nbhkdz.com冰点文库

高考数学压轴题突破训练——函数(含详解,无水印)


高考数学压轴题突破训练:函数
1. 甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数 f ?x ? ? x ? 8 , g ?x? ?

x ? 12 ,

及任意的 x ? 0 ,当甲公司投入 x 万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于 f ?x ? 万元, 则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入 x 万元作宣传时,甲

公司投入的 宣传费若小于 g ?x ? 万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传 费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题: (1)请解释 f ?0?, g ?0? ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少 宣传费? (3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少 投入费用原则,投入自己的宣传费:若甲先投入 a1 ? 12 万元,乙在上述策略下,投入最 少费用 b1 ;而甲根据乙的情况,调整宣传费为 a2 ;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传 费为 b2 ,?, 如此得当甲调整宣传费为 an 时,乙调整宣传费为 bn ;试问是否存在 lim an ,
n ??

lim bn 的值,若存在写出此极限值(不必证明) ,若不存在,说明理由.
n ??

2. 已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 y 轴上的截距是 2,且在 (??,?1), (2,??)
3 2

上单调递增,在(-1,2)上单调递减. (Ⅰ)求函数 f (x)的解析式;
2

(Ⅱ)若函数 h( x) ?

f ?( x) ? (m ? 1) ln(x ? m) ,求 h(x) 的单调区间. 3( x ? 2)
0 0 7 0

3

2

3. 已知函数 ? ( x) ? 5x ? 5x ? 1 ( x ? R) ,函数 y ? f (x) 的图象与 ? (x) 的图象关于点
2
8

1 (0, ) 中心对称。 2
(1)求函数 y ? f (x) 的解析式; (2)如果 g1 ( x) ? f ( x) , g n ( x) ? f [ g n?1 ( x)](n ? N , n ? 2) ,试求出使 g 2 ( x) ? 0 成

立的 x 取值范围; (3)是否存在区间 E ,使 E ? x f (x) ? 0 ? ? 对于区间内的任意实数 x ,只要

?

?

n ? N ,且 n ? 2 时,都有 g n ( x) ? 0 恒成立?

4.已知函数: f ( x) ?

x ?1? a (a ? R且x ? a) a?x 1 ,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2]; 2

(Ⅰ)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0 对定义域内的所有 x 都成立. (Ⅱ)当 f(x)的定义域为[a+
2

(Ⅲ)设函数 g(x)=x +|(x-a)f(x)| ,求 g(x) 的最小值 .

5. 设 f ( x ) 是定义在 [0,1] 上的函数, 若存在 x ? (0,1) , 使得 f ( x ) 在 [0, x * ] 上单调递增, [ x * ,1] 在
*

上单调递减,则称 f ( x ) 为 [0,1] 上的单峰函数, x 为峰点,包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的 [0,1] 上的单峰函数 f ( x ) ,下面研究缩短其含峰区间长度的方法. (1)证明:对任意的 x1 , x 2 ? (0,1) , x1 ? x 2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 (0, x2 ) 为含峰区间;若

*

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 ( x1 ,1) 为含峰区间; (2)对给定的 r (0 ? r ? 0.5) ,证明:存在 x1 , x 2 ? (0,1) ,满足 x2 ? x1 ? 2r ,使得由(1)所 确定的含峰区间的长度不大于 0.5 ? r ;

6. 设关于 x 的方程 2 x ? ax ? 2 ? 0 的两根分别为 ? 、 ?
2

?? ? ? ? ,函数 f ( x) ? 4 x ? a 2

x ?1

(1)证明 f (x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数; (2)当 a 为何值时, f (x) 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小

7. 已知函数 f ( x) ?

1 3 4 x ? ax ? b(a, b ? R ) 在 x ? 2 处取得的极小值是 ? . 3 3

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 x ? [?4,3] 时,有 f ( x ) ? m ? m ?
2

10 恒成立,求实数 m 的取值范围. 3

8. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a ? 0, b ? R), 设方程 f(x)=x 有两个实数根 x1、x2. (Ⅰ)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证 x0>—1; (Ⅱ)如果 0 ? x1 ? 2 ,且 f(x)=x 的两实根相差为 2,求实数 b 的取值范围.

9. 函数 f (x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) ? 0 ;
y ②对任意 x 、 y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] ;③ f ( ) ? 1.

1 3

则 (4 分) (5 分)

(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f (x) 在 R 上是单调增函数; (3)若 a ? b ? c ? 0, 且b 2 ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b).

10. 已知函数 f ( x) ? x 4 ? 4x 3 ? ax2 ? 1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递 减; (1)求 a 的值; (2)求证:x=1 是该函数的一条对称轴; (3)是否存在实数 b,使函数 g ( x) ? bx ? 1的图象与函数 f(x)的图象恰好有两个交点?
2

若存在,求出 b 的值;若不存在,请说明理由. 11. 定义在区间(0, ? )上的函 f(x)满足: (1)f(x)不恒为零; (2)对任何实数 x、q,都 有 f ( x ) ? qf ( x) .
q

(1)求证:方程 f(x)=0 有且只有一个实根; (2)若 a>b>c>1,且 a、b、c 成等差数列,求证: f (a) ? f (c) ? f (b) ;
2

(3) (本小题只理科做) f(x) 单调递增, m>n>0 时, f (m) ? f (n) ? 2 f ( 若 且 有

m?n ), 2

求证: 3 ? m ? 2 ? 2

12. 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x – 3 10x (单位:万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 (单位:万元). 又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:(提示:利润 = 产值 – 成本) (1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什 么?

2

3x 3(a ? 1) ? ( a ? 0 且 a ?1) . a x (1) 试就实数 a 的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
13. 已知函数 f ( x) ? (2) 已知当 x ? 0 时,函数在 (0, 6) 上单调递减,在 ( 6, ??) 上单调递增,求 a 的值并 写出函数的解析式; (3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线 C ,试问是否存在经过原点的直线 l ,使得 l 为 曲线 C 的对称轴?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由. (文) 记(2)中的函数的图像为曲线 C ,试问曲线 C 是否为中心对称图形?若是, 请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.

