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河北省保定市高阳中学2014届高三上学期第三四次周练 数学试题 Word版含答案


高三数学周练十三
一、选择题: 1.已知集合 M= ? x | 0 ? x ? 3? ,N= ? x || x |? 2? ,则 M∩N=( A. x|1<x<3} { B. x|0<x<3} { C. x|2<x<3} { ) D. ? )

2.要得到函数 y ? sin( A. 向右平移 单位

?
3


? 2 x) 的图像,只需将函数 y ? cos 2 x 的图像(

? ? ? ? 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个 6 12 6 12

x2 y2 ? ? 1 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 3.已知椭圆 25 16
A.5
x

B.7
?x

C.8

D.10

4.函数 f ? x ? ? 2 与 g ? x ? ? ?2 的图像关于 A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称

?x ? y ?1 ? 0 ? 5.如果实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 1 6.二项式 ? 3 x ? B. 0
6

,那么 2x ? y 的最大值为

C. ?2

D. ?3

? ?

1 ? ? 展开式的常数项为 www. x?

A.-540 B.-162 C.162 D.540 AA1 ? 2 , 是侧棱 BB1 中点. 7. 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB=1, 则直线 AA1 与平面 A1 D1 E E 所成角的大小是 o o o o A.30 B.45 C.60 D.90 8.方程 x ? 1 lg( x ? y ? 1) ? 0 所表示的曲线图形是
2 2

y

y x

y

y

O

1

2

x

O

1

2

x

O

1

2

x

9.已知数列 ?a n ?是正项等比数列, ?bn ?是等差数列,且 a 6 ?b 7 ,则一定有 A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a 3 ? a9 ? b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10 D. a3 ? a9 ? b4 ? b10

B

C

D

10.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题:

①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么n与? 相交; ④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

f ( x) ? a x , 且 f '( x ) g ( x ) f ( x ) g '(x, ? ) g ( x) f ( n) f (1) f (?1) 5 15 }( n ? 1, 2,3,?,10 )的前 n 项和大于 的概率是 ? ? . 则有穷数列{ g ( n) g (1) g (?1) 2 16 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 2 x y 12. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交 a b
11. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)、g ( x) 满 足 点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 A.

2 2 ?1 2

B.

5 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

二、填空题: 13.7 位同学中需选派 4 位按一定的顺序参加某演讲比赛,要求甲,乙两人必须参加,那么不 同的安排方法有____________种. 14.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长 1,顶点 A、B、C、D 在半 球的底面内,顶点 A1、B1、C1、D1 在半球球面上,则此半球的体积 . 是 .

a1
a2

a3
a7

a4

15.已知 an ? n ,把数列 {an } 的各项排列成如右侧的三角形状: 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10, 2) ? .

a5

a6

a8

a9

……………………………………

16.在正方体的 8 个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几何图形的 4 个顶点,这些 几何图形是 . (写出所有正确结论的编号) .. .

①梯形;②矩形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体. 三、解答题: 17.已知 tan(a ?

?

(I)求 tan? 的值;

) ? 2,? ? (0, ). 4 2

?

(II)求 sin(2? ?

?
3

)的值.
1 1 , 公比q ? 的等比数列 ,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) , 4 4 4

18.已知数列 {an }是首项为a1 ?

数列 {cn }满足cn ?

3 . bn ? bn ?1

(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 19.某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m, C 为 AB 的中点, B 到 D 的距 离比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计

AB, CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?

A C B

D
地面 20 . 如 图 , 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ⊥ 平 面 A B C D ,

PA ? AD ? 3, AB ? 4 , Q 为棱 PD 上一点,且 DQ ? 2QP .
(Ⅰ)求二面角 Q ? AC ? D 的余弦值; (Ⅱ)求点 C 到平面 PBD 的距离.

????

??? ?

P Q

A C
21.已知函数 f ( x) ?

D

ln x . x

B

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间及其极值; (Ⅱ)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 x( x ? 1) e ?
2 x

x ? ln x 成立. e

22.已知抛物线 x ? 4 y ,过定点 M 0 (0, m)(m ? 0) 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点.
2

(Ⅰ)分别过 A、B 作抛物线的两条切线,A、B 为切点,求证:这两条切线的交点 P( x0 , y0 ) 在 定直线 y ? ?m 上. (Ⅱ)当 m ? 2 时,在抛物线上存在不同的两点 P、Q 关于直线 l 对称,弦长|PQ|中是否存在最 大值?若存在,求其最大值(用 m 表示) ,若不存在,请说明理由.

