nbhkdz.com冰点文库

均值不等式

时间:2014-09-29


均值不等式
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式: 公式内容为 Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超 过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

1 简介
定义

Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平
均数,算术平均数不超过平方平均数。 其中: 1、调和平均数:

2、几何平均数:

3、算术平均数:

4、平方平均数(均方根):

一般形式

设函数

(当 r 不等于 0 时); (当 r=0 时),有 时, 。

特例
1

可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形,即 。 在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM 不等式):

当 n=2 时,上式即: 当且仅当 时,等号成立。 根据均值不等式的简化,有一个简单结论,中学常用,即

。 记忆 调几算方,即调和平均数 ≤ 几何平均数≤算术平均数 ≤均方根,即

≤ 变形







⑴对实数 a,b,有

(当且仅当 a=b 时取“=”号), (当且仅当 a=-b 时取“=”号)

⑵对非负实数 a,b,有 ⑶对非负实数 a,b,有 ⑷对实数 a,b,有 ⑸对非负实数 a,b,有

,即

⑹对实数 a,b,有

⑺对实数 a,b,c,有 ⑻对非负数 a,b,有
2

⑼对非负数 a,b,c,有 证明 关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法 (第一数学归纳法或反向归 纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等, 都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法: (注:在此证明的,是对 n 维形式的均值不等式的证明方法。) 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设 A≥0,B≥0,则 ,且仅当 B=0 时取等号。

注:引理的正确性较明显,条件 A≥0,B≥0 可以弱化为 A≥0,A+B≥0,有 兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于: , 当且仅当 当 n=2 时易证; 假设当 n=k 时命题成立,即 时取等号。那么当 n=k+1 时,不妨设 中最大者,则 是 , 当且仅当 、 ...... 时取等号。





,根

据引理 ,当且仅当

≥ 且

= 时,即



时取等号。 利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式, 同时还有柯西归纳法等 等方法。

2 其他不等式
琴生不等式 (具有凹凸性);绝对值不等式;权方和不等式;赫尔德不等 式;闵可夫斯基不等式;贝努利不等式;柯西不等式;切比雪夫不等式;外森比 克不等式;排序不等式

3


赞助商链接

均值不等式的总结及应用

2 2 。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值” ,为利用均值不等式创造了条件。 总之, 我们利用均值不等式求最值时, 一定要注意 “一正二定三相等”...

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

解析:由知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故...

均值不等式的待定系数法

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇撰写人:张平 在处理一些不等式问题的时候,往往难以直接使用均值不等式,这就需要我 们根据题目自身的结构特点来进行适当的...

均值不等式链

关键词:基本不等式 高中数学教学随笔 必修 5 >> 不等式 均值不等式链基本不等式链:若 a、 b 都是正数,则 2 1 1 ? a b ? ab ? a?b a 2 ? b2 ...

均值不等式的理解

均值不等式的理解√(ab)<(a+b)/2 均值不等式变化多样, 简单而又应用灵活, 所以必须要抓住其本质才能更好理解、 记忆、 应用。首先给出一个不等式(由均值不...

均值不等式

均值不等式 - 濮阳市第一高级中学数学课堂导学案 使用时间:2017 年 月 日 编制人:徐亚红 2.1 基本不等式在实际问题中的应用(2) 班级___姓名___...

均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_数学_高中教育_教育专区。均值不等式应用 1.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ? 2 2 a2...

数列与均值不等式

数列与均值不等式_数学_高中教育_教育专区。高二上学期10月份,阶段考试,数列与不等式 大连市第四十八中学 2015~2016 学年度 10 月模块检测 高二试卷(时间 90 ...

经典均值不等式练习题

经典均值不等式练习题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不...

均值不等式【高考题】

均值不等式【高考题】_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 均值不等式应用一、求最值 直接求 例 1、(重庆理,2005)若 x , y 是正数,则 ( x ? A. 3 ...

更多相关标签