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【金版教程】2014届高考数学总复习 第6章 第2讲 一元二次不等式的解法课件 理 新人教A版


第2讲

一元二次不等式的解法

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、
一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设 计求解的程序框图.

1个重要关系 三个二次的关系:一元二次不等式的解集的端点与相应的 一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相 同.

2种必会方法 1. 解一元二次不等式时,首先将不等式标准化,再确定相 应的方程的根,最后根据图象写出解集. 对于Δ<0,Δ=0等特殊

情况的解集要从本质上理解.
2. 解含参的一元二次不等式恒成立问题,一是转化为一元 二次不等式解集为R的情况来解,二是分离参变量,转化为最 值问题去处理.

3项必须防范 1. 二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解 集;不要忘了二次项系数是否为零的情况.

2. 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对
根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行 分类讨论,分类要不重不漏. 3. 在集合的运算、求函数的定义域时,经常用到解一元二 次不等式(组),此时要注意解集端点值的取舍.

课前自主导学

1. 一元二次不等式的解集

“三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2
+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为:

判别式Δ= b2-4ac 二次函数y =ax2+bx+ c (a>0)的图 象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

判别式Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 的根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx + c>0(a>0)

Δ>0 有两相异实根 x=x1或x=x2 ________

Δ=0 有两相同实 根x=x1 ________

Δ<0 无实根

________

ax2+bx + c<0(a>0)

________

________

________

若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.

(1)解下列不等式: ①2x2+5x-3>0 的解集为____________. ②-3x2-2x+8≥0 的解集为____________. (2)解下列不等式: 2x-1 ① ≤0 的解集________. 3x+1 x+1 ② x ≤2 的解集________.

2.一元二次不等式中的恒成立问题 一元二次不等式中的恒成立问题,应结合相应的二次函 数图象和方程根的情况(用判别式),寻找其成立的条件. (1)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 恒成立的等价条件为
?a>0, ? ? ?Δ<0; ?

(2)一元二次不等式 ax2+bx+c<0 恒成立的等价条件为
?a<0, ? ? ?Δ<0; ?

(3)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 解集为?的等价条件为
?a<0, ? ? ?Δ≤0; ?

(4)一元二次不等式 ax2+bx+c≤0 解集为?的等价条件
?a>0, ? 为? ?Δ<0; ?

注意:在题目中没有指明不等式为二次不等式时,若二次

项系数中含有参数,应先对二次项系数为0的情况进行分析,
检验此时是否符合条件.

不等式ax2 +2ax+4≥0恒成立,对一切x的值,求a的取值 范围.

不等式ax2-x+2a<0的解集为?,则a的取值范围________.

b 1. {x|x<x1 或 x>x2} {x∈R|x≠-2a} R {x|x1<x<x2} ? ? 1 4 1 填一填: (1){x|x<-3 或 x> } {x|-2≤x≤ } (2){x|- 2 3 3 1 <x≤2} {x|x<0 或 x≥1}

2.想一想:提示:a=0 时,4≥0 显然成立 a≠0
?a>0 ? 时,? ?Δ≤0 ?



?0<a≤4,综上 a 的值为[0,4]. 2 填一填:[ ,+∞) 提示:依题意可知,问题等价于 4 ax2-x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立,故 a=0 舍去; 当 a≠0 时,要使 ax2-x+2a≥0 恒成立,

即 f(x)=ax2-x+2a 的图象不在 x 轴的下方,
?a>0, ? ∴? ?Δ≤0, ? ?a>0 ? 即? 2 ?1-8a ≤0 ?



2 2 解得 a≥ ,即 a 的取值范围是[ ,+∞). 4 4

核心要点研究

例1

(1)[2012· 湖南高考 ]不等式 x2 -5x+ 6≤0的解集为

________.
x-1 (2)[2012· 重庆高考]不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 A. B.
? 1 ? ?- ,1? ? 2 ? ? 1 ? ?- ,1? ? 2 ?

)

C. D.

? 1? ?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? ? 1? ?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ?