答案 一、选择题 CDBCA ABDBD CD 二、填空题: 13. 240 三、解答题: 17. (I) tan? ? 14

6? 2

15 83

16.②③④

? 3?4 3 1 . (II) sin(2? ? ) ? 3 10 3
1 4 1 4 1 7 1 1 1 ? ) ? 1? 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1
?C
6 0

18. (Ⅰ) bn ? 3n ? 2 (Ⅱ) Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 19.解:设 BC ? am(a ? 1,4), CD ? bm. 连结 BD. 则



D 中 B
.



(b ?

1 2

2

) ? b2

2 ? a?

2

? a c

b o

s

1 1 a2 ? 4 . ?b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ?
设 t ? a ? 1, t ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2
1 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 4t

则 b ? 2a ?

(t ? 1) 2 ? t

等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4. 答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低. 20. (Ⅰ)二面角 Q ? AC ? D 的余弦值为 21.Ⅰ) f ( x) 的极大值为 f (e) ?

2 29 12 41 . (Ⅱ)点 C 到平面 PBD 的距离为 . 29 41

ln e 1 ? . e e
2 x

(Ⅱ)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 x( x ? 1) e ? 则有 ( x ? 1) e ?
2 x

x ? ln x 成立 e

1 ln x ? e x
1 1 1 2 x ,并且 ( x ? 1) e ? ? 成立,当且仅当 x ? 1 时成 e e e

由(Ⅰ)知, f ( x) 的最大值为 f (e) ? 立, 函数 ( x ? 1) e ?
2 x

1 ln x 的最小值大于等于函数 f ( x) ? 的最大值,但等号不能同时成立. e x

所以,对一切 x ? (0, ??) ,都有 x( x ? 1) 2 e x ? 22.解:(Ⅰ)由 y ?

x ? ln x 成立. e

1 2 1 x ,得 y ' ? x ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 4 2 1 过点 A 的切线方程为: y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 x1 x ? 2( y ? y1 ) 2
同理求得过点 B 的切线方程为: x2 x ? 2( y ? y2 ) ∵直线 PA、PB 过 P( x0 , y0 ) ,∴ x1 x0 ? 2( y0 ? y1 ) , x2 x0 ? 2( y0 ? y2 ) ∴点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在直线 xx0 ? 2( y0 ? y ) 上, ∵直线 AB 过定点 M 0 (0, m) ,∴ 0 ? 2( y0 ? m) ,即 y0 ? ?m. ∴两条切线 PA、PB 的交点 P( x0 , y0 ) 在定直线 y ? ?m 上. ( Ⅱ ) 设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) ,设 直线 l 的 方程为 : y ? kx ? m ,则 直线 PQ 的 方程为:

1 y ?? x?n, k
1 ? 4 ?y ? ? x ? n ? x 2 ? x ? 4n ? 0 , k ? k ? x2 ? 4 y ?

4 ?4? ? x3 ? x4 ? ? , x3 ? x4 ? ?4n , ? ? ? ? ? 16n ? 0 k ?k?
设弦 PQ 的中点 G ( x5 , y5 ) ,则 x5 ?

2



x3 ? x4 2 1 2 ? ? , y5 ? ? x5 ? n ? 2 ? n 2 k k k

∵弦 PQ 的中点 G ( x5 , y5 ) 在直线 l 上, ∴

2 2 2 2 2 ? n ? k ? (? ) ? m ,即 n ? k ? (? ) ? m ? 2 ? m ? 2 ? 2 2 k k k k k
2



2 1 ?4? ②代入①中,得 ? ? ? 16(m ? 2 ? 2 ) ? 0 ? 2 ? m ? 2. k k ?k?



1 ? 1? | PQ |? 1 ? ? ? ? ? | x3 ? x4 |? 1 ? 2 ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 k ? k? 1 1 2 ? 4? ? 4? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 16n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 16( m ? 2 ? 2 ) k k k ? k? ? k? 1 1 ? 1 m ? 3 ? ? m ?1 ? 1 ? 4 ? 4 ? (m ? 3) 2 ? m ? 2 ? 4 ? ? 2 ? ? ?? ? ( ? m ? 2) k k 2 ? ? 2 ? k2 ?k
2 2 2 2

2

由已知 m ? 2 ,当 ?

?m ? 2 ? 0 ? 2 ? m ? 3 时, 弦长|PQ|中不存在最大值. ?m ? 3 ? 0

当 m ? 3 时,这时 m ? 2 ? 即当

1 m?3 ? ? 0 时,弦长|PQ|中的最大值为 2(m ? 1). k2 2

m?3 ,此时,弦长|PQ|中存在最大值, 2


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