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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第1课 集合的概念及运算


考纲要求
1.理解集合、子集、全集、空集、并集、交集、补 集的含义. 2.能使用韦恩图表达集合的关系及运算.

知识梳理
1.集合的含义与表示
无序性 . 互异性 、 ①集合中元素的三个特征:确定性、

②集合中元素与集合的关系 意义 a 属于集合 A a 是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a 不是集

合 A 的元素 符号表示

a∈A

a?A 列举法 、描述法 、韦恩图. ③集合的表示法: ④常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示

N

N*

Z

Q

R

2.集合间的基本关系 ①子集:若对?x∈A,都有 x∈B,则 A?B. ②真子集:若 A?B,但?x∈B,且 x?A,则 A ③相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. ④空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. B.

3.集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 图形 表示 意义 集合的交集 集合的补集 全集为U,集合A的 ? UA 补集为_______

A∪B

A∩B

{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} ?UA={x|x∈U且x?A}

4.集合 A 元素的个数为 n 则 n ①A 的子集个数为 2 . ②A 的真子集个数为 2 n ? 1 .

基础自测
2 1. (2012 湖南高考) 设集合 M ? {?1,0,1} ,N ? {x x ? x} ,

则M ?N ?( A. {?1, 0,1}
【答案】B

) B. { 0 , 1} C. {1} D. {0}

【解析】∵ M ? {?1,0,1} , N ? {0,1} , ∴ M ? N ? {0,1} .

2.(2012 广东高考)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6} ,

M ? {1,3,5} ,则 ? M ? ( U
A. {2, 4,6} C. {1, 2, 4}
【答案】A



B. {1,3,5} D.

U

A ? {x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , 3. (2012 门头沟一模) 已知集合
那么满足 B ? A 的集合 B 有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

【答案】D
2 【解析】 A ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {?1,3} ,

B 有 ? , {?1} , {3} , {?1,3} ,共 4 个.

4. (2012 江西高考)若集合 A ? {?1,1} , B ? {0, 2} ,则集 合 {z z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中的元素的个数为( A. 5 【答案】C B. 4 C. 3 D. 2 )

【解析】∵ x ? A, y ? B , ∴当 x ? ?1 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? ?1,1 , 当 x ? 1 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? 1,3 , ∴集合 {z z ? ?1,1,3} ? {?1,1,3} ,共三个元素.

典例剖析
考点1 集合元素的特征

【例 1】 (2012 全国高考) 已知集合 A ? {1,3, m} ,B ? {1, m} ,

A ? B ? A ,则 m ? (
A. 0 或 3 C. 1 或 3

) B. 0 或 3 D. 1 或 3

【答案】B 【解析】∵ A ? B ? A ,∴ B ? A ,∴ m ? 3 或 m ?

m.

若 m ? 3 ,则 A ? {1,3, 3}, B ? {1,3} ,满足 A ? B ? A . 若m ?

m ,解得 m ? 0 或 m ? 1 .

若 m ? 0 ,则 A ? {1,3, 0}, B ? {1, 0} ,满足 A ? B ? A . 若 m ? 1 , A ? {1,3,1}, B ? {1,1}显然不成立, 综上: m ? 0 或 m ? 3 .

【变式】 (2012 厦门质检)设 a, b ? R ,现有三个实数的集合,

b 既可表示为 {1, a ? b, a} ,也可以表示为 {0, , b} ,则 a

b2012 ? a 2011 ? (
A. 1

) B. ?1 C. 2 D. ?2

【答案】C

b 【解析】∵ {1, a ? b, a} ? {0, , b} ,可知 a ? 0 . a

?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 ?b ?b ? ? ∴? ? a ① , 或? ?1 ②, ?a ?a ?b ? 1 ?b ? a ? ?

?a ? ?1 由①得 ? ,符合题意;②无解; ?b ? 1
∴b
2012

? a2011 ? 12012 ? (?1)2011 ? 2 .

考点2 集合与集合的关系

【例2】已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 B ? A , 则实数 a 的所有可能取值的集合为( A. {?1} C. {?1,1} B. {1} D. {?1,0,1} )

【答案】D 【解析】(1)若 a ? 0 时,得 B ? ? ,满足 B ? A ;

? 1? (2)若 a ? 0 时,得 B ? ?? ? . ? a?
1 1 ∵ B ? A ,∴ ? ? ?1 或 ? ? 1 , a a
解得 a ? 1 ,或 a ? ?1 . 故所求实数 a 的值为 0 ,或 1 ,或 ?1 .

【变式】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} ,

B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 且 A ? B ? A , 则实数 m 的取值范围是( ) A. [2, 3] B. (2, 3] C. ( ??,3] D. (2, ??)

【答案】C 【解析】 ∵ A ? B ? A ,∴ B ? A . (1)当 B ? ? 时,则 m ? 1 ? 2m ? 1 , 解得 m ? 2 .

? m ? 1 ? 2m ? 1 ? ?? , (2)当 B ? ? 时,则 ? 2 m ? 1 ? 5 ? m ? 1 ? ?2 ?
解得 2 ? m ? 3 . ∴实数 m 的取值范围是 m ? 3 .

考点3 集合的基本运算

【 例 3 】 2012 肇 庆 二 模 ) 若 集 合 M ? {x | ?2 ? x ? 3} , (

N ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R},则集合 M ? N ? (
A. (?2, ??) B. (?2,3) C. [1,3)

) D. R

【答案】C 【解析】∵ N ? { y | y ? 1} ,∴ M ? N ? [1,3) .

【变式】2012 东莞二模) ( 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | y ? 1 ? x} , 集合 B ? {x 0 ? x ? 2} ,则 (? A) ? B ? ( U A. [1, ??) B. (1, ??) C. [0, ??) ) D. (0, ??)

【答案】D 【解析】∵ A ? (??,1] , ∴ (? A) ? B ? (1, ??) ? (0, 2) ? (0, ??) . U

考点4 新型集合的概念与运算

【例 4】 (2012 揭阳联考)设 A ? B ? {x x ? A ,且 x ? B} , 若 M ? {4,5,6,7,8} , N ? {7,8,9,10} ,则 M ? N ? ( A. {4,5,6,7,8,9,10} C. {4,5, 6,9,10} B. {7,8} D. {4,5,6} )

【答案】D

【变式】(2012 杭州模拟)设 P 、Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P ? Q ? {a ? b a ?P, b ? Q} ,若 P ? {0, 2,5} ,

Q ? {1, 2,6} ,则 P ? Q 中元素的个数为(
A.9 B.8 C.7

) D.6

【答案】B 【 解 析 】 ∵ P ? Q ? {a ? b a ?P, b ? Q} , P ? {0, 2,5} ,

Q ? {1, 2,6} ,
∴当 a ? 0 时, a ? b 的值为 1,2,6; 当 a ? 2 时, a ? b 的值为 3,4,8; 当 a ? 5 时, a ? b 的值为 6,7,11, ∴ P ? Q ? {1, 2,3, 4, 6, 7,8,11} , ∴ P ? Q 中有 8 个元素.

归纳反思
1.注意条件等价转化的运用,如:

A? B ? A ? A ? B , A? B ? A ? B ? A .
2.对于集合问题,首先要认清集合的类型,特别要注意 数集和点集的区分. 3.研究不等式所表示的集合问题,特别要注意是否含端 点的问题.


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