[解析]

(1)(x-2)(x-3)≤0,2≤x≤3,

∴解集为{x|2≤x≤3}.
??x-1??2x+1?≤0, ? x-1 (2)不等式 ≤0 等价于? ?2x+1≠0, 2x+1 ?

1 解得-2<x≤1. [答案] (1){x|2≤x≤3} (2)A

x-1 奇思妙想:本例(2)变为 ≥1,则其解集又如何? 2x+1

x-1 x+2 1 解: -1≥0? ≤0?-2≤x<- 2 ,所以不等 2x+1 2x+1 1 式解集{x|-2≤x<- }. 2

解一元二次不等式的一般步骤:(1)变形,使一端为0且二

次项系数大于0; (2)计算相应的判别式;(3)当Δ≥0时,求出相应
的一元二次方程的根;(4)根据对应二次函数的图象,写出不等 式的解集.

[变式探究] 解下列关于x的不等式: (1)x2-(a2+a)x+a3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

解: (1)原不等式化为(x-a)(x-a2)>0,
①当a2-a>0,即a>1或a<0时, 原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2-a<0,即0<a<1时, 原不等式的解为x<a2或x>a;

③当a2-a=0,即a=0或a=1时, 原不等式的解为x≠a. 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a}

当0<a<1时,不等式解集为{x|x<a2或x>a}
当a=0或a=1时,不等式解集为{x|x≠a}. (2)原不等式化为(ax-1)(x-1)<0. ①当a=0时,其解为x>1;

1 ②当 0<a<1 时,其解为 1<x<a; 1 ③当 a>1 时,其解为a<x<1; ④当 a=1 时,无解; 1 1 ⑤当 a<0 时,不等式化为(x- )(x-1)>0,其解为 x< 或 a a x>1. 综上所述 a=0 时,不等式解集为{x|x>1}

1 0<a<1 时,不等式解集为{x|1<x<a} 1 a>1 时,不等式解集为{x| <x<1} a 1 a<0 时,不等式解集为{x|x<a或 x>1} 当 a=1 时,不等式解集为?.

例2

(1)[2012·福建高考]已知关于x的不等式x2-ax+2a>0

在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.

(2)已知f(x)=x2 -2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,
f(x)≥a恒成立,则a的取值范围是________.

[解析] (1)由Δ=a2-8a<0,得0<a<8. (2)法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴 为x=a.

①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a,恒成立,只需f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1;

②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.

综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].
法二:令g(x)=x2 -2ax+2-a,由已知,得x2 -2ax+2- a≥0在[-1,+∞)上恒成立,

?Δ>0, ? 2 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. ? 解得-3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1].
[答案] (1)(0,8) (2)[-3,1]

奇思妙想:本例(1)条件变为“关于x的不等式x2 -ax+ 2a≤3的解集不是空集”问题不变,该如何解答? 解:原不变式变为x2-ax+2a-3≤0,由Δ≥0,知不等式的 解集不是空集,解得a≥6或a≤2.

1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次

函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应
的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 2.对于恒成立问题,常用到以下两个结论: (1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; (2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

[变式探究] [2013·唐山检测]设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.

解:(1)要 mx2-mx -1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0. 若
?m<0, ? m≠0,? ?Δ=m2+4m<0 ?

?-4<m<0.

∴-4<m≤0.

12 3 (2)要 f(x)<-m+5, 就要使 m(x- ) + m-6<0, x∈[1,3]. 2 4 12 3 方法一 令 g(x)=m(x-2) +4m-6,x∈[1,3], 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, ∴g(x)max=g(3), 6 ∴7m-6<0,得 m< . 7

6 ∴0<m<7. 当 m=0 时,-6<0 恒成立. 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数. ∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6.∴m<0. 6 综上所述,m< . 7 方法二 12 3 ∵x -x+1=(x- ) + >0, 2 4
2

6 又∵m(x -x+1)-6<0,∴m< 2 . x -x+1
2

6 ∵函数 y= 2 = x -x+1 6 ∴只需 m< 即可. 7

6 6 在[1,3]上的最小值为 . 12 3 7 ?x-2? +4

例3

[2012·福州模拟]某商家一月份至五月份累计销售额

达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比
六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份 销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售 总额至少达7000万元,则x的最小值是________.

