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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第54讲 参数方程与曲线系


第 54 讲

参数方程与 曲线系

1.参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁,在解题过程中引入参数或参数方程,使多 个变量单一 化,达到简化计算,解决问题的目的.几种常见的参数方程的形式如下:
?x=x0+tcosθ , (1)直线的参数方程? (t 为参数) .其中θ 是直线的倾斜角,参数 t 表示有 ?y=y0+tsinθ



向线段 AP 的数量(其中点 A、P 的坐标为 A(x0,y0),P(x,y)) ,如图 1 所示.
?x=x0+rcosθ , (2)圆的参数方程? (θ 为参数) .其中 r 是半径,圆心是(x0,y0),参数θ ?y=y0+rsinθ ,



表示圆心角,如图 2 所示.
?x=x0+acosθ , (3)椭圆参数方程? (θ 为参数) 其中椭圆中心是(x0, 0), . y 长半轴长为 a, ?y=y0+bsinθ ,

短半轴长为 b(a>b),参数θ 表示离心角,如图 3 所示.
y y
[来源:学科网 ZXXK]

y P(x,y) P(x,y) x O
θ

A(x0 ,y0 )
θ

P(x,y)
θ

(x0 ,y0 ) x

O

O

x

?x=x0+asecθ , 图1 图2 图3 (4)双曲线参数方程? (θ 为参数) .其中双曲线中心是(x0,y0),实半轴 ?y=y0+btanθ ,

长为 a,虚半轴长为 b,θ 是参数.
?x=2pt2, p p (5)抛物线的参数方程为? (t 为参数) .其中焦点为(2,0) ,准线为 x=-2. y=2pt, ?

参数或参数方程在求轨迹方程,求极值,求变量取值范围,简化计算或证明方面具有突 出的作用. 2.常用的直线系方程: (1)过定点(x0,y0)的直线系为: λ1(y-y0)+λ2(x-x0)=0,其中 λ1、λ2 为参数. (2)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系为: Ax+By+λ=0,其中 λ≠C,λ 为参数. (3)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系为: Bx-Ay+λ=0,其中 λ 为参数. (4)当直线 l1 与 l2 的一般式分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0 时,曲线系 λ1f1(x,y)+λ2f2(x,y)=0,其中 λ1、λ2 为参数 ① l1 与 l2 相交时表示通过 l1 与 l2 交点的所有直线; 当 ② l1∥2 时,表示与 l1 平行的一组平行直线. 当 l (5)在两坐标轴上截距和为 a 的直线系为:

x y λ+a-λ=1,其中 λ 为参数. (6)与原点距离等于 r(r>0)的直线系为: xcosθ+ysinθ=r,其中 θ 为参数. 3.曲线系与圆系: (1)方程 f1(x,y)+?f2(x,y)=0 表示的曲线一定经过两条曲线 f1(x,y)=0 与 f2(x,y)=0 的交点.(反过来,经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示). 当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时,常用此曲线系来解题,可以避免 解方程组求交点而直接得出结果. (2)圆系: 圆系是求圆的方程的一个重要的方法,同时也是证明四点共圆的简捷途径. 对于不同圆心的两个圆 Ci=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2), 则 C1+λC2=0,(λ 为参数)表示共轴圆系. 当 λ≠-1 时,表示圆; 当 λ=-1 时,退化为一条直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0,此直线叫两圆的根 轴. 对于已知圆 C1 及圆上一点(m,n) ,则 2 2 C1+λ[(x-m) +(y-n) ]=0,(λ 为参数) 表示与 C1 相切于点(m,n)的圆系. 4.二次曲线系:一般二次曲线的方程由 6 个参数确定: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2+C2≠0). 但只要 5 个独立参数即可确定唯一的二次曲线. ①给定 5 个点,如果其中有三点共线,另两点不在此直线上,则经过此 5 点的二次曲线 是唯一的,是二条直线(退化二次曲线); ②给定 5 个点,无三点共线,则经过此 5 点的二次曲线是唯一的. ③若有两个二次曲线——C1:F1(x,y)=0;C2:F2(x,y)=0,且 C1 与 C2 交于不共线 4 点.则 λF1(x,y)+μF2(x,y)=0 表示所有经过此 4 个交点的二次曲线. 5.用直线方程构成二次曲线系: ① 如果两条直线 li:li(x,y)=Aix+Biy+Ci=0(i=1,2)与一条二次曲线:F(x,y)=0 有交 点,那么,曲线系 λF+μl1· =0 经过这些交点,若它们有四个不共线的交点,则此曲线系包 l2 含所有的过此四点的二次曲线. ② 若有不共线 4 点 Pi(i=1,2,3,4),记直线 PiPi+1(P5=P1)为 li(x,y).则曲线系 λl1· l3 +μl2· =0 包括了所有过此 4 点的二次曲线系. l4 ③ 若有不共线 3 点 Pi(i=1, 3), 2, 记直线 PiPi+1(P4=P1)为 li(x, 则曲线系 λl1· +μ l2· y). l2 l3 +ηl3· =0 包括了所有过此 3 点的二次曲线系. l1 ④ 与两条直线 li(x,y)=Aix+Biy+Ci=0(i=1,2)交于两点 M1、M2 的二次曲线系为 λl1· l2 2 +μl3 =0.(其中 l3 为经过 M1、M2 的直线方程). 6.部分常用的二次曲线系: x2 y2 (1)共焦二次曲线系: 2 + 2 =1; m -λ n -λ x2 y2 (2)共顶点二次曲线系:a2+ λ =1;

