nbhkdz.com冰点文库

均值不等式


均值不等式
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式: 公式内容为 Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超 过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

1 简介
定义

Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平
均数,算

术平均数不超过平方平均数。 其中: 1、调和平均数:

2、几何平均数:

3、算术平均数:

4、平方平均数(均方根):

一般形式

设函数

(当 r 不等于 0 时); (当 r=0 时),有 时, 。

特例
1

可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形,即 。 在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM 不等式):

当 n=2 时,上式即: 当且仅当 时,等号成立。 根据均值不等式的简化,有一个简单结论,中学常用,即

。 记忆 调几算方,即调和平均数 ≤ 几何平均数≤算术平均数 ≤均方根,即

≤ 变形







⑴对实数 a,b,有

(当且仅当 a=b 时取“=”号), (当且仅当 a=-b 时取“=”号)

⑵对非负实数 a,b,有 ⑶对非负实数 a,b,有 ⑷对实数 a,b,有 ⑸对非负实数 a,b,有

,即

⑹对实数 a,b,有

⑺对实数 a,b,c,有 ⑻对非负数 a,b,有
2

⑼对非负数 a,b,c,有 证明 关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法 (第一数学归纳法或反向归 纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等, 都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法: (注:在此证明的,是对 n 维形式的均值不等式的证明方法。) 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设 A≥0,B≥0,则 ,且仅当 B=0 时取等号。

注:引理的正确性较明显,条件 A≥0,B≥0 可以弱化为 A≥0,A+B≥0,有 兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于: , 当且仅当 当 n=2 时易证; 假设当 n=k 时命题成立,即 时取等号。那么当 n=k+1 时,不妨设 中最大者,则 是 , 当且仅当 、 ...... 时取等号。





,根

据引理 ,当且仅当

≥ 且

= 时,即



时取等号。 利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式, 同时还有柯西归纳法等 等方法。

2 其他不等式
琴生不等式 (具有凹凸性);绝对值不等式;权方和不等式;赫尔德不等 式;闵可夫斯基不等式;贝努利不等式;柯西不等式;切比雪夫不等式;外森比 克不等式;排序不等式

3


均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 公式 总结 及 应用 均值不等式应用 1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (...

均值不等式

均值不等式百科名片 1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n...

均值不等式及其应用

诸城市超然中学一轮复习学案 组编:孙友红 审核:邱裕善 备、思、理 时间:2012.11.12 第四节 均值不等式及其应用学案 【学习目标】1.会用均值不等式解决简单的...

几个重要的均值不等式

已知实数 x,y 满足 x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy) 总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,要掌握常见的变形技巧,掌握常见题型 的求解方法,加强...

高中数学必修5 均值不等式

高中数学必修5 均值不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式复习(学案)基础知识回顾 1.均值不等式: ab≤ a+b 2 (1)均值不等式成立的条件:___....

经典均值不等式练习题

经典均值不等式练习题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不...

均值不等式教学设计

均值不等式教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题: 基本不等式 ab ? 科目: 数学 提供者:李文毅 一、教学内容分析 教学对象: 高一学生 单位: 大同四中...

均值不等式

学校: 学员姓名: 年级:高二 辅导科目:数学 教学课题:均值不等式 学科教师: 教学目标 教学内容 一.均值不等式 掌握均值不等式的基本运用 1.(1)若 a, b ? R...

不等式和均值不等式

中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育学科老师个性化教案教师 学科 学案主题 教学内容 个性化学习问题解决 数学 复习巩固课 不等式 不等式、均值不等式、线性规划...

均值不等式的理解

均值不等式的理解√(ab)<(a+b)/2 均值不等式变化多样, 简单而又应用灵活, 所以必须要抓住其本质才能更好理解、 记忆、 应用。首先给出一个不等式(由均值不...