14. 已 知 函 数 f ( x) ? loga x 和 g ( x) ? 2loga (2x ? t ? 2),(a ? 0, a ? 1, t ? R)

的图象在

x ? 2 处的切线互相平行.
(Ⅰ) 求 t 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,当 x ??1, 4? 时, F ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

? 15. 设函数 f ( x ) 定义在 R 上,对任意的 m, n ? R ,恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当

?

x ? 1 时, f ( x) ? 0 。试解决以下问题: (1)求 f (1) 的值,并判断 f ( x ) 的单调性;
(2)设集合 A ? ?( x, y) | f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 0?, B ? ?( x, y) | f (ax ? y ? 2) ? 0, a ? R? , 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 0 ? a ? b ,满足 | f (a) |?| f (b) |? 2 | f (

a?b ) | ,求证: 3 ? b ? 2 ? 2 2

16. (理科)二次函数 f(x)= x 2 ? ax ? b(a、b ? R) (I)若方程 f(x)=0 无实数根,求证:b>0; (II)若方程 f(x)=0 有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:f(-a)=

1 2 (a ? 1) ; 4

(III)若方程 f(x)=0 有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整 数 k,使得 f ( k ) ?

1 . 4
2

(文科)已知函数 f(x)= ax ? bx ? c ,其中 a ? N * , b ? N , c ? Z . (I)若 b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为 2,最小值为-4,试求函数 f(x)的最小值; ( II ) 若 对 任 意 实 数 x , 不 等 式 4x ? f ( x) ? 2( x 2 ? 1) 恒 成 立 , 且 存 在

x0使得f ( x0 ) ? 2( x 2 0 ? 1) 成立,求 c 的值。

17. 定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y (I)求证:函数 f(x)是奇函数; (II)如果当

(-1,1)都有



时,有 f(x)>0,判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;

(III)设-1<a<1,解不等式:

18. 设 f (x) 是定义域在 [?1, 1] 上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (l)求证 f (x) 在 [?1, 1] 上是减函数; (ll)如果 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围;
2 2 (lll)证明若 ? 1 ? c ? 2 ,则 f ( x ? c) , f ( x ? c ) 存在公共的定义域,并求这个公

共的空义域.

19. 已知函数 f(x)=ax +bx+c,其中 a∈N ,b∈N,c∈Z。 (1)若 b>2a,且 f(sinx) (x∈R)的最大值为 2,最小值为-4,试求函数 f(x)的最小 值; 2 (2)若对任意实数 x,不等式 4x≤f(x)≤2(x +1)恒成立,且存在 x0,使得 f(x0)<2 2 (x0 +1)成立,求 c 的值。

2

*

20. (理)已知 f ( x) = In(1 + x 2 ) + ax(a ≤ 0) (1)讨论 f (x) 的单调性; (2)证明: (1 +
1 1 1 ? )(1 + 4 ) ?(1 + 4 ) < e(n∈ N * ), n ≥ 2 其中无理数 e = 2.71828 ) . 4 2 3 n

( 文 ) 设 函 数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx (a ? b ? c) , 其 图 象 在 点 3

A(1, f (1)), B(m, f (m)) 处的切线的斜率分别为 o, - a .

b (1)求证: 0 ≤ < 1 ; a (2)若函数 f (x) 的递增区间为 [ s, t ] ,求 [ s - t ] 的取值范围.

21.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1) 3

(1)求函数 f(x)的单调区间,并求函数 f(x)的极大值和极小值; (2)当 x∈[a+1, a+2]时,不等 | f ?( x) |? a ,求 a 的取值范围.

22. 已知函数 f ( x ) ? x ?

(1)当 x ? 1 时,求函数 f(x)的最小值; (2)设函数 h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据 m 的取值分析函数 h(x)的图象与函数 g(x) 的图象交点的个数.

16 ? 7 x ,函数 g(x) ? 6 ln x ? m . x ?1

23. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 直线l1 : y ? ?t 2 ? 8t (其中 ? t ? 2.t 为常数) ; 0

l 2 : x ? 2 .若直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象以及 l1,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封
闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求 a、b、c 的值; (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式; (Ⅲ)若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象 有且只有两个不同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

24. 已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) (I) 若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 满足:当|x|≤1 时,有| f ?( x ) |≤

3 恒成立,求函数 2

f ( x) 的解析表达式;
(III)若 0<a<b, 函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明:OA 与

OB 不可能垂直.

2 25. 已知函数 f ( x) ? m ? x ?m ? R ?. x

(1)设 g ( x) ? f ( x) ? ln x ,当 m≥

1 1 时,求 g(x)在[ ,2 ]上的最大值; 2 4

(2)若 y ? log1 [8 ? f ( x)]在[1,??) 上是单调减函数,求实数 m 的取值范围.
3

答案:
1.解:(1) f (0) 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入 f (0) =8 万元; …………………… (2 分)

g (0) 表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入
=12 万元. …………………………… (4 分)

g (0)

(2) 解方程组

? ? x ? y ? 12 ? ?y ? x ? 8 ?

………………(6 分)

得: x = 17, y = 25 ……………(9 分) 故甲公司至少投入 17 万元, 乙公司至少投入 25 万元. …… (11 分) (3) 经观察, 显见 lim a n ? 17,
n ??

b2
b1
8 O

M(17,25)

lim bn ? 25 .
n ??

故点 M (17, 25) 是双方在宣传投入上保 证自己不失败的一个平衡点. ………(16 分)

a1 12

a2

x

2.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 y 轴上的截距是 2,∴f(0)=2,∴c=2. 1 分 又? f (x) 在 (??,?1), (2,??) 上单调递增, (-1,2)上单调递减,

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 有两个根为-1,2, 2a ? 3 ? ??1 ? 2 ? ? 3 3 2 ? ?a ? ? 3 ?? ?? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 2 ,…………5 分 2 ??1? 2 ? b ?b ? ?6 ? ? 3 ? (Ⅱ)? f '( x) ? 3x2 ? 3x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , ? h( x) ? x ? 1 ? (m ? 1) ln(x ? m)(x ? ?m且x ? 2) ,………………6 分 m ?1 x ?1 ? h?( x) ? 1 ? ? ,……………………………………… 7 分 x?m x?m 当 m≤-2 时,-m≥2,定义域: (?m,??) , h?( x) ? 0 恒成立, h( x)在(?m,??) 上单增; ……………………… 8 分 当 ? 2 ? m ? ?1 时, 2 ? ?m ? 1 ,定义域: (?m,2) ? (2,??) h?( x) ? 0 恒成立, h( x)在(?m,2), (2,??) 上单增……………………… 9 分 当 m >-1 时,-m <1,定义域: (?m,2) ? (2,??) 由 h ?( x) ? 0 得 x >1,由 h ?( x) ? 0 得 x <1. 故在(1,2)(2,+∞)上单增;在 (?m,1) 上单减. , ………………11 分
综上所述,当 m≤-2 时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当 ? 2 ? m ? ?1 时, h( x)在(?m,2), (2,??) 上单增; 当 m >-1 时,在(1,2)(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…12 分 ,