x2 y2 (3)共离心率二次曲线系: 2+ 2=λ(λ>0); a b x2 y2 (4)共渐近线的双曲线系:a2-b2=λ. 7.极线方程:从二次曲线外一点引二次曲线的切线,过两个切点的直线. 利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率 k、 截距 b,圆的半 径 R,二次曲线中的 a、b 等)作为变量,得到曲线系,根据所给的已知量,采用待定系数法, 达到解决问题的目的.常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略.通常的题 型有求点的坐标,求曲线的方程,求图形的性质等等.

A 类例题
x2 y2 1 例 1.椭圆 + =1 有两点 P、Q.O 是原点,若 OP、OQ 斜率之积为- . 16 4 4 求证:|OP|2+|OQ|2 为定值. 证明 设 P(4cosα,2sinα),Q(4cosβ,2sinβ), 1 2sinα 2sinβ 1 因为 kOP·OQ=- ,所以 k · =- ,即 cos(α-β)=0, 4 4cosα 4cosβ 4 π 则 α-β=± +2kπ,k∈Z. 2 所以|OP|2+|OQ|2=16cos2α+4sin2α+16cos2β+4sin2β π π =16cos2(β± )+4sin2(β± )+16cos2β+4sin2β 2 2 =20cos2β+20sin2β=20 为定值.得证. 例 2.求经过两直线 2x-3y=1,3x+2y=2 的交点,且平行于直线 y+3x=0 的直线方 程. 解 设所求的直线方程为(2x-3y-1)+λ(3x+2y-2)=0, 整理得 (2+3λ)x+(-3+2λ)y+(-1-2λ)=0. (1) 2+3λ 由于已知直线 y+3x=0 的斜率为-3,所以- =-3 -3+2λ 11 解得 λ= 3 . 11 将 λ= 3 代入(1)化简得 39x+13y-25=0.
[来源:Zxxk.Com]

此即为所求的直线方程. 说明 本题还可以采用以下两种思路来求直线方程: 思路一:设所求的直线方程为 y+3x+λ=0.解出直线 2x-3y=1,3x+2y=2 的交点, 代入到 y+3x+λ=0,解出 λ 即可. 思路二:过直线 2x-3y=1,3x+2y=2 的交点的直线系为(2x-3y-1)+λ(3x+2y-2) =0,即(2+3λ)x+(-3+2λ)y+(-1-2λ)=0.与直线 y+3x=0 平行的直线系为 y+3x+μ 2+3λ -3+2λ -1-2λ =0(μ≠0).比较系数 3 = = ,解出 μ 即可. 1 μ 例 3.抛物线 y2=2px(p>0)的内接 ΔAOB 的垂心为抛物线的焦点 F,O 为原点,求点 A、 B 的坐标. 解 由题设条件可知 AB 与 x 轴垂直.设 A(2pt2,2pt),则 B 的坐标为(2pt2,-2pt).

p 由于焦点 F 的坐标为 F( ,0), 2 则 AF 的斜率为 k1= 4t = ; p 4t2-1 2pt -2
2
[来源:学科网]

2pt

1 而 OB 的斜率为 k2=- . t

4t 1 5 因为 AF 与 OB 垂直,则 k1k2=-1,即 2 · t )=-1,解得 t= 2 . (- 4t -1 5 5 所以 A 的坐标为 A( p, 5p)、B 的坐标为 B( p,- 5p). 2 2