[审题视点]

解答本题首先表示出一月份到十月份的销售

总额,然后列不等式,解不等式得出结论. [解析] 七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销

售额为500(1+x%)2万元,则一月份到十月份的销售总额是3860
+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]万元,根据题意有3860+ 500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000 即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0,

6 11 解得 t≥5或 t≤- 5 (舍去), 6 故 1+x%≥5,解得 x≥20. 所以 x 的最小值是 20.
[答案] 20

解不等式应用题,一般可按如下四步进行:

(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等
关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题.

[变式探究]

某同学要把自己的计算机接入因特网.现有

两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户
每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后 每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时 计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学 如何选择ISP公司较省钱?

解:假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x x?35-x? 元,公司 B 收取的费用为 元. 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则 x?35-x? >1.5x(0<x<17), 20 整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5,

所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用 少;上网5小时时选择公司A与公司B费用相同,选择哪个公司

都行.超过5小时,选择公司B的费用少.

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 3 [2013· 天津调研]设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈[2,+
2

x ∞),f(m)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值 范围是________.

[规范解答]
2

x2 依据题意得m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-

3 1+4(m -1)在 x∈[ ,+∞)上恒成立, 2 1 3 2 3 2 即 2-4m ≤- 2- +1 在 x∈[ ,+∞)上恒成立. m x x 2 1 3 2 2 即(m2-4m )≤(-x2-x+1)min, 3 3 2 5 当 x=2时函数 y=-x2-x +1 取得最小值 -3,

1 5 2 所以 2-4m ≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, m 3 3 3 解得 m≤- 2 或 m≥ 2 .

[答案]

3 3 (-∞,- 2 ]∪[ 2 ,+∞)

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题把函数问题与恒成立问题巧妙的结合起来,解题时先

把参数分离,从而把恒成立问题转化为函数最值问题.
No.2 步求解: 第一步:整理不等式,分离参数; 角度关键词:模板构建 对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般可根据以下几

第二步:构造函数g(x); 第三步:求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数;

第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步
骤.该题需注意两点:①分离参数时一定要搞清谁是参数;② 求g(x)最值的常用方法有:二次函数、均值不等式、单调性等.

经典演练提能

1.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( 1 A.{x|x≠-3} 1 1 C.{x|-3≤x≤3} 1 B.{-3} D.R

)

答案:B

1 解析:(3x+1) ≤0,∴x=-3,选 B 项.
2

2.[2013· 许昌模拟]若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为{x| 1 -2<x< },则 ab=( 4 A.-28 C.28 ) B.-26 D.26

答案:C
b 7 2 1 解析:∵- =- ,- =- , a 4 a 2 ∴a=4,b=7,ab=28.选 C 项.

3.[2012·重庆高考]设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,

集 合 M = {x∈R|f(g(x))>0} , N = {x∈R|g(x)<2} , 则 M∩N 为
( ) A. (1,+∞) C. (-1,1) 答案:D B. (0,1) D. (-∞,1)

解 析 : 由 f(g(x))>0 得 g2(x) - 4g(x) + 3>0 , 则 g(x)<1 或

g(x)>3,即3x-2<1或3x-2>3,所以x<1或x>log35;由g(x)<2得3x
-2<2,所以x<log34,故M∩N=(-∞,1),故选D.

x2-9 4.[2012· 江西高考]不等式 >0 的解集是________. x-2

答案:{x|-3<x<2或x>3} 解析:原不等式可化为(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用穿针引

线法可得{x|-3<x<2或x>3}.

5.[2013·广州模拟]若关于x的不等式4x -2x + 1 -a≥0在 [1,2]上恒成立,求a的取值范围. 解:由题意知a≤4x-2x+1在[1,2]上恒成立,

令y=4x-2x+1=(2x)2-2·2x+1-1=(2x-1)2-1.
∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4, ∴当2x=2时,y有最小值为0, ∴a的取值范围为(-∞,0].


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