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精选高中数学数列分类典型试题及答案


总复习必须掌握的数列经典解题技巧

精选高中数学数列分类典型试题及答案
【典型例题】
(一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质
n ?1 例题 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3 ? an?1 (n ? 2) .

(1)求 a 2 , a 3 ;

>3n ? 1 an ? 2 . (2)证明:
2 解: (1)? a1 ? 1,? a2 ? 3 ? 1 ? 4, a3 ? 3 ? 4 ? 13 .

(2)证明:由已知 an ? an?1 ? 3

n?1

,故 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 )

? a1 ? 3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 3 ? 1 ?
例题 2. 数列 ? (Ⅰ)求 ?

3n ? 1 3n ? 1 an ? 2 , 所以证得 2 .

an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1(n ? 1)
bn ? 的各项为正, a ? 1 ,2 2 b 3, a 3? b 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b

an ? 的通项公式;

(Ⅱ) 等差数列 ? 成等比数列,求 Tn .

解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) , 两式相减得: an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an (n ? 2) , 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴ an ? 3
n ?1

故?

an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d ,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 ,
2 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2, d 2 ? 10

∵等差数列 ? ∴

bn ? 的各项为正,∴ d ? 0

∴d ?2

Tn ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 2n 2

例题 3. 已知数列 ? ⑴求数列 ?

an ? 的前三项与数列 ?bn ?的前三项对应相同,且 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ...

?2n?1 an ? 8n 对任意的 n ? N* 都成立,数列 bn?1 ? bn 是等差数列.

?

?

an ? 与 ?bn ?的通项公式;

? ⑵是否存在 k ? N ,使得 bk ? ak ? (0,1) ,请说明理由.

2 n ?1 2n?1 an 点拨: (1) a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ... ? 2 an ? 8n 左边相当于是数列 前 n 项和的形式,

?

?

可以联想到已知 Sn 求 an 的方法,当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? an .

第 1 页 共 1 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧 (2)把 bk ? ak 看作一个函数,利用函数的思想方法来研究 bk ? ak 的取值情况.
n ?1 2 解: (1)已知 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ?2 an ? 8n ( n ? N * )①

2 n?2 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ?2 an?1 ? 8(n ? 1) ( n ? N * )②

①-②得, 2

n ?1

4? n an ? 8 ,求得 an ? 2 ,
4 ?1

在①中令 n ? 1 ,可得得 a1 ? 8 ? 2
4? n



所以 an ? 2 ( n ? N*). 由题意 b1 ? 8 , b2 ? 4 , b3 ? 2 ,所以 b2 ? b1 ? ?4 , b3 ? b2 ? ?2 , ∴数列 {bn ?1 ? bn } 的公差为 ? 2 ? (?4) ? 2 , ∴ bn ?1 ? bn

? ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 ,

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?? (bn ? bn?1 )
? (?4) ? (?2) ? ? ? (2n ? 8) ? n 2 ? 7 n ? 14 ( n ? N * ).
2 4?k (2) bk ? ak ? k ? 7 k ? 14 ? 2 ,

7 7 f (k ) ? (k ? ) 2 ? ? 4 ? k 2 4 2 单调递增,且 f (4) ? 1 , 当 k ? 4 时,
所以 k ? 4 时, f (k ) ? k ? 7k ? 14 ? 2 又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,
2

4? k

?1 ,

所以,不存在 k ? N * ,使得 bk ? ak ? (0,1) . 例题 4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列,且 a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项 an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 ① 2 a n+1 = bnbn+1 ②
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∵ an、bn 为正数, 由②得 an?1 ? bn bn?1 , an?2 ? bn?1bn?2 , 代入①并同除以 bn?1 得: 2 bn?1 ? bn ? bn?2 , ∴ { bn } 为等差数列
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∵ b1 = 2 , a2 = 3 ,

2 a2 ? b1b2 , 则b2 ?

9 2 ,

9 2 (n ? 1) 2 ? 2) ? (n ? 1),? bn ? 2 2 2 ∴ , n(n ? 1) a n ? bn bn ?1 ? 2 ∴当 n≥2 时, , n(n ? 1) an ? 2 又 a1 = 1,当 n = 1 时成立, ∴ bn ? 2 ? (n ? 1)(
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2. 研究前 n 项和的性质 例题 5.
n 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? a ? 2 ? b ,且 a1 ? 3 .