情景再现
1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线 l:x+ my+m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是 . 2 2 2.椭圆 x +2y =2 与直线 x+2y-1=0 交于 B、C 两点,求经过 B、C 及 A(2,2)的圆 的方程. 3.若动点 P(x,y)以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y2-x2)的运动 方式是( ) A.以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动 B.以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 C.以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 D.以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动 (1984 年全国高中数学联赛)

B 类例题
例 4.斜率为 3的动直线 l 和两抛物线 y=x2,y=2x2-3x+3 交于四个不同的点,设这 四个点顺次为 A、B、C、D(如图). 求证:|AB|与|CD|之差为定值 . 证明 设 AD 的中点为 M(x0,y0),因为直线 l 以直线 l 的参数方程为
y

的斜率为 3,所

?x =x +2t, (t 为参数) ? 3 y=y + 2 t. ?
1
0 0 0

C

D



B A

设 MA=t1,MD=t2,MB=t3,MC=t4, 则 t1<t2<t3<t4,因而 |AB|-|CD|=(t3-t1)-(t2-t4)=(t3+t4)-(t1+t2) 将①式代入 y=x2,整理得 3 2 t2+4(x0- 2 )t+4(x0-y0)=0, 由 t1+t2=0,得 x0= 3 . 2

O

x



将①式代入 y=2x2-3x+3,整理得

t2+(4x0-3- 3)t+4(x0-6x0-2y0+6)=0, 所以 t3+t4=-4x0+3+ 3, 3 因为 x0= 2 ,所以 t3+t4=3- 3, 代入②得:|AB|-|CD|=3- 3是定值. 例 5.设直线 ax+by+c=0 与抛物线 y2=4px 相交于 A、B 两点,F 是抛物线的焦点, 直线 AF、BF 交抛物线(异于 A、B 两点)于 C、D 两点(异于 A、B 两点).求直线 CD 的方程. 解 设 A(pt1,2pt1)、B(pt2,2pt2)、C(pt3,2pt3)、D(pt4,2pt3). 直线 AC 的方程为:y-2pt1= 2p(t1-t3)
2 2 p(t1-t3) 2 2 2 2

2

)(x-pt1),即

2

2x-(t1+t3)y+2pt1t3=0. 1 因为 AC 经过焦点 F(p,0),所以 t3=- ; t1 1 同理,t4=-t .
2



因为点 A、B 在直线 ax+by+c=0 上, 则 apt1+2pbt1+c=0, apt2+2pbt2+c=0, 即 t1、t2 是方程 apt2+2pbt+c=0 的两根. 2b c 根据根与系数关系,得 t1+t2=- ,t1t2= . a ap 设 CD 的方程为 ex+fy+g=0 2f g 同理有 t3+t4=- e ,t1t2=ep. t1+t2 2bp 2f 1 1 bpe 所以- e =-(t +t )=- t t = c ,则 f=- c ; 1 2 1 2 g 1 ap ep2a =t t = c ,则 g= c . ep 1 2 bpe ep2a 把 f=- c ,g= c 代入②,并整理得 CD 的方程为:x-bpy+ap2=0. 例 6.给定曲线族 2(2sinθ -cosθ +3)x2-(8sinθ +cosθ +1)y=0,θ 为参数,求该曲 线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值.(1995 年全国高中数学联赛) 解 显然,该曲线族恒过原点,而直线 y=2x 也过原点,所以曲线族在 y=2x 上所截得的 弦长仅取决于曲线族与 y=2x 的另一个交点的坐标. 把 y=2x 代入曲线族方程得 (2sinθ -cosθ +3)x2-(8sinθ +cosθ +1)x=0, 1 又 2sinθ -cosθ +3= 5sin(θ -arctan2)+3≠0, ②
2 2

8sinθ +cosθ +1 当 x≠0 时,就有 x= , 2sinθ -cosθ +3 1-u2 2u 令 sinθ = ,cosθ = , 1+u2 1+u2 8u+1 则 x= 2 ,得 2u +2u+1

(1)

2xu2+2(x-4)u+(x-1)=0. 由 u∈R 知,当 x≠0 时Δ =[2(x-4)]2-8x(x-1)=4(-x2-6x+16)≥0, 即 x2+6x-16≤0 且 x≠0, 故-8≤x≤2 且 x≠0,则|x|max=8 由 y=2x 得|y|max=16,所以所求弦长的最大值为 82+162=8 5. 说明 对于式(1)还可以这样处理:整理得(2x-8)sinθ-(x+1)cosθ=1-3x,于是只有当 (2x-8)2+(x+1)2≥(1-3x)2 时方程才有解,即 x2+6x-16≤0.以下同题中解法.

