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2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科-1

时间:2016-06-03


2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数 学(文科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上, 并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x ?1 ? x ? 1, x ?Z (A) M ? N (B) N ? M

?

?,

则 (D) M ? N ? N

(C) M ? N ? ?0,1?

(2) 已知 ?1 ? i ? i ? a ? b i (a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b 的值为 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(3) 已知等比数列 ?an ? 的公比为 ?

1 a ? a3 ? a5 , 则 1 的值是 2 a2 ? a4 ? a6
(C)

(A)

?2

(B) ?

1 2

1 2

(D) 2 开始

(4) 从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 2 个,组成一个没有重复数字 的两位数,则这个两位数大于 30 的概率是

1 5 3 (C) 5
(A) 一组数是 ? x, ?12? ,则 x 的值为 (A) 27 (C) 243

2 5 4 (D) 5
(B)

x ? 1, y ? 0, n ? 1
n ? n?2 x ? 3x

(5) 执行如图的程序框图,若程序运行中输出的

y ? y ?3
(B) 81 (D) 729 输出 ? x, y ?

n ? 2016?
是 结束



1

? x ? y ? 0, ? (6) 不等式组 ? x ? y ? ?2, 的解集记为 D , 若 ? a, b ? ? D , 则 z ? 2a ? 3b 的最大值是 ? x ? 2 y ? ?2 ?
(A) 1 (B) 4 (C) ?1 (D) ?4

(7) 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,则下列结论中正确的是 4?

(A) 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? (B) 函数 f ? x ? 的图象关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ?
? 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8

(C) 由函数 f ? x ? 的图象向右平移 (D) 函数 f ? x ? 在区间 ?

? ? 5? ? , ? 上单调递增 ?8 8 ?
? 3? x2 y 2 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 点 A ? 2 ? 2 ? ? 在椭 a b ? ?

C: (8) 已知 F 1 , F2 分别是椭圆

C 的离心率是 圆 C 上, AF 1 ? AF 2 ? 4 , 则椭圆
(A)

1 2

(B)

5 4

(C)

2 3

(D)

3 2

(9) 已知球 O 的半径为 R , A, B, C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为

1 R , AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为 2 16 16 64 64 ? ? ? ? (A) (B) (C) (D) 9 3 9 3
* (10) 已知命题 p : ?x ? N , ?

? 1? ?1? x 1? x ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? R , 2 ? 2 ? 2 2 ,则下列 ? 2? ? 3?
(C) p ? ? ?q ? (D)

x

x

命题中为真命题的是 (A) p ? q (B)

? ?p ? ? q

? ?p ? ? ? ?q ?

(11) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 (A) 8 ? 6? (B) 4 ? 6? (C) 4 ? 12? (D) 8 ? 12 ?

2

(12) 设函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 当 x ??0,1? 时,

? 1 3? f ? x ? ? x3 , 则函数 g ? x ? ? cos ?? x ? ? f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的所有零点的和为 ? 2 2?
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考生都必须做答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 曲线 f ? x ? ? 2x2 ? 3x 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 (14) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为

?

?

. .

? , a ? 1, 3 , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? 3
2

?

?

(15) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a2 ? 12 , Sn ? kn ?1(n ?N * ) , 则数列 ? 前 n 项和为 .

?1? ?的 ? Sn ?

(16) 已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x 2 ? y 2 ? ? ( ? 为正常数)上,过点 M 作 双曲线 C 的某一条渐近线的垂线, 垂足为 N , 则O N ?2 M N 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 的最小值为 .

a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 在△ ABC 中, 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C .
(Ⅰ) 求 B 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 3 , A ?

? , 求△ ABC 的面积. 4

3

(18)(本小题满分 12 分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(Ⅰ) 求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ) 利用(Ⅰ)中的回归方程,当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?

参考公式:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx .

(19)(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三角形,

?CMD ? 90? ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点,
连接 OM . (Ⅰ) 求证: OM ∥平面 ABD ; (Ⅱ) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积.

A M B C O D

4

(20)(本小题 12 分)已知动圆 P 的圆心为点 P ,圆 P 过点 F ?1,0 ? 且与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
2 (Ⅱ)若圆 P 与圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 M , N 两点,求 MN 的取值范围. 2

(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ?ax ( x ? R ) . ex

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 且 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x ,求 a 的取值范围.

