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均值不等式


均值不等式
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式: 公式内容为 Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超 过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

1 简介
定义

Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平
均数,算

术平均数不超过平方平均数。 其中: 1、调和平均数:

2、几何平均数:

3、算术平均数:

4、平方平均数(均方根):

一般形式

设函数

(当 r 不等于 0 时); (当 r=0 时),有 时, 。

特例
1

可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形,即 。 在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM 不等式):

当 n=2 时,上式即: 当且仅当 时,等号成立。 根据均值不等式的简化,有一个简单结论,中学常用,即

。 记忆 调几算方,即调和平均数 ≤ 几何平均数≤算术平均数 ≤均方根,即

≤ 变形







⑴对实数 a,b,有

(当且仅当 a=b 时取“=”号), (当且仅当 a=-b 时取“=”号)

⑵对非负实数 a,b,有 ⑶对非负实数 a,b,有 ⑷对实数 a,b,有 ⑸对非负实数 a,b,有

,即

⑹对实数 a,b,有

⑺对实数 a,b,c,有 ⑻对非负数 a,b,有
2

⑼对非负数 a,b,c,有 证明 关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法 (第一数学归纳法或反向归 纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等, 都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法: (注:在此证明的,是对 n 维形式的均值不等式的证明方法。) 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设 A≥0,B≥0,则 ,且仅当 B=0 时取等号。

注:引理的正确性较明显,条件 A≥0,B≥0 可以弱化为 A≥0,A+B≥0,有 兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于: , 当且仅当 当 n=2 时易证; 假设当 n=k 时命题成立,即 时取等号。那么当 n=k+1 时,不妨设 中最大者,则 是 , 当且仅当 、 ...... 时取等号。





,根

据引理 ,当且仅当

≥ 且

= 时,即



时取等号。 利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式, 同时还有柯西归纳法等 等方法。

2 其他不等式
琴生不等式 (具有凹凸性);绝对值不等式;权方和不等式;赫尔德不等 式;闵可夫斯基不等式;贝努利不等式;柯西不等式;切比雪夫不等式;外森比 克不等式;排序不等式

3


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