情景再现
4.在曲线 y=5 并求出这个最远点. x2 y2 5.设 a,b 是两个已知正数,且 a>b,点 P、Q 在椭圆 2+ 2=1 上,若连结点 A(-a, a b 0)与 Q 的直线平行于直线 OP,且与 y 轴交于点 R,则 |AQ|· |AR| = |OP|2 ;(O 为坐标原 x2 1- 9 (-3≤x≤3)上取一点,使它到直线 x+y-10=0 的距离最远,

点)(上海市 1992 年高中数学竞赛) 6.已知 MN 是圆 O 的一条弦,R 是 MN 的中点,过 R 作两弦 AB 和 CD,过 A、B、C、 D 四点的二次曲线 MN 于 P、Q.求证:R 是 PQ 的中点.

C 类例题
例 7.自点 P1 向椭圆引两条切线,切点为 Q1、R1,又自点 P2 向这椭圆引两条切线,切 点为 Q2、R2.证明:P1、Q1、R1、P2、Q2、R2 六点在一条二次曲线上. 解 设椭圆方程为 ax2+by2=1(a>0,b>0),P1(x1,y1),P2(x2,y2). 过切点 Q1、R1 的直线方程为 ax1x+by1y-1=0, 过切点 Q2、R2 的直线方程为 ax2x+by2y-1=0, 所以经过 Q1、R1、Q2、R2 的二次曲线方程可设为 (ax1x+by1y-1)(ax2x+by2y-1)+?(ax2+by2-1)=0. 令?=-(ax1x2+by1y2-1),得方程 (ax1x+by1y-1)(ax2x+by2y-1)-(ax1x2+by1y2 -1)(ax2+by2-1)=0. 显然点 P1、P2 的坐标满足此方程,而此方程是二次方程,即:P1、Q1、R1、P2、Q2、 R2 六点在一条二次曲线上. 得证!
[来源:Z#xx#k.Com]

x2 y2 例 8.已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0),动圆 Γ:x2+y2=R2,其中 b<R<a,若 A 是 椭圆上的点, 是动圆 Γ 上的点, B 且使直线 AB 与椭圆和动圆 Γ 均相切, A、 两点距离|AB| 求 B 的最大值.(四川省 2004 年全国高中数学联赛预赛题) 解 设 A(acosθ,bsinθ),则直线 AB 方程为

(b2acosθ)x+(a2bsinθ)y=a2b2, 即 l:(bcosθ)x+(asinθ)y=ab. l 也是圆 Γ 的切线,故 OB⊥l, 故直线 OB 的方程为(asinθ)x-(bcosθ)y=0. 于是点 B 坐标为 ab2cosθ a2bsinθ B( 2 ). 2 2 2 , 2 b cos θ+a sin θ b cos2θ+a2sin2θ 故
[来源:Zxxk.Com]

y

B A

O

x

ab2cosθ a2bsinθ |AB|2=(acosθ- 2 )2+(bsinθ- 2 )2 b cos2θ+a2sin2θ b cos2θ+a2sin2θ
2 2 2 2 2 2 (b2cos2θ+a2sin2θ-b2)2 2 2 (b cos θ+a sin θ-a ) =a cos θ (b2cos2θ+a2sin2θ)2 +b sin θ (b2cos2θ+a2sin2θ)2 2 2

(a2-b2)2cos2θsin2θ = b2cos2θ+a2sin2θ (a+b)2cos2θsin2θ =(a-b)2· 2 . b cos2θ+a2sin2θ 而 b2cos2θ+a2sin2θ≥(a+b)2cos2θsi n2θ, 等价于 b2cos2θ-b2cos2θsin2θ+a2sin2θ-a2sin2θcos2θ≥2abcos2θsin2θ, 即 b2cos4θ+a2sin4θ≥2abcos2θsin2θ. 最后一式显然成立. b 故|AB|2≤(a-b)2,即|AB|≤a-b.当且仅当 tan2θ= 时等号成立,此时 R=|OB|= ab. a 说明 本题也可以这样考虑:设 AB 的斜率为 k,由直线 AB 是椭圆 E 的切线,则 AB 方程 为 y=kx± a2k2+b2. 由 AB 是圆 Γ 的切线,则 AB 方程为 y=kx±R k2+1. ka2 kR2 切点 A 的横坐标 x1=- ;B 的横坐标 x2=- . m m R2-b2 由 a2k2+b2=R k2+1,得 k2= 2 , a -R2 R2-b2 (a2-R2)2 k2 2 2 2 2 故|AB| =m2(a -R ) (1+k )= 2 ? R2 a -R2
2

1 =R2(a2-R2)(R 2-b2) a2b2 =a2+b2-R2- R2 ab =(a-b)2-(R- R )2≤(a-b)2. 从而可得上述结果.