第 2 页 共 2 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧 (1)求 a 、 b 的值及数列 {an } 的通项公式; n bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n . (2)设 解: (1) n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2
n?1

n?1

? a .而 {an } 为等比数列,得 a1 ? 21?1 ? a ? a ,

又 a1 ? 3 ,得 a ? 3 ,从而 an ? 3 ? 2 .又? a1 ? 2a ? b ? 3,?b ? ?3 . n n 1 2 3 n bn ? ? Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) n ?1 a 3 ? 2 n 3 2 2 2 (2) ,

1 1 1 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 1 n Tn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ) 2 3 2 2 2 2 2 ) ,得 2 3 2 2 2 2 ,
1 1 ? (1 ? n ) 2 n 4 1 n 2 Tn ? [ ? n ] ? (1 ? n ? n ?1 ) 1 3 1? 2 3 2 2 2 .

例题 6. 数列 {an } 是首项为 1000,公比为 10 的等比数列,数列 {bn } 满足 1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) (k ? N* ) , k (1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n . 解: (1)由题意: an ? 10 的等差数列, ∴
4? n

1

?

,∴ lg an ? 4 ? n ,∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1

lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n bn ? [3n ? ]? 2 ,∴ n 2 2

?bn ? 0 21 ? S6 ? S7 ? b ? 0 {b } n ? 1 ? 6 ? n ? 7 n n 2 . 由 ,得 ,∴数列 的前 项和的最大值为
(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 , 7?n 3? 2 )n ? ? 1 n 2 ? 13 n Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 2 4 4 ∴当 n ? 7 时, 当 n ? 7 时,
2 S n? ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? 2S7 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 4 n ? 4 n ? 21 ? 1 2 13 ? n ? n (n ? 7) ? ? 4 Sn? ? ? 4 1 13 ? n 2 ? n ? 21 (n ? 7) ? 4 ?4 ∴ .

1

13

例题 7. 已知递增的等比数列{ an }满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (1)求{ an }的通项公式 an ; (2)若

bn ? an log 1 an , S ? b ? b ? ? ? b 求使 n 1 2 n
2

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

Sn ? n ? 2n?1 ? 30 成立的 n 的最小值.
解: (1)设等比数列的公比为 q(q>1) ,由

1 a1q+a1q +a1q =28,a1q+a1q =2(a1q +2) ,得:a1=2,q=2 或 a1=32,q= 2
2 3 3 2

(舍)

∴an=2· 2

(n-1)

=2

n

2 (2) ∵ ,∴Sn=-(1· 2+2· 22+3· 23+…+n· 2n) ∴2Sn=-(1· 22+2· 23+…+n· 2n+1) ,∴Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1=-(n-1)· 2n+1-2, 若 Sn+n · 2n+1>30 成立,则 2n+1>32,故 n>4,∴n 的最小值为 5.

bn ? an log 1 an ? ?n ? 2n

* 例题 8. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 ?1, Sn , an?1 成等差数列, n ? N , a1 ? 1 . 函数 f ( x) ? log3 x .

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 满足

bn ?

1 (n ? 3)[ f (an ) ? 2] ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 T ,试比较 n

5 2n ? 5 Tn与 ? 12 312 的大小. 解: (I)? ?1, Sn , an?1 成等差数列,? 2Sn ? an ?1 ? 1 ① 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? an ? 1 ②. a ? n ?1 ? 3. ①-②得: 2(Sn ? Sn?1 ) ? an?1 ? an ,? 3an ? an?1 , an
当 n=1 时,由①得? 2S1 ? 2a1 ? a2 ? 1 , 又 a1 ? 1,

? a2 ? 3,?

a2 ? 3, a1

(II)∵ f ?x ? ? log3 x ,? f (an ) ? log3 an ? log3 3 ? n ? 1 , 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ) (n ? 3)[ f (an ) ? 2] (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3 ,
n ?1