3.解: (1) f ( x) ? 5x ? 5x 分)

2

………………………………………………………………(6

(2)由 g 2 ( x) ? 5g1 ( x) ? 5g1 ( x) ? 0 解得 g1 ( x) ? 0或g1 ( x) ? 1
2

即 5x ? 5x ? 0或5x ? 5x ? 1
2 2

解得 x ? 0或x ? 1或

5? 5 5? 5 …………………………………(12 分) ?x? 10 10

(1) 由 x f ( x) ? 0 ? x x ? 0或x ? 1 ?,

?

? ?

又(

5? 5 5? 5 , ) ? ?x x ? 0或x ? 1? ? ? , 10 10 5? 5 5? 5 2 , ) 时, g 2 ( x) ? 0 , g3 ( x) ? 5g 2 ( x) ? 5g 2 ( x) ? 0 , 10 10 5? 5 5? 5 , ) ,命题成立。………………(14 分) 10 10

当 x?(

∴对于 n ? 2,3 时, E ? (

以下用数学归纳法证明 E ? (

5? 5 5? 5 , ) 对 n ? N ,且 n ? 2 时,都有 g n ( x) ? 0 成立 10 10

假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即 g k ( x) ? 0 , 那么 g k ?1 ( x) ? f [ g k ( x)] ? 5g k ( x) ? 5g k ( x) ? 0 即 n ? k ? 1 时,命题也成立。
2

∴存在满足条件的区间 E ? (

5? 5 5? 5 , )。 10 10

4.解: (Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ? f (2a ? x) ?

x ?1? a 2a ? x ? 1 ? a ?2? a?x a ? 2a ? x x ?1? a a ? x ? 1 x ? 1 ? a ? 2a ? 2 x ? a ? x ? 1 ? ?2? ? ?0 a?x x?a a?x

∴结论成立 ……………………………………4 分

? (a ? x) ? 1 1 ? ?1 ? a?x a?x 1 1 1 1 ? 1 ? a ? x ? ? ,?2 ? ? ?1 当 a ? ? x ? a ? 1时 ? a ? 1 ? ? x ? ?a ? 2 2 2 a?x 1 ? 3 ? ?1 ? ? ?2 [ 即 f ( x)值域为 ?3,?2] …………9 分 a?x
(Ⅱ)证明: f ( x) ? (Ⅲ)解: g ( x) ? x ? | x ? 1 ? a | ( x ? a)
2

(1)当 x ? a ? 1且x ? a时, g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ?
2

1 2 3 ) ? ?a 2 4

如果 a ? 1 ? ?

1 2

即a ?

1 时,则函数在 [a ? 1, a)和(a,??) 上单调递增 2

g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2
1 1 1 1 3 如果 a ? 1 ? ? 即当 a ? 且a ? ? 时, g ( x) min ? g (? ) ? ? a 2 2 2 2 4

1 时, g (x) 最小值不存在…………………………11 分 2 1 2 5 2 (2)当 x ? a ? 1时g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ? a ? 2 4 1 3 1 5 如果 a ? 1 ? 即a ? 时g ( x) min ? g ( ) ? a ? 2 2 2 4
当a ? ?
1 3 如果 a ? 1 ? 即a ? 时g ( x)在(?? , a ? 1)上为减函数 g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2 …13 分 2 2

3 5 3 当 a ? 时(a ? 1) 2 ? (a ? ) ? (a ? ) 2 ? 0 2 4 2

1 3 1 当a ? 时(a ? 1) 2 ? ( ? a) ? (a ? ) 2 ? 0 2 4 2

综合得:当 a ? 当

1 1 3 且a ? 时 g(x)最小值是 ? a 2 2 4
当a ?

1 3 ? a ? 时 g(x)最小值是 (a ? 1) 2 2 2 1 当 a ? ? 时 g(x)最小值不存在 2

3 5 时 g(x)最小值为 a ? 2 4

* 5.解:(1)证明:设 x 为 f ( x ) 的峰点,则由单峰函数定义可知, f ( x ) 在 [0, x ] 上单调递增, 在

*

[ x * ,1] 上单调递减, * * * 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时 , 假 设 x ? (0, x2 ) , 则 x1 ? x 2 < x , 从 而 f ( x ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ), 这 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 矛盾,所以 x * ? (0, x2 ) ,即 (0, x2 ) 为含峰区间. * * * 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时 , 假 设 x ? ( x1 ,1) , 则 x ? x1 ? x 2 , 从 而 f ( x ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 这 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 矛盾,所以 x * ? ( x1 ,1) ,即 ( x1 ,1) 为含峰区间………………………….(7 分)
(2)证明:由(1)的结论可知: 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 含峰区间的长度为 l1 ? x2 ; 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 含峰区间的长度为 l 2 ? 1 ? x1 ; 对于上述两种情况,由题意得 ?

? x 2 ? 0 .5 ? r ?1 ? x1 ? 0.5 ? r



由①得 1 ? x2 ? x1 ? 1 ? 2r , 即 x2 ? x1 ? 2r , 又因为 x2 ? x1 ? 2r ,所以 x2 ? x1 ? 2r 将②代入①得 x1 ? 0.5-r,x2 ? 0.5 ? r, 由①和③解得 x1=0.5-r,x2=0.5 ? r, 所以这时含峰区间的长度 l1 ? l 2 ? 0.5 ? r , ② ③

即存在 x1 , x 2 使得所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 ? r

? 2(2 x 2 ? ax ? 2) 6.解:(1)证明: f ( x) ? , ( x 2 ? 1) 2
'

由方程 2 x ? ax ? 2 ? 0 的两根分别为 ? 、 ?
2

?? ? ? ? 知

x ? ?? , ? ?时, 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,
所以 f (x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数 (2)解:由(1)知在 ?? , ? ? 上, f (x) 最小值为 f (? ) ,最大值为 f ( ? ) ,

f ( ? ) ? f (? ) ?