情景再现
7.设 P、Q 为给定二次曲线 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 上任二点,过 P、Q 任作一 圆,该圆与所给二次曲线交于另外两点 M、N,求证:直线 MN 有定向.(1978 年上海市赛题)

x2 8.如图,过点 A(-2,m)作直线 l 交椭圆 +y2=1 于 B、C.点 2 BQ AB Q 在弦 BC 上,且满足QC=AC. (1)求 m=0 时,点 Q 的轨迹方程; (2)若 M 变动,则证明不论 m 为何实数,点 Q 的轨迹恒过一个定 点.
A B

y C Q F1 O F2 x

习题 54
1.设 P 是抛物线 y2 =2x 上的点,Q 是圆(x-5)2 +y2 =1 上的点,则|PQ|的最小值 是 ;(上海市 2001 高中数学竞赛) 2.与双曲线 是 x2 y2 - =1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 经 过 点 ( - 3 , 2 3 ) 的 双 曲 线 方 程 9 16

.(湖南省 2001 年高中数学竞赛) 3.已知:双曲线的两条渐近线的方程为 x+y=0 和 x-y=0,两顶点间的距离为 2,试 求此双曲线方程.(1979 年全国高中数学竞赛) 4.当 s 和 t 取遍所有实数时,则(s+5-3|cost|)2 +(s-2|sint|)2 所能达到的最小值 为 .(1989 年全国高中数学联赛) 5.求证:若轴垂直的两条抛物线如果有 4 个交点,则此四个交点共圆.(1979 年河北省 赛题) x2 y2 6.设 AB、CD 是椭圆 2+ 2=1 的两条弦,若它们的倾斜角互补,求证:A、B、C、D a b 四点共圆. 7.已知二次曲线 C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 与两条直线 l1x+m1y+n1=0,l2x +m2y+n2=0 有 4 个不同的交点. 求证:Ax2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F+λ (l1x+m1y+n1)(l2x+m2y+n2)=0 (*) 是过四个交点的曲线系. 8.过不在圆锥圆锥上的一定点一定点 P 引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦 AB 与 CD. 1 1 求证:PA· +PC· 是定值. PB PD 本节“情景再现”解答: 2 7 2 1.-3<m<- .2.圆的方程为 6x2+6y2-9x-14y-2=0.3.C. 4.dmax= , 3 2 最远点为(-3,0) . 5.2. 6.以 R 为原点,MN 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 设圆心 O 的坐标为(0,a),圆半径为 r,则原方程为 x2+(y-a)2=r2 ①.设 AB、CD 的方程分别为 y=k1x 和 y=k2x.将它们合成为(y-k1x)(y-k2x)=0 ②.于是,过①与②的 四个交点 A、B、C、D 的曲线系方程为(y-k1x)(y-k2x)+λ [x2+(y-a)2-r2]=0 ③.令③ 中 y=0 得,(λ+k1k2)x2+λ(a2-r2)=0 ④. ④的两个根是二次曲线与 MN 交点 P、Q 的横坐标.因为 xP+xQ=0,即 R 是 PQ 的中点.

7.以 P 为原点,PQ 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系,且设 Q(l,0),则所给二次 曲线在此坐标系内的方程可以写为 x2+b'xy+c'y2-lx+e'y=0.而过 PQ 两点的圆方程为 x2 +y2-lx+ky=0. 于是曲线 x2+b'xy+c'y2-lx+e'y+?(x2+y2-lx+ky)=0 过此二曲线交点. 故必过另两个 2 交点 M、N.取?=-1 代入得,b'xy+(c'-1)y +(e'-k)y=0,即 y=0 表示直线 PQ.方程 b'x+(c'-1)y+(e'-k)=0 表示直线 MN,由于 b'、c'-1 为定值,故直线 MN 有定向.
?x=-2+tcosα, 8.设直线 l 的参数方程为? ?y=m+tsinα,