?{an } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列,? an ? 3n?1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 4 3 5 4 6 5 7 n n ? 2 n ?1 n ? 3 2n ? 5 1 1 1 1 1 ? 5 ? ? ( ? ? ? ) 12 2(n ? 2)(n ? 3) , 2 2 3 n?2 n?3 5 2n ? 5 Tn与 ? 12 312 的大小,只需比较 2(n ? 2)(n ? 3) 与 312 的大小即可. 比较
又2(n ? 2)(n ? 3) ? 312 ? 2(n2 ? 5n ? 6 ? 156) ? 2(n2 ? 5n ? 150) ? 2(n ? 15)(n ? 10) 5 2n ? 5 2(n ? 2)(n ? 3) ? 312, 即Tn ? ? ; * * n ? N , 1 ? n ? 9 且 n ? N 12 312 ∵ ∴当 时, 5 2n ? 5 2(n ? 2)(n ? 3) ? 312,即Tn ? ? ; 12 312 当 n ? 10 时, 5 2n ? 5 2(n ? 2)(n ? 3) ? 312,即Tn ? ? * n ? 10 且 n ? N 12 312 . 当 时,
3. 研究生成数列的性质
第 4 页 共 4 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧
n n 例题 9. (I) 已知数列 ?c n ?,其中 cn ? 2 ? 3 ,且数列 ?cn ?1 ? pcn ?为等比数列,求常数 p; (II) 设 ?a n ?、 ?bn ?是公比不相等的两个等比数列, cn ? a n ? bn ,证明数列 ?c n ?不是

等比数列. 解: (Ⅰ)因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有 (cn+1-pcn)2=( cn+2-pcn+1) (cn-pcn-1) , n n 将 cn=2 +3 代入上式,得 + + [2n 1+3n 1-p(2n+3n)]2 + + - - =[2n 2+3n 2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n 1+3n 1)], 即[(2-p)2n+(3-p)3n]2 - - =[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1],

1 整理得 6 (2-p) (3-p)· 2n· 3n=0,
解得 p=2 或 p=3. (Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为 p、q,p≠q,cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证 c2 ≠c1· c3. 事实上, c2 =(a1p+b1q)2= a1 p2+ b1 q2+2a1b1pq, c1· c3=(a1+b1) (a1 p2+b1q2)= a1 p2+ b1 q2+a1b1(p2+q2). 2 由于 p≠q,p +q2>2pq,又 a1、b1 不为零, 因此 c2 ? c1· c3,故{cn}不是等比数列.
2
2 2 2 2 2 2

例题 10. n2( n≥4)个正数排成 n 行 n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成

1 3 a 42 ? , a 43 ? 8 16 等比数列,并且所有公比相等 已知 a24=1,
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求 S=a11 + a22 + a33 + ? + ann

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解: 设数列{ a1k }的公差为 d, 数列{ aik }(i=1,2,3,?,n)的公比为 q 则 a1k = a11 + (k-1)d , akk = [a11 + (k-1)d]qk
-1
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? ?a 24 ? (a11 ? 3d )q ? 1 ? 1 ? 3 ?a 42 ? (a11 ? d )q ? 8 ? 3 ? 1 a 43 ? (a11 ? 2d )q 3 ? ? 16 ,解得:a11 = d = q = ± 2 依题意得: ?
又 n 个数都是正数,
2

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1 k k ∴a11 = d = q = 2 , ∴akk = 2

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S ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? ? ? n ? n 2 2 2 2 , 1 1 1 1 1 S ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 ,
第 5 页 共 5 页

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两式相减得:

S ? 2?

1 2
n ?1

?

n 2n

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例 题 11. 已 知 函 数 f ( x) ? log3 (ax ? b) 的 图 象 经 过 点 A(2,1) 和 B(5,2) , 记

an ? 3 f ( n ) ,n ? N *. (1)求数列 {an } 的通项公式;
an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 2n (2)设 ,若 Tn ? m(m ? Z ) ,求 m 的最小值; 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ? p 2n ? 1 a1 a2 an (3)求使不等式 对一切 n ? N * 均成立的最大 实数 p . bn ?