5

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边 形 , AB 是 圆 O 的 直 径, BC ? CD , AD 的 延长 线 与 BC 的 延 长线 交 于点 E , 过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F . E (Ⅰ)证明: CF 是圆 O 的切线; F (Ⅱ)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长.

D

C B

A

O

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的

参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? , ? (? 为参数 ) .以点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直 ? ? y ? sin ?
? ) ? 2. 4

线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

(Ⅰ)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a . (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ≥ 3 的解集是 R,求实数 a 的最大值.

?

?

6

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同 , 可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时 , 如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一 半; 如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不给分。 3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。选择题不给中间分。 一. 选择题 (1)C (2)B (3)A (4)C (5)B (6)A (7)C (8)D (9)D (10)A (11)A (12)B 二. 填空题 (13) x ? y ? 2 ? 0 三. 解答题 (17)(Ⅰ)解: ∵ 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C , 由正弦定理得, 2b ? ? 2a ? c ? a ? ? 2c ? a ? c , ……………………………………1 分
2

(14) 2

(15)

n 2n ? 1

(16) 2 ?

化简得,a ? c ? b ? ac ? 0 .
2 2 2

……………………………………………………2 分

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ?ac 1 ? ? ? . …………………………………………………4 分 2ac 2ac 2

∵0 ? B ? ?, ∴B ?

2? . 3

……………………………………………………5 分

(Ⅱ)解:∵ A ?

? ? 2? ? ? ? ? . …………………………………6 分 , ∴C ? ? ? ? 4 4 3 3 4

∴ sin C ? sin ?

? ? ? ? 6? 2 ?? ?? . ? ? ? sin cos ? cos sin ? 3 4 3 4 4 ?3 4?

…………8 分

由正弦定理得,

c b ? , ……………………………………………………9 分 sin C sin B
2? b sin C 6? 2 ? , ∴c ? . 3 sin B 2

∵b ? 3 , B ?

……………………………10 分

∴△ ABC 的面积 S ?

? 3? 3 1 1 6? 2 bc sin A ? ? 3 ? ? sin ? . ………12 分 4 2 2 2 4
7

(18)(Ⅰ)解:由所给数据计算得

x?

1 ? 2? 5 ? 30 ? , ………………………………………………1 20 分 ?1 0 ? 1 5? 2 0 5 1 y ? ?1 1 ? 1 0? 8? 6?? 5 ? , 8 ……………………………………………………2 分 5
5 2 2 2 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1 5 i ?1 i i

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 , ……………………………3 分

? ??5 ? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?1 0? 3 ?

? 2 ? 0 ? 0 ??5 ?? ? 2 ? 80 ?1 0?? ?3 . ? ?
………………………………………4 分

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . ………………………………………6 分 250

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 .
所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ? 14.4 .

………………………………………8 分 ………………………………………9 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 .……………………………11 分 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg. …………………12 分
? (19)(Ⅰ)证明:∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,点 O 为 CD 的中点,

∴ OM ? CD . ………………………………………1 分 ? CMD BCD CMD ? ∵ 平面 平面 ,平面 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD , A ∴ OM ? 平面 BCD .………………………………2 分 ∵ AB ? 平面 BCD , M ∴ OM ∥ AB .………………………………………3 分 ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , B D H ∴ OM ∥平面 ABD .………………………………4 分 O (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , C ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H , ∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB . ………………………………………6 分 ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面 ABD . ………………………………………7 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,
? ∴ BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60 ?

3 .………………………………9 分 2

8

∴ VA? BDM ? VM ? ABD

………………………………………10 分 ………………………………………11 分

1 1 ? ? ? AB ? BD ? OH 3 2

1 1 3 3 . ? ? ? 2? 2? ? 3 2 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

解法 2: 由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形, ∴ BD ? 2 , OD ? 1 . ………………………………………6 分 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? BD ? sin 60 ? 3 . ……………………………7 分 ∴ VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO ………………………………………10 分 ………………………………………11 分
?

1 1 ? ? ? OD ? OB ? AB 3 2

1 1 3 . ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 2 3
∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

………………………………………12 分

(20)(Ⅰ)解法 1:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于点 P 到直线 l 的距离, ………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………3 分

解法 2:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,依题意,得 PF ? x ? 1 , ………………………1 分 ∴

? x ?1?
2

2

? y2 ? x ?1 .

