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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用

时间:2013-07-16


第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用
一、选择题 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c, 则 c· (a+2b)=( A.4 C.2 ) B.3 D.0 )

2.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 C. π 4 π B. 6 3π D. 4 )

3.已知 a=(1,2),b=(x,4)且 a· b=10,则|a-b|=( A.- 10 C.- 5 B.10 D. 5

4. a, c 均为单位向量, a· 若 b, 且 b=0, (a-c)· (b-c)≤0, a+b-c|的最大值为( 则| A. 2-1 C. 2 B.1 D.2

)

5.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题 2π p1:|a+b|>1?θ∈[0, ) 3 π p3:|a-b|>1?θ∈[0, ) 3 其中的真命题是( A.p1,p4 C.p2,p3 ) B.p1,p3 D.p2,p4 2π p2:|a+b|>1?θ∈( ,π] 3 π p4:|a-b|>1?θ∈( ,π] 3

1 1 6.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x3+ |a|x2+a· 在 R 上有极值,则 a 与 b bx 3 2 的夹角范围为( π A.(0, ) 6 π C.( ,π] 3 二、填空题 π 7.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1 =e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·2 b 3 =________. ) π B.( ,π] 6 π 2π D.( , ] 3 3

8.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. 9.已知|a|=|b|=2,(a+2b)· -b)=-2,则 a 与 b 的夹角为____. (a 三、解答题 10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥ a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

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11.设 a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2). (1)求证:(a-b)⊥(a-c); (2)求|a|的最大值,并求此时 x 的值.

AC = CA · =k(k∈ CB 12.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.若 AB ·
R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值.

? ??? ??? ?

??? ??? ? ?

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详解答案
一、选择题 1.解析:由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c, 则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 答案:D
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?2a+b?· ?a-b? 9 2.解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则 cos〈2a+b,a-b〉= = |2a+b|· |a-b| 3 2×3 = 2 π ,故夹角为 . 2 4 答案:C 3.解析:因为 a· b=10,所以 x+8=10,x=2,所以 a-b=(-1,-2),故|a-b|= 5. 答案:D 4.解析:由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a· b=0,及 (a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)· 2=1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+ c≥c 2a· b-2a· c-2b· c, 所以有|a+b-c|2=3-2(a· c+b· c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案:B 5. 解析:由|a+b|> 1 可得:a2+2a· b+b 2>1,∵|a|=1, 1 2π 2π 1 |b|=1,∴a· b>- .故 θ∈[0, ).当 θ∈[0, )时,a· b>- ,|a+b|2=a2+2a· 2>1, b+b 2 3 3 2 即|a+b|>1;由|a-b|>1 可得:a2-2a· 2>1,∵|a |=1,|b|=1, b+b 1 π ∴a· .故 θ∈( ,π],反之也成立. b< 2 3 答案:A 1 1 6.解析:f(x)= x3+ |a|x2+a· 在 R 上有极值,即 f′(x)=x2+|a|x+a· bx b=0 有两个不 3 2 同的实数解, 1 故 Δ=|a|2-4a· b>0?cos〈a,b〉< ,又〈a,b〉∈[0,π], 2 π 所以〈a,b〉∈( ,π]. 3 答案:C 二、填空题 1 7. 解析: 由题设知|e1|=|e2|=1, e1·2= , 且 e 所以 b1·2=(e1-2e2)· 1+4e2)=3e2-2e1·2 b (3e e 1 2 1 -8e2=3-2× -8=-6 2 2 答案:-6 8.解析:∵a+b 与 ka-b 垂直, ∴(a+b)· (ka-b)=0, 化简得(k-1)(a· b+1)=0,根据 a、b 向量不共线,且均为单位向量得 a· b+1≠0,得 k -1=0,即 k=1.
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答案:1 a· b 2 1 9.解析:由|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,得 a· b=2,cos〈a,b〉= = = , |a||b| 2×2 2 所以〈a ,b〉=60° . π 答案: 3 三、解答题 10.解:(1)设 c=(x,y),由 c∥a 和|c|=2 5可得
?1· ?x=2 ?x=-2 x=0 ? y-2· ? ? ? 2 ,∴? 或? , 2 ? ? ? ?x +y =20 ?y=4 ?y=-4

∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)· (2a-b)=0, 即 2a 2+3a· b-2b2=0. ∴2|a|2+3a· b-2|b|2=0. 5 5 ∴2×5+3a· b-2× =0,∴a· b=- . 4 2 a· b ∴cos θ= = |a||b| 5 - 2

=-1. 5 5· 2

∵θ∈[0,π],∴θ=π. 11.解:(1)证明:a-b=(cos x,1+sin x), a-c=(cos x,sin x-1), (a-b)· (a-c)=(cos x,1+sin x)· x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0. (cos ∴(a-b)⊥( a-c). (2)|a|= = = ?1+cos x?2+?1+sin x?2

3+2?sin x+cos x? π 3+2 2sin?x+ ?≤ 4 3+2 2= 2+1.

π π 当 sin(x+ )=1,即 x= +2kπ(k∈Z)时,|a|有最大值 2+1. 4 4

AC =cbcos A, CA · =bacos C, CB 12.解:(1)∵ AB ·
∴bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C, 即 sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ∴∠A=∠C,即 a=c. 则△ABC 为等腰三角形.

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(2)由(1)知 a=c,由余弦定理,得

? ??? ??? ? b2+c2-a2 b2 AB · =bccos A=bc· 2bc = 2 . AC ? ??? ??? ? b2 AB · =k=2,即 2 =2,解得 b=2. AC


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