?log3 (2a ? b) ? 1 ?a ? 2 ? ? 解: (1)由题意得 ?log3 (5a ? b) ? 2 ,解得 ?b ? ?1 ,
? f ( x) ? log3 (2x ? 1) an ? 3l o 3g(2n?1) ? 2n ?1, n ? N * 2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 bn ? ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n n 2 , 2 2 2 2 2 (2)由(1)得 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n?1 2 2 2 2 2 2n 2 ② ①-②得
1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 ? ? n ?1 ? n ?1 ? Tn ? 3 ? n ? 2 ? ? 3? 2 2 2 2n 2n , 2 2 .



2n ? 3 ,n? N* n 2 设 ,则由 2n ? 5 n ?1 f (n ? 1) 2n ? 5 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 2 n ? 3 f ( n) 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2 5 n 2 2n ? 3 f ( n) ? ,n? N* n 2 得 随 n 的增大而减小 f ( n) ?
?当n ? ?? 时, Tn ? 3 又 Tn ? m(m ? Z ) 恒成立,? mmin ? 3 1 1 1 1 p? (1 ? )(1 ? )?(1 ? )对n ? N * a1 a2 an 2n ? 1 (3)由题意得 恒成立

F (n) ?


1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) a1 a2 an ,则 2n ? 1

第 6 页 共 6 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧

F(n ? 1) ? F(n ) ?

1 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) a1 a2 an a n ?1 2n ? 3 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1 (1 ? ? 2(n ? 1) 4(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ?

1

2n ? 2 (2n ? 1)( 2n ? 3)

2?n ? 1? ?1 2?n ? 1?

? F (n) ? 0,? F (n ? 1) ? F (n),即F (n) 是随 n 的增大而增大
F (n) 的最小值为

F (1) ?

2 2 2 3 ?p? 3 p max ? 3 3 3 3 , ,即 .

(二)证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.
* 例题 12. 数列 {an } 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N . ⑴求数列 {an } 的通项公式;

⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ; 1 * * ⑶设 b n = n(12 ? an ) (n ? N ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N ) ,是否存在最大的整数 m ,使得

m * T ? n ? N 32 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 对任意 ,均有 n
解: (1)由题意, an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列,设公差为 d , 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |

? a1 ? a2 ? ? ? an ?

n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an
? S5 ? (Sn ? S5 ) ? 2S5 ? Sn ? n2 ? 9n ? 40
2 ? ?9n ? n n?5 Sn ? ? 2 ? n ? 9 n ? 40 n?6 ? 故 1 1 1 1 1 ? bn ? ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 , (3)

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n2 , 2

n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? . ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ( ? )] 2(n ? 1) 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 ? Tn 2 m n m Tn ? ? * * 32 对任意 n ? N 成立,即 n ? 1 16 对任意 n ? N 成立, 若

?

1 m 1 n ? ? , (n ? N* ) 2 n ?1 的最小值是 , 16 2 ? m 的最大整数值是 7. m Tn ? . * m ? 7 , n ? N 32 即存在最大整数 使对任意 ,均有

a 例题 13. 已知等比数列 {bn } 与数列 {an } 满足 bn ? 3 n , n ? N*.

第 7 页 共 7 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧 (1)判断 {an } 是何种数列,并给出证明; (2)若 a8 ? a13 ? m, 求b1b2 ?b20 .

a 解: (1)设 {bn } 的公比为 q,∵ bn ? 3 n ,∴ 3a1 ? q n ?1 ? 3a n ? a n ? a 1 ? ?n ? 1? log3 q 。 所以 {an } 是以 log 3 q 为公差的等差数列. (2)∵ a8 ? a13 ? m, 所以由等差数列性质可得 a1 ? a20 ? a8 ? a13 ? m,

a1 ? a2 ? a3 ? ?