………………………………………2 分

化简得 y ? 4 x . ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………3 分

(Ⅱ) (Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,则圆 P 的半径为 r ? x0 ? 1 .………………………4 分 ∴圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? x0 ? 1? . ① ………………………5 分
2 2 2 2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 , ② 2

9

2 ① ? ②得直线 MN 的方程为 2 ?1 ? x0 ? x ? 2 y0 y ? y0 ? 2x0 ?1 ? 0 . …………6 分

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y 2 ? 4x 上,
2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .
2 2 ?1 ? x0 ? ? y0 ? 2 x0 ? 1

∴点 F 到直线 MN 的距离为 d ?

4 ?1 ? x0 ? ? 4 y
2

2 0

?

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

……………………………………7 分
2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 , 2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

…………………8 分

? 2 1?

1 4 ?1 ? x0 ? ? 16 x0
2
2

? 2 1?

1 4 ? x0 ? 1?
2

.

…………………9 分

∵ x0 ? 0 ,

∴ ? x0 ? 1? ? 1

.∴ 0 ?

1 4 ? x0 ? 1?
2

?

1 . …………………10 分 4



3 1 ? 1? ? 1 . ………………………………………………………11 分 2 4 4 ? x0 ? 1?
∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .………………………12 分

∴ 3 ? MN ? 2 .

?

?

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 F 到直线 MN 的距离为 d , 则点 P 到直线 MN 的距离为 PF ? d .
2

……………………………………4 分

2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 ,圆 P 的半径为 PF ,

∴ MN ? 2 1 ? d 2 ? 2 PF ? PF ? d ∴ 1 ? d ? PF ? PF ? d
2 2

2

?

?

2

. .

……………………………5 分 …………………6 分

?

1 ? ,化简得 d ? 2 PF
2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1 4 PF
2

.

……………………………………7 分
2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2

∴ PF

2

2 ? ? x0 ? 1? ? y0 2

…………………………………………………8 分
10

2 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? 4x0 ? ? x0 ? 1? ? 1 .
2

……………………………………………9 分

∴0 ?

1 4 PF
2

?

1 . 4

………………………………………………………10 分



3 1 ? 1? ? 1. 2 4 4 PF

………………………………………………………11 分 ∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .………………………12 分

∴ 3 ? MN ? 2 .

?

?

(21)(Ⅰ)解:∵当 a ? ?2 时, f ? x ? ? ∴ f ?? x? ? ?

1 ? 2x , ex

1 ?2. ………………………………………………1 分 ex 1 1 令 f ? ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln ? ? ln 2 . ………………………2 分 e 2
当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 . ………………3 分

∴函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ? ln 2? ,递增区间为 ? ? ln 2, ??? .……4 分 (Ⅱ)解法 1:当 x ? 1 时, f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 .(*) x e e
………5 分

令 g ? x ? ? ln x ?

1 1 1 ? ax ? a ? 0? ,则 g ? ? x ? ? ? x ? a ? 0 , x e x e
1 e

∴函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.∴ g ? x ? ? g ?1? ? ? ? a .………………6 分

1 1 ? a ? 0 , 得 a ? .……………………………………………7 分 e e 1 下面证明若 a ? 时,对 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? ln x 也成立. e
要使(*)成立,则 ? 当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 . x e e

而 ln x ?

1 1 1 ? ax ? ln x ? x ? x .(**) ………………………………………8 分 x e e e
1 1 1 1 1 ? x ,则 h? ? x ? ? ? x ? , x e e x e e

令 h ? x ? ? ln x ? 再令 ? ? x ? ?

1 1 1 1 1 x2 ? ex ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe

11

由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ?
2 x

x2 ? ex ? 0 . ……………………9 分 x 2e x

∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减.

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . ………………………10 分 e e e 1 1 ∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增.∴ h ? x ? ? h ?1? ? ? ? 0 ………………………11 分 e e
∴ ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? 由(**)式 ln x ?

1 1 1 ? ax ? ln x ? x ? x ? 0 . x e e e

综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? ………………12 分 解法 2: f ? x ? ? ln x 等价于

?1 ?e

? ?

1 1 ? ax ? ln x ,即 ax ? x ? ln x .(*) x e e

?1 ? ln x, x ? 1, ? 1 ? ex 令 g ? x ? ? x ? ln x ? ? …………………………………5 分 1 e ? ? ln x, 0 ? x ? 1. ? ? ex
当 x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? ? x ? ? 0 . x e e x
1 . …………………6 分 e

∴函数 g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. ∴ g ? x ? ? g ?1? ? 当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ?

1 1 1 ex ? x ? ? ln x g x ? ? ? ? ?0. , 则 ? ? ex ex x xe x

∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增.∴ g ? x ? ? g ?1? ? 下面证明,当 a ?