4? ? a 4? ? a ? ? 2 ?1 ? 2 ?1 ( ? ? ? )[a(? ? ? ) ? 4 ? 4?? ] ? 2 2 ? ? ? [(? ? ? ) 2 ? 2?? ] ? 1

?? ? ? ?

a , ?? ? ?1 ,可求得 ? ? ? ? 2

a2 ?4, 4

? f ( ? ) ? f (? ) ?

a2 a2 ? 4 ? ( ? 4 ? 4) 4 2 ? a 2 ? 16 , a2 1? ? 2 ?1 4

所以当 a ? 0 时, f (x) 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小,最小值为4

? f ?(2) ? 4 ? a ? 0 ?a ? ?4 ? 7.解:(1) f ?( x) ? x ? a ,由题意 ? , 8 4?? ? f (2) ? 3 ? 2a ? b ? ? 3 ?b ? 4 ?
2 2 令 f ?( x) ? x ? 4 ? 0 得 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?2) 和 (2, ?) .

(2) f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 ,当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表: 3
- 4 (-4, -2) -2 2) (-2, 2 ) (2,3 3

x

f ?( x )
4 3

?
单调 递增

0

?
单调 递减

0

?
单调 递增 1

f ( x)

?

28 3

?

4 3

所以 x ? [?4,3] 时, f ( x) max ? 于m ?m?
2

28 10 2 .于是 f ( x ) ? m ? m ? 在 x ? [?4,3] 上恒成立等价 3 3

10 28 ? ,求得 m? (??, ?3] ? [2, ??) . 3 3

8.解:(Ⅰ)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1, 且a ? 0, ∴由条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4, 得g (2) ? 0且g (4) ? 0 …… 分) ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? 3 ? 4a ? b ? 1 ? 2a.(4 (2 即 ?
?16a ? 4b ? 3 ? 0 4 2

分) ∴ 3 ? 4a ? 1 ? 2a得a ? 1 . ……(5 分)对 3 ? 4a ? b ? 1 ? 2a可得
4 2 8
4 2

1?

1 b 3 ……(8 分) b 1 1 ?? ? 2? . ? 1? ? ?1. 4a 2a 8a ? x0 ? ? ? 1 ? 1
2a 4a 4? 8

(Ⅱ)由 g ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0可知 x1 x 2 ? 1 ? 0即x1与x 2同号.
a

? 0 ? x1 ? 2, x1 ? 2 ? x2 ? 4,? x2 ? x1 ? 2, ……(11 分)
? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 x1 ? (b ? 1) 2 4 ? ? 4 ? 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1. a a2
4

由 g (2) ? 0即4a ? 2b ? 1 ? 0 代入有 2 (b ? 1) 2 ? 1 ? 3 ? 2b ? b ? 1 . 9.解:解法一: (1)令 x ? 0, y ? 2 ,得: f (0) ? [ f (0)]2 ……………1 分

? f (0) ? 0

? f (0) ? 1…………………………4 分
设 x1 ? 1 p1 , x 2 ? 1 p 2 , 则 p1 ? p2
3 3

(2)任取 x1 、 x2 ? (??,??) ,且 x1 ? x 2 .

1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p 2 ) ? [ f ( )] p1 ? [ f ( )] p2 …………………… 3 3 3 3
1 ? f ( ) ? 1, p1 ? p 2 3 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 )

8分

? f ( x) 在 R 上是单调增函数…… 9 分

(3)由(1) (2)知 f (b) ? f (0) ? 1
c f (c) ? f (b ? ) ? [ f (b)]b ………11 分 b
c

? f (b) ? 1

c ? f (a) ? f (b ? ) ? [ f (b)]b b
a c

a

? f (a ) ? f (c) ? [ f (b)] b ? [ f (b)] b ? 2 [ f (b)]

a ?c b

而a ?c ? 2

ac ? 2 b 2 ? 2b

? 2 [ f (b)]

a ?c b

2b

? 2 [ f (b)] b ? 2 f (b)

? f (a) ? f (c) ? 2 f (b) ……15 分

解法二: (1)∵对任意 x、y∈R,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y

? f ( x) ? f ( x ?1) ? [ f (1)]x ………1 分
∵任意 x∈R, f ( x) ? 0 …………3 分

∴当 x ? 0 时 f (0) ? [ f (1)]0 ……2 分

? f (0) ? 1 ……………………4 分

(2)? f ( 1 ) ? 1,? f (1) ? f (3 ? 1 ) ? [ f ( 1 )] 3 ? 1…………………………6 分 3 3 3

? f ( x) ? [ f (1)]x 是 R 上单调增函数

即 f (x) 是 R 上单调增函数;…… 9 分

a c a ?c (3) f (a ) ? f (c) ? [ f (1)] ? [ f (1)] ? 2 [ f (1)] ……………………11 分

而 a ? c ? 2 ac ? 2 b 2 ? 2b

? 2 [ f (1)] a ? c ? 2 [ f (1)] 2b ? 2 f (b)

? f (a) ? f (c) ? 2 f (b)

10.解: (1) ∵

?, f ( x)在?0,上单调递增,在1 2?上单调递减,当x ? 1时,f ( x)取得极大值, ∴ 1? ?

f / ( x) ? 0, 即( x 3 ? 12x 2 ? 2ax) | x?1 ? 0 ,∴ a ? 4 , 4
( 2 ) 设 点 A (x 0 , f ( x0 ))是f ( x)上的任一点,它关于 ? 1 x 的对称点的坐标为 (2 ? x0 , f ( x0 )), B ∵ f (2 ? x0 ) ? f ( x0 ) ? x ? 1是y ? f ( x)的图象的一条对称轴。 由 g ( x) ? bx ? 1与f ( x) ? x ? 4 x ? 4 x ? 1 的图象恰有 个不同的交 点 对 应 于 方 程 2
2 4 3 2

bx2 ? 1 ? x 4 ? 4 x 3 ? 4 x 2 ? 1恰有2个不同的实根, 即 x 4 ? 4x 3 ? 4x 2 ? bx2 ? 0? x ? 0是一个根,当 ? 0时b ? 4,当x ? 0时方程有等根得 ? 0 x b
∴b=4 或 b=0 为所求. 11.解:(1)取 x=1,q=2,有 若 f (12 ) ? f (2)即f (1) ? 0?1是f ( x) ? 0的一个根, 存 在 另 一 个 实 根 x0 ? 1 , 使 得

f ( x1 ) ? 0对任意的 1 ( x1 ? (0,??)成立,且 1 ? x0 (q ? 0), 有f ( x1 ) ? qf ( x0 ) ? 0, x x
q

