nbhkdz.com冰点文库

2015届高考调研文科课时作业58

时间:2014-05-16


课时作业(五十八)
x2 2 1.已知 F1、F2 是双曲线 2 -y =1 的左、右焦点,P、Q 为右支上的两点, 直线 PQ 过 F2 且倾斜角为 α,则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为( A.8 C.4 2 答案 解析 C 由双曲线定义知: B.2 2 D.随 α 的大小而变化 )

|PF1|+|QF1|-|PQ| =|PF1|+|QF

1|-(|PF2|+|QF2|) =(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|-|QF2|) =4a=4 2. x2 y2 2.与双曲线 9 -16=1 有共同的渐近线且经过点 A(-3,3 2)的双曲线的一 个焦点到它的一条渐近线的距离是( A. 2 C.1 答案 解析 B x2 y2 1 设此双曲线方程为9m-16m=1,代入点 A(-3,3 2),得 m=-8. B. ) 3 2 4

D.4

y2 x2 ∴方程为 2 - 9 =1. 8 ∵焦点到渐近线的距离为 b,∴d=b= 9 3 2 8= 4 .

3.(2014· 山东莱芜一模)双曲线中心在原点,且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( x2 2 A. 4 -y =1 x2 y2 C. 2 - 3 =1 y2 B.x - 4 =1
2

)

x2 y2 D. 3 - 2 =1

答案 解析 +b2=5.①

B x2 y2 该双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由已知条件知 c= 5,即 a2

5 16 由题意知 P 点坐标为( 5,4),则a2- b2 =1.② y2 由①②可解得 a2=1,b2=4,所求双曲线的方程为 x2- 4 =1. x2 y2 4.设 F1 和 F2 为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1、F2、P(0,2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率( 3 A.2 5 C.2 答案 解析 B 设 F1(-c,0),F2(c,0). B.2 D.3 )

由△PF1F2 为正三角形,得 2c= c2+4b2. ∴3c2=4b2=4(c2-a2).∴c2=4a2,e2=4,e=2. 5.△ABC 的顶点为 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) 答案 解析 C 设△ABC 的内切圆与 x 轴相切于 D 点,则 D(3,0).由于 AC、BC 都 ) x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D.16- 9 =1(x>4)

为圆的切线. 故有|CA|-|CB|=|AD|-|BD|=8-2=6. x2 y2 再由双曲线第一定义知所求轨迹为 9 -16=1(x>3). x2 y2 →· → =0(O 6. 已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、 Q 两点, 且OP OQ 1 1 为原点),则a-b的值为( )

A.1 C.3 答案 解析 B

B.2 3 D.2

x2 y2 将 y=1-x 代入 a - b =1, 得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1, y1)、

a+ab 2a →· → =x x +y y =x x +(1-x )(1 Q(x2, y2), 则 x1+x2= , x1x2= .因为OP OQ 1 2 1 2 1 2 1 a-b a-b 2a+2ab 2a -x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b a-b a-b 1 1 =0,即 b-a=2ab,所以a-b=2. x2 y2 7.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),点 F 是其左焦点,点 E 是其右顶点, →· → =0,则该双曲线 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若AE BE 的离心率为( A.2 C.4 答案 解析 A ) B.3 D.5

→· → =0,可知∠AEB 为直角.由双曲 根据题意画出如图所示的简图.由AE BE b2 线的几何性质可知∠AEF=45° .又|AF|= a ,|EF|=a+c,三角形 AEF 为等腰直角 b2 三角形,所以 a =a+c,整理得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去). x2 y2 8.已知双曲线 C: 4 - 5 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上 →· → 一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF 1 PF2等于( )

A.24 C.50 答案 解析 C

B.48 D.56

如图所示,|PF2|=|F1F2|=6, 由双曲线的定义可知,|PF1|=10. |PF1|2-|PF2|2-|F1F2|2 在△ PF1F2 中,由余弦定理,可得 cos ∠ F1PF2 = = 2|PF1|· |PF2| 102+62-62 5 =6. 2×10×6 5 →· → → → ∴PF 1 PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2=10×6× =50. 6 x2 y2 9.已知圆 C 过双曲线 9 -16=1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲 线上,则圆心到双曲线中心的距离是______. 答案 解析 16 3 由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点,所

16 ? 4 7? 以圆 C 的圆心的横坐标为 4, 故圆心坐标为?4,± ?, 易求它到中心的距离为 3 . 3 ? ? 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶 sinA-sinC x2 y2 点 B 在双曲线25-11=1 的左支上,则 sinB =________. 答案 解析 5 6 |BC| |AB| 由条件可知|BC|-|BA|=10, 且|AC|=12, 又在△ABC 中, 有sinA=sinC

sinA-sinC |BC|-|AB| 5 |AC| =sinB=2R,R 为△ABC 外接圆半径,从而 sinB = |AC| =6. 11.双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为_______;若双曲线 C 的右顶点为

→ → A,过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点,且PA=2AQ,则直 线 l 的斜率为_______. 答案 解析 x± y=0 ± 3

双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为 x2-y2=0,即 y=± x;双曲线 C

?x=my+1, 的右顶点 A(1,0), 设 l: x=my+1, 联立方程, 得? 2 2 消去 x 得(m2-1)y2 ?x -y =0, → =2AQ →, +2my+1=0(*),方程(*)的根为 P、Q 两点的纵坐标,设 P(xP,yP),∵PA ∴yP=-2yQ. 2m ? ?yP+yQ=1-m2, 又? 1 yPyQ= 2 , ? ? m -1

1 1 解得 m=± ,直线 l 的斜率为 3 m,即为 3 或-3.

12.求两条渐近线为 x+2y=0 和 x-2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得的弦 8 3 长为 3 的双曲线的方程. 答案 解析 x2 2 4 -y =1 1 渐近线方程为 y=± 2x,
2 2

x2 y2 ? ? - =1, x y 可设双曲线方程为4m- m=1,则?4m m ? ?x-y-3=0. 可得 3x2-24x+36+4m=0, 36+4m ∴x1+x2=8,x1x2= 3 . 由弦长公式|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2,得 |AB|= 2· 48-16m . 3

8 3 又∵|AB|= 3 ,∴m=1. x2 ∴双曲线方程为 4 -y2=1.

x2 y2 13.(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)上一点, 1 M,N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为5. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标 → =λOA → +OB → ,求 λ 的值. 原点,C 为双曲线上一点,满足OC 答案 解析 30 (1)e= 5 (2)λ=0 或 λ=-4

x2 y2 x2 y2 0 0 (1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线a2-b2=1 上,有a2-b2=1. y0 y0 1 c 30 · =5,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 e=a= 5 . x0-a x0+a

由题意又有

2 2 2 ?x -5y =5b , (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c,

5c ? ?x1+x2= 2 , 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 35b2 x x = 1 2 ? ? 4 .



x3=λx1+x2, → =(x ,y ),OC → =λOA → +OB → ,即? ? 设OC 3 3 ?y3=λy1+y2.
2 2 因为 C 为双曲线上一点,所以 x2 3-5y3=5b ,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得 λ2(x1 -5y2 1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .②

因为 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x1 -5y2 1=5b ,x2-5y2=5b .

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2= 10b2, 由②式得 λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4.