y C B A Q F1 O F2 x

(t 为参数) .① 代入椭圆方程,并整理得,(2sin2α+cos2α)t2 +4(msinα-cosα)t+2(m2+1)=0.所以,
2

t1+t2=-

4(msinα-cosα) 2(m +1) ② . 2 2 ,t1t2= 2sin α+cos α 2sin2α+cos2α

t-t1 t1 BQ AB 设 AB=t1,AC=t2,AQ=t,则由 = ,得 = ,整理得,t(t1+t2)=2t1t2 ③ ,②代 QC AC t1-t t2 m2+1 入③,得-t(msinα-cosα)=m2+1.t= ④.将④代入①,得点 Q 的轨迹的参 cosα-msinα (m +1)cosα ?x=-2+cosα-msinα, 数方程为? (α 为参数).消去 α,得 ym-(x+1)=0. (m +1)sinα y=m+ , ? cosα-msinα
2 2

(1)当 m=0 时,所求轨迹是 x=-1(过左焦点)被椭圆截下的弦;(2)当 m 变动时,点 Q 的轨迹 恒过定点 F1(-1,0). 本节“习题 4”解答: x2 y2 1 1.2. 2. - = . 3.双曲线方程为 x2-y2=?1. 9 16 4 4.2.5.设两条抛物线的方程分别为 y2=2p(x- m)及 x2=2q(y-n). 则曲线 y2-2p(x-m)+?[x2-2q(y-n)]=0 必经过两条抛物线的交点, 取?=1, 即得一圆 方程,由已知,此圆经过两条抛物线的四个交点.即此四个交点共圆. 6.设 AB、CD 的倾斜角分别为?与?-?,直线 AB、CD 的交点坐标为 P(x0,y0),则 AB
?x=x0+tcosθ, 方程可写为? (?为参数) ? y=y0+tsinθ.

代入方程得:(b2cos2?+a2sin2?)t2+2(b2x0cos?+a2y0sin?)t+b2x02+a2y02-a2b2=0.由 2 |b2x0+a2y2-a2b2| 0 韦 达 定 理 知 |PA|· |PB| = |t1t2| = 2 . 以 ? - ? 代 替 ? , 即 可 得 |PC|· |PD| = b cos2θ+a2sin2θ |b2x2+a2y2-a2b2| 0 0 ,即|PA|· |PB|=|PC|· |PD|,故 A、B、C、D 共圆. b2cos2θ+a2sin2θ 7.设 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)为二次曲线 C 与两条直线的四个交点,则 Axi2+Bxiyi +Cyi2+Dxi+Eyi+F=0(i=1,2,3,4) ,同时也有,l1xi+m1yi+n1=0,或 l2xi+m2yi+n2 =0.因此,这四个点的坐标满足(*) ,即(*)表示的曲线过曲线 C 与直线的四个交点;在 过已知四点 P1,P2,P3,P4 的任意一条二次曲线上取一点 Q(x0,y0),Q 与已知四点不同(它 Ax02+Bx0y0+Cy02+Dx0+Ey0+F 不在两已知直线上) 令 λ0=- . , 方程 (*) 变形为 Ax2+Bxy (l1x0+m1y0+n1)(l2x0+m2y0+n2)

+Cy2+Dx+Ey+F+λ0(l1x+m1y+n1)(l2x+m2y+n2)=0.这个方程表示过 P1,P2,P3,P4, Q 五个点的曲线,故可用方程(*)表示已知二次曲线和两条直线交点的二次曲线系. 8.以 P 为原点建立直角坐标系,在此坐标系内圆锥曲线的方程为 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. PAB 的方程?
?x=x0+tcosθ, ? y=y0+tsinθ.

(1)
B C A P

(?为参数),

代入⑴得:t2(Asin2? +Bsin?cos? +Ccos2?)+ +F=0, 由于 P 不在圆锥曲线上,故 F?0. 则 Asin ?+Bsin?cos?+Ccos ? 1 = . PA· PB F
2 2

t(Dsin? + Ecos?)

D

?x=-tsinθ, PCD 的方程? (?为参数), ? y=tcosθ.

代入(1)得:t2(Acos2?-Bsin?cos?+Csin2?)+t(-Dcos?+Esin?)+F=0, Acos2?-Bsin?cos?+Csin2? 1 同理,得,PC· = . PD F A+C 1 1 从而可得 + = 为定值. PA· PB PC· PD F

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