? f ( x0 ) ? 0恒成立, f(x1 ) ? 0, 与条件矛盾, f ( x) ? 0有且只有一个实根 ? 1 ? ? x

(2)? a ? b ? c ? 1, 不妨设a ? b 1 , c ? b 2 ,
q q

,则 q

1

? 0, q2 ? 0 ∴ f (a) ? f (c) ? f (b q1 ) ? f (b q2 ) ? q1q2 ? f 2 (b) ,又 a+c=2b,
( a ? c) 2 ?0 4
q1 ? q2

∴ac-b = ?
2

即 ac<b ?b
2

?q ?q ? ? b ,?0 ? q1 ? q2 ? 2,? q2q1 ? ? 1 2 ? ? 1 ? f (a) f (c) ? f 2 (b) ? 2 ?
2 2

(3)

? f (1) ? 0, f ( x)在(0,??)单调递增,当 ? (0,1)时f ( x) ? 0;当x ? (1,??)时,f ( x) ? 0. x
又 f (m) ? f (n) ,? f (m) ? f (n), f (m) ? ? f (n),?m ? n ? 0,? f (m) ? ? f (n). 令 m=b 1 ,n= b
q

q2

,b ? 1, 且 q 1 q2 ? 0

则 f(m)+f(n)=(q 1 ?q 2 ) f(b)=f(mn)=0? m n ? 1.0 ? n ? 1 ? m,? f (m) ? 2 f ?

?m ? n? ? ,且 ? 2 ?
2

m?n m?n m ? 1, ? m n ? 1,? f (m) ? 2 f ( ),? f (m) ? 2 2
2 2, 2 2

2 ?? m ? n ? 2 ? ?m ? n? f ?? ? ? ?m ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

2 即 4m= m ? 2m n ? n ? 4m ? m ? 2 ? n ,由 0<n<1 得 0 ? 4m ? m ? 2 ? 1, ? m ? 1 ,

?3 ? m ? 2 ? 2
12.解:(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x + 45x + 3240x – 5000 (x?N 且 x?[1, 20]); 2分 2 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x + 60x +3275 (x?N 且 x?[1, 20]). 4 分 2 (2) P`(x) = – 30x + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x?N 且 x?[1, 20]) 7分 当 1< x < 12 时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 10 分 即, 年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. 11 分 2 (3) 由 MP(x ) = – 30( x – 1) + 3305 (x?N 且 x?[1, 20]). ∴当 1< x ? 20 时,MP (x)单调递减. 12 分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.1 13.解:(1) ①当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? a(a ? 1),0) 及 (0, a(a ? 1)) , ②当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) 及 (0, ??) ,
3 2

③当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? a(a ? 1)) 及 ( a(a ? 1), ??) . (6 分) (2) 由题设及(1)中③知 a(a ? 1) ? 6 且 a ? 1 ,解得 a ? 3 , 因此函数解析式为 f ( x) ? (9 分)

3x 2 3 ? ( x ? 0) . (10 分) 3 x (3) (理) 假设存在经过原点的直线 l 为曲线 C 的对称轴, 显然 x 、 y 轴不是曲线 C 的 对称轴,故可设 l : y ? kx ( k ? 0 ) ,
设 P ( p, q ) 为曲线 C 上的任意一点, P?( p?, q?) 与 P ( p, q ) 关于直线 l 对称,且

p ? p? , q ? q ? ,则 P ? 也在曲线 C 上,由此得

q ? q? 1 q ? q? p ? p? ?? , , ?k p ? p? k 2 2
(14 分)

且q ?

p 3

?

2 3 p? 2 3 , q? ? , ? p? p 3

整理得 k ?

1 2 3 ? ,解得 k ? 3 或 k ? ? , k 3 3

所以存在直线 y ? 3x 及 y ? ?

3 x 为曲线 C 的对称轴. 3

(16 分)

(文)该函数的定义域 D ? (??,0) ? (0, ??) ,曲线 C 的对称中心为 (0,0) , 因为对任意 x ? D , f (? x) ? ?

? 3x 3x 3(a ? 1) 3(a ? 1) ? ? ? ?? ? ? ? ? f ( x) , a ?x x ? a ?

所以该函数为奇函数,曲线 C 为中心对称图形.

14.解:(Ⅰ) ? f ?( x) ?

1 4 log a e, g ?( x) ? log a e x 2x ? t ? 2

………………………3 分

∵函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图象在 x ? 2 处的切线互相平行

? f ?(2) ? g ?(2)

…………………………………………………5 分

1 4 ? log a e ? log a e 2 t?2 ?t ? 6 ………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)? t ? 6

? F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2loga (2 x ? 4)-loga x

? log a

(2 x ? 4)2 , x ? ?1, 4? x

…………………………………………7 分

令 h( x ) ?

(2 x ? 4)2 16 ? 4 x ? ? 16, x ? ?1, 4? x x
16 4( x ? 2)( x ? 2) ? , x ? ?1, 4? x2 x2

? h?( x) ? 4 ?

∴当 1 ? x ? 2 时, h ?( x) ? 0 ,当 2 ? x ? 4 时, h ?( x) ? 0 . ∴ h(x) 在 ?1, 2 ? 是单调减函数,在 ? 2, 4? 是单调增函数. …………………………9 分

? h( x)min ? h(2) ? 32 ,?h( x)max ? h(1) ? h(4) ? 36
∴当 0 ? a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 36 ,当 a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 32 . ∵当 x ??1, 4? 时, F ( x) ? 2 恒成立, ∴ F ( x)min ? 2 ∴满足条件的 a 的值满足下列不等式组 …………………………11 分

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ①,或 ? ② ? ?log a 36 ? 2; ?log a 32 ? 2.
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 1 ? a ? 4 2 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是: 1 ? a ? 4 2 .

15.