?a20 ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 10m ? b1b2 ?b20 ? 3( a1 ?a2 ???a 20 ) ? 310m 2

2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题 14. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? 1 , a2 ? 2 ,an ? 0 ,bn ? an an?1 ( n ? N * ) , 且 {bn } 是以 q 为公比的等比数列. (I)证明: an?2 ? an q ;
2

(II)若 cn ? a2 n?1 ? 2a2 n ,证明:数列 {cn } 是等比数列; 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? a2 n ?1 a2 n . (III)求和: a1 a2 a3 a4

an ?1an ? 2 an ? 2 bn ?1 ? ?q ?q 2 a a a b n n n ?1 解法 1: (I)证:由 n ,有 ,∴ a n ?2 ? a n q ?n ? N *? .
2 (II)证:∵ a n ? a n ?2 q ,

?a2n?1 ? a2n?3q2 ? ? ? a1q2n?2 , a 2n ? a 2n ?2 q 2 ? ...? a 2 q 2n ?2 ,

??cn ? 是首项为 5,公比为 q2 的等比数列.

?cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1q2n?2 ? 2a2 q2n?2 ? (a1 ? 2a2 )q2n?2 ? 5q2n?2 .

1 1 1 1 ? q 2?2 n ? 2 q 2? 2 n 2n a a 1 a (III)解:由(II)得 2 n ?1 ,a ,于是

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? ??? ) ? ( ? ??? ) a1 a2 a2 n a1 a3 a2 n ?1 a2 a4 a2 n
? 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ) a1 q q q a2 q q q

3 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 n ? 2 ) 2 q q q .

1 1 1 3 1 1 1 ? ?? ? ? (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ) ? 3 n a2 n 2 q q q 2 . 当 q ? 1 时, a1 a2
1 1 1 3 1 1 1 ? ?? ? ? (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ) a a a 2 q q q 2 2n 当 q ? 1 时, 1

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

3 1 ? q ?2 n 3 q2n ? 1 ? ( ) ? [ 2n?2 2 ] ?2 2 1? q 2 q (q ? 1) .
?3 n, q ? 1, 1 1 1 ? ?2 ? ?? ? ?? q 2n ? 1 a1 a2 a2 n ? ? [ 2n?2 2 ],q ? 1. ? ( q ? 1) ?? q 故

解法 2: (I)同解法 1(I).

cn ?1 a2 n ?1 ? 2a2 n ? 2 q 2 a2 n ?1 ? 2q 2 a2 n ? ? ? q 2 ( n ? N* ) c a ? 2 a a ? 2 a 2 n ?1 2n 2 n ?1 2n (II)证: n ,又 c1 ? a1 ? 2a2 ? 5 ,

??cn ? 是首项为 5,公比为 q2 的等比数列.
(III)由解法 1 中(II)的类似方法得 a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 )q a ? a2 n a ? a2 a3 ? a4 1 1 1 ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? 2 n ?1 a1 a2 a2 n a1a2 a3 a4 a2 n ?1a2 n ,
2n?2

? 3q2n?2 ,

?

a2 k ?1 ? a2 k 3q 2 k ? 2 3 ?2 k ? 2 ? 4k ?4 ? q a2 k ?1a2 k 2q 2 2, ?,n . , k ? 1,

1 1 ... 1 3 ? ? ? ? 1 ? q ? 2 ? ... ? q ?2 n ? 2 a a a 2 2 2n ∴ 1 .
例题 15. 设数列 {an }的前n项和为S n , 且S n ? (1 ? ? ) ? ?an , 其中? ? ?1,0 (1)证明:数列 (2)设数列 求数列

?

?

{an } 是等比数列;

{an } 的公比 q ? f (? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? ,b =f (b ) , n n-1 (n∈N*,n≥2)

{bn } 的通项公式;

1 ? 1) ,求数列 {Cn } 的前 n 项和Tn. bn (1)证明:由 Sn ? (1 ? ? ) ? ? an ? Sn?1 ? (1 ? ? ) ? ? an?1 (n ? 2) an ? ? (n ? 2), ∴数列 {an } 是等比数列 相减得: an ? ?? an ? ? an ?1 ,? an ?1 1 ? ?
(3)设 ? ? 1 , Cn ? an ( (2)解:

1 1 1 ?{ } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的等差数列,∴ ? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1 . ?bn ? 1 . b1 bn bn n ?1 1 n ?1 1 1 n ?1 (3)解: ? ? 1 时 , an ? ( ) ,? Cn ? an ( ? 1) ? ( ) n 2 bn 2

1 1 1 ?Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( )2 ? ? ? n( )n?1 ① 2 2 2
第 9 页 共 9 页

总复习必须掌握的数列经典解题技巧 ② ①-②得:
n ? ? 1 ?n ? 1 ?1? Tn ? 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? 2 ?2? ? ? ?2? ? ? ∴

所以: Tn ? 4(1 ? ( )n ) ? 2n( )n .