1 . ……………………7 分 e

1 时, (*)式成立: e 1 ① 当 x ? 1 时, ax ? ? g ? x ? , (*)式成立. ……………………………………8 分 e 1 1 1 1 1 1 ② 当 0 ? x ? 1 时,由于 ax ? x ,令 h ? x ? ? ln x ? x ? x ,则 h? ? x ? ? ? x ? , e e x e e e

1 1 1 1 1 x2 ? ex ? 再令 ? ? x ? ? ? x ? ,则 ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe
由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ?
2 x

x2 ? ex ? 0 .……………………9 分 x 2e x

12

∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ∴ ? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? ∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增.∴ h ? x ? ? h ?1? ? ∴ ln x ? ∴ ln x ?

1 1 2 ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . e e e

1 1 ? ? 0 .………………10 分 e e

1 1 ? x ?0. ex e

………………………………………………11 分

1 1 ?1 ? ? x ? ax ,即(*)式成立.综上所述, 所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? ………12 分 x e e ?e ?

(22)(Ⅰ)证明: 连接 OC , AC ,∵ BC ? CD ,∴ ?CAB ? ?CAD .………1 分 E ∵ AB 是圆 O 的直径,∴ OC ? OA . F ∴ ?CAB ? ?ACO . …………………………2 分 D C ∴ ?CAD ? ?ACO . ∴ AE ∥ OC . ………………………………3 分 A B ∵ CF ? AE , O ∴ CF ? OC . ………………………4 分 ∴ CF 是圆 O 的切线. ………………5 分
? (Ⅱ)解:∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ACB ? 90 ,即 AC ? BE .

∵ ?CAB ? ?CAD ,∴ 点 C 为 BE 的中点. ∴ BC ? CE ? CD ? 4 .……………6 分 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 . …………………………………7 分 得 ED ?

32 . 9

…………………………………8 分

在△ CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点.∴ DF ?
2

16 . ………9 分 9

4 65 ? 16 ? 在 Rt△ CFD 中, CF ? CD ? DF ? 4 ? ? ? ? .……………10 分 9 ?9?
2 2 2

∴ CF 的长为

4 65 . 9

(23) (Ⅰ)由 ?

? x ? 3 cos ? , x 2 x2 ? ? y 2 ? 1,∴曲线 C 的直角坐标方程为 ? y 2 ? 1. (2 分) 得 3 3 ? ? y ? sin ? ,
? ? ?? ? ) ? 2 ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ,……………3 分 4 4 4? ?
…………………………………4 分 ……………………5 分

由 ? sin(? ?

化简得, ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,

∴ x ? y ? 2 . ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 .

(Ⅱ)解法 1:由于点 Q 是曲线 C 上的点,则可设点 Q 的坐标为
13

?

3 cos ? ,sin ? , …6 分

?

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

…………………………7 分

?? ? 2cos ? ? ? ? ? 2 6? ? .…………………………………8 分 ? 2
当 cos ? ? ?

? ?

??

4 ? 2 2 . …………………………………9 分 ? ? ?1 时, d max ? 6? 2
…………………………………10 分

∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 .

解法 2:设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为 x ? y ? m ,

? x ? y ? m, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 3 ? 0 , ………………………6 分 2 ? ? y ? 1, ?3
令 ? ? ? 6m ? ? 4 ? 4 ? 3m ? 3 ? 0 ,
2 2

?

?

…………………………………7 分 …………………………………8 分

解得 m ? ?2 .

∴直线 l ? 的方程为 x ? y ? ?2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ∴两条平行直线 l 与 l ? 之间的距离为 d ?

2?2 2

? 2 2 .………………………9 分

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . (24)(Ⅰ)解:由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,

…………………………………10 分 …………………………………1 分

① 当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,解得 x ? 4 . ………………………………2 分 ② 当 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? 2 ? x ? 7 ,无解. …………………………………3 分 ③ 当 x ? 1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 解得 x ? ?3 . ……………………………4 分 ∴函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?3? ? ? 4, ??? . (Ⅱ)解:不等式 f ( x) ? 3 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , …………………………………5 分 …………………………………6 分

∵ x ?R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 ,…………………………8 分 又不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 的解集是 R, ∴ a ? 8 ? 3 ,即 a ? ?5 . ……………………………………………………………9 分 ∴ a 的最大值为 ?5 . …………………………………………………………10 分

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