: (

1





f ( ?m ) n ?

( f ?)m 中 (令 ) m ? n ? 1 f n





f( ? ) 1 ;

0

…………………2 分

x1 x ? 1 ,从而有 f ( 1 ) ? 0 x2 x2 x x 所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ? 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 ) ? f ( x2 ) x2 x2
设 x1 ? x2 ? 0 ,则 所 减
2 2





f ( x)

R 在 上 …………………5 分

?


?





(2) f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y ) ? 0 ? f (1) ,由 (1) 知, f ( x ) 在 R 上单调递减, ?

?x ? y ? 0 ? …………………7 分 ? ?x ? y ? 0 , ? x2 ? y 2 ? 1 ? 故集合 A 中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分; 而 f (ax ? y ? 2) ? 0 ? f (1) ,所以, ax ? y ? 1 ? 0 , …………8 分

y

y ? ax ? 1

O

x

故集合 B 中的点所表示的区域为一直线,如图所示, 由图可知,要 A ? B ? ? ,只要 a ? 1 , ∴实数 a 的取值范围是 (??,1)

…………………10 分

? (3) (1) f ( x ) 在 R 上单调递减, 由 知 ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , x ? 1 时, f ( x) ? 0 , 当

? 0 ? a ? b ,而 | f (a) |?| f (b) | ,? a ? 1, b ? 1 ,故 f (a) ? 0, f (b) ? 0 , 由 得 , | f (a) |?| f (b) | f ( ? a ) ? f ( , b) 所 0 以
ab ? 1 , …………………12 分 a?b a?b ? ab ? 1 ,所以 f ( ) ? f (1) ? 0 , 又 2 2 ? ? a ? b ?2 ? a?b ) ? f ?? 又? f (b) ? 2 f ( ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? a?b ) | 得, 4b ? (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2 ,? 4b ? b2 ? a 2 ? 2 , 由 | f (b) |? 2 | f ( 2 0 ? a ? 1 ,所以 2 ? a 2 ? 2 ? 3 ,由 又



2 ? 4b ? b2 ? 3 及 b ? 1 解得, 3 ? b ? 2 ? 2

16.解: (理) (I) ? ? a 2 ? 4b, 若b ? 0, 则? ? 0, 方程有实根与题设矛盾 b ? 0. (3 .? 分) (II)设两整根为 x1,x2,x1>x2

? x1 ? x 2 ? ? a, ? ? x1 x 2 ? b, ? x ? x ? 1, 2 ? 1
? f (?a) ? b ? 1 2 (a ? 1) 4

? a 2 ? 4b ? 1 b? a2 ?1 4

(5 分)

(III)设 m<x1<x2<m+1,m 为整数。

a 2 ? 4b ? 0 ? b ?
1?. ?

a2 4

a 1 ? ( m, m ? ] 即 ? 1 ? a ? 2 m ? 0 2 2
2 2

f(m)= m ? am ? b ? m ? am ?

a2 a 1 ? (m ? ) 2 ? 4 2 4

2?. ?

a 1 ? (m ? , m ? 1) 2 2
2 2

f(m+1)= (m ? 1) ? a(m ? 1) ? b ? (m ? 2) ? a(m ? 1) ?

a2 a 1 ? (m ? 1 ? ) 2 ? 4 2 4

? 存在.

(6 分)

(文)f(sinx)= a sin x ? b sin x ? c
2

?

b ? ?1,? 对称轴在 x ? ?1左边 2a

? f (sin x) min ? f (?1) ? ?4, f(sinx)max=f(1)=2,

?a ? b ? c ? ?4, ?? ?a ? b ? c ? 2,

?b ? 3, ? ?c ? ?1 ? a,

又 b>2a>0,? a ? 1, c ? ?2. ? f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2.

f ( x) min ? ?

17 4

(7 分)

(2)? 4x ? f ( x) ? 2( x 2 ? 1),? 4 ? f (1) ? 2(1 ? 1) ? 4,? f (1) ? 4.(1分)

? a ? b ? c ? 4,即b ? 4 ? ?(a ? c).(1分)

又? f ( x) ? 4x,即ax2 ? (b ? 4) x ? c ? 0恒成立. ? ? ? (b ? 4) ? 4ac ? 0,即(?a ? c) 2 ? 4ac ? 0,

? (a ? c) 2 ? 0,? a ? c.(2分) ? b ? 4 ? 2a ? 0, a ? 2, 又a ? N * . ? a ? 1或a ? 2.(1分)
当a ? 2时, c ? 2,? b ? 0,? f ( x) ? 2x 2 ? 2.
2 不存在 x0使f ( x0 ) ? 2x0 ? 2.

当 a=1 时,c=1,?b ? 2,? f ( x) ? x ? 2x ? 1.
2

2 此时存在 x0,使 f ( x0 ) ? 2( x0 ? 1).故c ? 1.(2分)

17.解:(I)证:令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),

故 f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x) ∴函数 f(x)的奇函数

4’

(II)设-1<x1<x2<1,则

因此 ∴函数 f(x)在(-1,1)上是减函数 (III) 8’

是(-1,1)上的减函数,



得 x<0 或 x>2

9’ 10’

当 a=0 时, ,原不等式的解集为{x|x>2} 当-1<a<0 时。x>2 中原不等式的解; 若 x<0,则 a(x-1)>1,x<1+ 故原不等式的解集为 当 0<a<1 时,x<0 不是原不等式的解; 若 x>2,则 a(x-1)<1,x<1+ 故原不等式的解集为{x| ∴ } 12’

18.解: (1)∵奇函数 f (x) 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意 x1、 x2 ? [?1 1] 且 x1 ? x 2 有 ,

f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ……………………………………………………3 分 x1 ? x 2
从而 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号

, ∴ f (x) 在 [?1 1] 上是减函数…………………………………………5 分
(2)

f ( x ? c) 的定义域为 [c ? 1, c ? 1]

f ( x ? c 2 ) 的定义域为 [c 2 ? 1, c 2 ? 1] ………………………………7 分
∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有:

c 2 ? 1 ? c ? 1 或 c 2 ? 1 ? c ? 1…………………………9 分

解得: c ? 2 或 c ? ?1

故 c 的取值范围为 c ? 2 或 c ? ?1 ………………………………………………10 分 (3)∵

c 2 ? 1 ? c ? 1 恒成立

由(2)知:当 ? 1 ? c ? 2 时

c2 ?1 ? c ?1
当1 ? c ? 2 或 ? 1 ? c ? 0 时

c2 ?1 ? c ?1 且

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [(c 2 ? 1, 当0 ? c ?1

c ? 1] ………………………………………12 分

c2 ?1 ? c ?1 且

c2 ?1 ? c ?1

此时的交集为 [c ? 1,

c 2 ? 1]

故 ? 1 ? c ? 2 时,存在公共定义域,且 当 ? 1 ? c ? 0 或 1 ? c ? 2 时,公共定义域为 [(c 2 ? 1, 当 0 ? c ? 1 时,公共定义域为 [c ? 1,

c ? 1] ;

c 2 ? 1] .

