (??, 0) ? (0,1]
错误!未指定书签。(2013 北京东城高三二模数学文科)已知函数 f ( x) ? ln x ? .

a (a ? 0) . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的点,且 x ? (0,3) ,若以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率

k?

1 恒成立,求实数 a 的最小值. 2

【答案】(共 14 分)

解:(Ⅰ) f ( x) ? ln x ?

a ,定义域为 (0, ??) , x

则 f ( x) ?
|

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x

因为 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) . (Ⅱ)由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足 k ? f ?( x0 ) ? 所以 a ? ?

x0 ? a 1 ? 2 x0 2

(3 ? x0 ? 0) ,

1 2 3 1 1 x0 ? x0 对 3 ? x0 ? 0 恒成立. 又当 x0 ? 0 时, ? ? ? x0 2 ? x0 ? , 2 2 2 2 1 所以 a 的最小值为 2
错误!未指定书签。(2013 届北京东城区一模数学文科)已知函数 f ( x) ? m ln x ? (m ? 1) x (m? R) . .

(Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (III)若 f ( x ) 存在最大值 M ,且 M ? 0 ,求 m 的取值范围.
【答案】(共 14 分)

解:(Ⅰ)当 m ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x .

f ?( x) ?

2 x?2 ?1 ? . x x

所以 f ?(1) ? 3 . 又 f (1) ? 1 ,

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 1 ? 3( x ? 1) , 即 3x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

m (m ? 1) x ? m ? m ?1 ? . x x m 当 m ≤ 0 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ? ? m ? 1 ? 0 恒成立, x f ?( x) ?
此时 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减. 当 m ≥1 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ?

m ? m ? 1 ? 0 恒成立, x

此时 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增.

m m ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 1? m 1? m m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减. 此时 f ( x ) 在区间 (0, 1? m 1? m
当 0 ? m ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (III)由(Ⅱ)知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 当 m ≤ 0 或 m ≥1 时, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调,此时函数 f ( x ) 无最大值. 当 0 ? m ? 1 时, f ( x ) 在区间 (0,

m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减, 1? m 1? m

所以当 0 ? m ? 1 时函数 f ( x ) 有最大值.

m m ) ? m ln ? m. 1? m 1? m m e ? m ? 0 ,解之得 m ? 因为 M ? 0 ,所以有 m ln . 1? m 1? e e ,1) . 所以 m 的取值范围是 ( 1? e
最大值 M ? f (
错误! 未指定书签。 2013 届北京西城区一模文科) . ( 已知函数

f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且

f ?( x) ? e x ? a

x ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ,故 f ( x ) 在 R 上单调递增.

从而 f (x) 没有极大值,也没有极小值 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
(??, ln(?a))
ln(?a)
(ln(?a), ? ?)

x
f ?( x)

?

0

?

f ( x)





故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ln(?a)) ;单调增区间为 (ln(?a), ? ?) . 从而 f (x) 的极小值为 f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ;没有极大值 (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 R 上单调递增, g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意. ④ 当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 当 ?1 ? a ? 0 时, ln(?a) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (ln(?a), ? ?) 上单调递增,由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调 递减,不合题意 当 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上单调递减,由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减, 符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?1)
错误!未指定书签。(2013 北京西城高三二模数学文科)已知函数 f ( x) ? .

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 3

a ? 0.
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值.
【答案】(Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且

f ?( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a

当 a ? 2 时, f (1) ? ?

1 , f ?(1) ? ?2 , 3 1 ? ?2( x ? 1) , 3

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 的切线方程为 y ? 即 6x ? 3 y ? 5 ? 0 (Ⅱ)解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 8a ? 0 ,

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

2a 2a ,或 x2 ? 1 ? 2 2

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x[
来 源: 学 科 网]
f ?( x)
(??, x1 )
x1

( x1 , x2 )

( x2 , ? ?)

x2

?

0

?

0

?

f ( x)







故 f ( x ) 的单调增区间为 (??, 1 ?

2a 2a 2a 2a ) , (1 ? , ?? ) ;单调减区间为 (1 ? ,1 ? ). 2 2 2 2

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (2) ?

7 ? 2a 3

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 ,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f ( x2 ) ?

5 a 2a ?a? 3 3

③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a 综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是

7 ? 2 a ;当 2 ? a ? 8 时, f ( x) 在区间 [2,3] 上 3

的最小值是

5 a 2a ?a? ;当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 7 ? 3a . 3 3


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