19.解: (1)由函数 f(x)的图像开口向上,对称轴 x=-b/2a<-1 知,f(x)在[-1,1] 上为增函数,故 f(1)=a+b+c=2,f(-1)=a-b+c=-4,∴b=3,a+c=-1。又 2 b>2a,故 a=1,c=-2。∴f(x)=x +3x-2,最小值为-17/4。 2 (2)令 x=1,代入不等式 4x≤f(x)≤2(x +1)得 f(1)=4,即 a+b+c=4,从而 b 2 2 =4-a-c。又 4x≤f(x)恒成立,得 ax +(b-4)x+c≥0 恒成立,故△=(b-4) - 2 4ac≤0,∴a=c。又 b≥0,a+c≤4,∴c=1 或 c=2。当 c=2 时,f(x)=2x +2,此时 不存在满足题意的 x0。当 c=1 时满足条件,故 c=1。

20.解: (理) (1) f ( x ) ?
'

2x ax2 ? 2 x ? a ?a? . 1 ? x2 1 ? x2

' ①若 a ? 0 时, f ( x) ?

2x ? 0 ? x ? 0, f ' ( x) ? 0 ? x ? 0, 2 1? x

∴ f ( x ) 在 0,?? 单调递增,在 ? ?,0 单调递减,…………………………………… 1?

②若 ?

?a ? 0 ? a ? -1时, f ' ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立. ?.? ? 0

∴ f ( x ) 在 R 上单调递减. ………………………………………………………… 6′ ③若 ? 1 ? a ? 0 , 由 f ' ( x ) ? 0 ? ax2 ? 2 x ? a ? 0 ?? x ?

? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? 22 , ?x? a a

由 f ' ( x ) ? 0 可得 x ?

? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? a2 或 , a a

∴ f ( x ) 在[

? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? a2 ]单调递减,在( ? ?, ] , , a a a



? 1 ? 1 ? a2 , ? ? ]上单调递减,综上所述:若 a ? ?1 时, f ( x ) 在( ? ? ,?? ) a

上单调递减. 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在[

? 1 ? 1 ? a2 1 ? ? 1 ? a2 ]单调递减, , a a

在( ? ?,

? 1 ? 1 ? a2 ? 1 ? 1 ? a2 和 ,?? )单调递减, a a

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 0 ,?? 单调递增,在 ? ?,0 单调递减.

21.解: (1)∵f′(x)=-x +4ax-3a =-(x-3a)(x-a),由 f′(x)>0 得:a<x<3a 由 f′(x)<0 得,x<a 或 x>3a, 则函数 f(x)的单调递增区间为(a, 3a) ,单调递减区间为(-∞,a)和(3a,+∞) 列表如下: x (-∞,a) a (a, 3a) 3a (3a,+ ∞) f′(x) — 0 + 0 —

2

2

f(x)



4 3 a +b 3

b

4 3 a +b …………………………7 分 3 (2)? f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ?( x ? 2a) 2 ? a 2 ,? f ?( x)在[a ? 1, a ? 2] 上单调递 减,因此 f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1, f ?( x) min ? f ?(a ? 2) ? 4a ? 4
∴函数 f(x)的极大值为 b,极小值为- ∵不等式|f′(x)|≤a 恒成立, ∴ ?

?2a ? 1 ? a 4 4 , 解得 : ? a ? 1 即 a 的取值范围是 ? a ? 1 5 5 ?4a ? 4 ? ?a

22.解:(1) 方法一: ∵ x>1 ,

f (x) ?

x 2 ? 8x ? 16 ( x ? 4) 2 ? ?0, x ?1 x ?1

当且仅当 x=4 时,取等号,故函数 f(x)的最小值为 0; 方法二:∵ x>1, f ( x) ? x ? 1 ? 当且仅当 x ? 1 ?

9 9 ? 6 ? 2 (x ? 1) ? ?6?0 x ?1 x ?1

9 即 x=4 时,取等号,故函数 f(x)的最小值为 0. x ?1

方法三:求导(略) ……………………………………4 分 (2)由于 h(x)=(1-x)f(x)+16= 8x ? x 2 设 F(x)=g(x)-h(x)= 6 ln x ? x 2 ? 8x ? m ( x ? 0 且 x ? 1 ),则

6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? ,……………………………6 分 x x 令 F' ( x ) ? 0 得 x=3 或 x=1 ( 舍 ) 又 ∵ lim F( x ) ? ?? , lim F( x ) ? ?? F' ( x ) ?
x ?0 x ? ??



lim F( x ) ? m ? 7 ,F(3)=6ln3-15+m
x ?1

根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如 下:………………11 分 由此可得: 当 m ? 7 或 m ? 15 ? 6 ln 3 时, h(x)的图象与 g(x)的图象恰有 1 个交点; 当 m ? 15 ? 6 ln 3 时,h(x)的图象与 g(x)的图象恰有 2 个交点; 当 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3 时,h(x)的图象与 g(x(的图象恰有 3 个交点.

y
(1, m-7)

3 O 1

x

(3, 6ln3-15+m)

? ?c ? 0 ?a ? ?1 ? ? ? 23.解: (I)由图形 知: ?a ? 8 2 ? b ? 8 ? c ? 0解之得: ? 8 , ?b ? 4ac ? b 2 ?c ? 0 ? ? ? 16, ? 4a ?
∴函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? ? x 2 ? 8x …………………………4 分 (Ⅱ)由 ?

? y ? ?t 2 ? 8t ? ? y ? ? x 2 ? 8x ?

得 x 2 ? 8x ? t (t ? 8) ? 0,? x1 ? t , x2 ? 8 ? t , ∵0≤t≤2 ∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( t ,?t 2 ? 8t ) …………………………6 分 由定积分的几何意义知:

S (t ) ? ? [(?t 2 ? 8t ) ? (? x 2 ? 8x)]dx ? ? [(? x ? 8x) ? (?t 2 ? 8t )]dx
0 t

1

2

x 2 8x 2 1 x 3 8x 2 ? [(?t ? 8t ) x ? (? ? )] 0 ?[(? ? ) ? (?t 2 ? 8t ) ? x 3 20 3 2 t
2

2

4 40 ? ? t 3 ? 10t 2 ? 16t ? ………………………………9 分 3 3
(Ⅲ)令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m.
2

因为 x>0,要使函数 f(x)与函数 g(x)有且仅有 2 个不同的交点,则函数

? ( x) ? x 2 ? 8x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ? ( x) ? 2 x ? 8 ? ? ? ( x ? 0) x x x
'

当 x∈(0,1)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;
'

当 x∈(1,3)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数
'

当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数
'

当 x=1 或 x=3 时, ? ( x) ? 0
'

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7;

? ( x)极小值为? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15 ………………………………12 分

又因为当 x→0 时, ? (x) ? ?? 当 x ? ??时,? (x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根,必须且只须

?? (1) ? 0 ?? (3) ? 0 或? ? ?? (3) ? 0 ?? (1) ? 0
即?

?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 或? ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0

∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. ∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个不同交点.

24.解:(I) f (x)=x -2x +x, f ? (x)=3x -4x+1,
3 2 2

因为 f(x)单调递增, 所以 f ? (x)≥0, 即 3x -4x+1≥0,
2

1 ,……………………………2 分 3 1 故 f(x)的增区间是(-∞, )和[1,+ ∞]. …………………………3 分 3
解得,x≥1, 或 x≤ (II) f ? (x)=3x -2(a+b)x+ab.
2

当 x∈[-1,1]时,恒有| f ? (x)|≤ 故有 ?

3 .………………………4 分 2

3 3 ≤ f ? (1)≤ , 2 2 3 3 ? ≤ f ? (-1)≤ , 2 2 3 3 ? ≤ f ? (0)≤ ,………………………5 2 2 3 ? 3 3 ① ? ? 2 ≤ ? 2(a ? b) ? ab ≤2 , ? 3 3 ? 3 ② 即 ? ? ≤ ? 2(a ? b) ? ab ≤ , 2 ? 2 ?? 3 ≤ ≤3 . ab ③ ? 2 2 ?

………6

①+②,得

?

9 3 ≤ab≤ ? ,……………………………8 分 2 2 3 , 2

又由③,得 ab= ?

将上式代回①和②,得 a+b=0, 故 f(x)=x ?
3

3 x. ……………………9 分 2

(III) 假设 OA ⊥ OB , 即 OA ? OB = ( s, f ( s)) ? (t , f (t )) = st+f(s)f(t)=0, ……………10 分 (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, 2 2 [st-(s+t)a+a ][st-(s+t)b+b ]=-1, ……………………………………11 分 由 s,t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s+t=

2 1 (a+b), st= , (0<a<b), 3 3
2

从而有 ab(a-b) =9. ……………………………………12 分 2 2 这样(a+b) =(a-b) +4ab =

9 +4ab≥2 36 =12, ab

即 a+b≥2 3 , 这样与 a+b<2 3 矛盾. ……………………13 分 故 OA 与 OB 不可能垂直.

( x ? )2 ? m ? 2 2 25.解:(1)g(x)= m ? x ? ln x, g??x ? ? ? x ? x ? m ? ? 2 4. 2 2 x x x

1

1

即 m≥ 1 时,g′(x)≤0,g(x)在[ 1 ,2]上单调递减,
4

2

∴g(x)max=g( 1 )=2m- 1 -ln2.
2 2

所以 m≥ 1 时,g(x)max=2m- 1 ? ln 2 ;
4 2

(2)因为函数 y=log 1 [8-f(x)]在[1,+∞)上是单调减函数,则其导数在[1,+∞)上恒小于
3

等于零. 所以
log1 e y/ ?
3

8 ? f ( x)

? [8 ? f ( x)]/ ?

? ? m ? x2 ? ? ? ?? m ? x2 ? x ? ? ? 8? x log1 e
3

?

x2 ? m log1 e ? 0 恒成立. x x 2 ? 8x ? m 3

?

?

因为 log 1 e<0,所以
3

x ?m x2 ? m ? 0 在[1,+∞)恒成立. ? 0 在[1,+∞)恒成立.即 2 x x2 ? 8 ? m x ?8?m
2

?

?

因为 ?x 2 ? m ? 0, ? 得 ?m ? ? x 2 ?

? 2 ?x ? 8x ? m ? 0 ?

在[1,+∞)上不恒成立,所以 ?x 2 ? m ? 0, ?

? 2 ?x ? 8x ? m ? 0 ?

在[1,+∞)上恒成立.

? ?m ? x 2 ? 8x ?

在[1,+∞)上恒成立.

所以-1≤m<9.

(本题也可用复合函数进行处理)


高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)_数学_高中教育_教育专区。高考数学压轴题突破训练:函数 1. 甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数 f ?x ? ? ...

高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)

高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)_数学_高中教育_教育专区。极限、导数 1. 对于函数 f ? x ? ? ? (a ? 2) x ? bx ? (a ? 2) x ...

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解) 隐藏>> 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 高考数学压轴题突破训练:函数 1. 甲乙两公司生产同一种新产品,经...

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)高考数学压轴题突破训练--函数(含详解) 高考数学压轴题突破训练:函数 1. 已知三次函数 f ( x) = x 3 + ax 2 +...

新人教版A高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)

新人教版A高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学压轴题突破训练 极限、导数(含详解) 1. 对于函数 f ? x ...

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解) 隐藏>> 高考数学压轴题突破训练:函数 1. 甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数 f ( x ) = x + 8 , g ...

2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解)

2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学压轴题突破训练:数列 a 1. 设函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?...

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)

高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, 高考数学...

高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)学生版

2013高考数学压轴题突破... 20页 2下载券 高考数学复习专题训练—... 8页 ...? . (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅲ)若 x ? ...