1 2

1 2

例题 16. ?OBC 的各个顶点分别为 (0,0),(1,0),(0, 2) ,设 P1 为线段 BC 的中点, P2 为线段 OC 的中点, P3 为线段 OP 1 的中点. 对每一个正整数 n, P n ? 3 为线段 P nP n ?1 的中点. 令 P n 的坐标 为 ( xn , yn ) , an ?

1 yn ? yn?1 ? yn? 2 . 2

(1)求

a1 , a2 , a3 及 an ,(n ? N? ) ;

yn ,(n ? N? ) 4 ? (3)记 bn ? y4n ?4 ? y4n ,(n ? N ) ,证明: {bn } 是等比数列. 1 3 (1)解:因为 y1=y2=y4=1, y3= ,y5= ,所以 得 a1=a2=a3=2. 2 4 y ? yn?1 又由 yn ?3 ? n ,对任意的正整数 n 有 2 y ? yn?1 1 1 1 an+1= yn?1 ? yn?2 ? yn?3 = yn?1 ? yn? 2 ? n = yn ? yn?1 ? yn? 2 =an 2 2 2 2
(2)证明: yn? 4 ? 1 ? 恒成立,且 a1=2, (2)证明:根据 yn? 4 所以{an}为常数数列, an=2, (n 为正整数) y yn?1 ? yn? 2 1 ? , 及 yn ? yn?1 ? yn?2 =an=2, 易证得 yn+4=1- n 2 4 2

(3)证明:因为 bn+1= y 4 n ?8 ? y 4 n ? 4 =(1- 又由 b1= y 8 ? y 4 =1-

y4 n ? 4 y 1 )-(1- 4 n )= ? bn , 4 4 4

y4 1 ? y4= ? , 4 4 1 1 ? ? 所以{bn}是首项为 4 ,公比为 4 的等比数列.
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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

【模拟试题】
一、填空题 1. 在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于= 2. 已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ? . 3. 首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是
2

. .

4. 在等比数列 {an } 中, a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a 2 a 4 a6 的值为 . 5. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n= . 6. 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项的和为 100, 求它的前 3m 项的和为________

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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An 7 n ? 45 a 7 ? n ? 3 , b7 = 7. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 Bn an ,若 b n 为正整数,n 的取值个数为___________。
8.

a1 ? * a 9 ,则 a36 ? 已知数列 ? n ? 对于任意 p,q ? N ,有 a p ? aq ? a p?q ,若

1

.

9. 记数列 {an } 所有项的和为 S (1) ,第二项及以后各项的和为 S ( 2 ) ,第三项及以后各项的

S(3) ? ,? 2 , 和为 S (3) ,? ,第 n 项及以后各项的和为 S ( n ) ,若 S(1) ? 2 , S ( 2) ? 1,
S( n ) ? 1 2
n?2

1

,?

,则 an 等于

.

10. 等差数列 {an } 共有 2n ? 1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项 为_____.
2 11. 等差数列 {an } 中, an ? 0 ,若 m ? 1 且 am?1 ? am ? am?1 ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m 的值 为 .

12. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和. 已知 S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 . 13. 已知函数 f ( x) 定义在正整数集上,且对于任意的正整数 x ,都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? f ( x) ,且 f (1) ? 2, f (3) ? 6 ,则 f (2005) ? __ __. 14. 三个数 a , b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m(m ? 0) ,则 b 的取值范围是 15. 等差数列 {an } 中,前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 4, S9 ? 0 . (1)若 an ? Sn ? ?10 ,求 n (2) 设 bn ? 2
an

.

,求使不等式 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2007 的最小正整数 n 的值.

点拨:在等差数列中 a n , S n , n, d 知道其中三个就可以求出另外一个,由已知可以求出首 项 a 1 与公差 d ,把 an , S n 分别用首项 a 1 与公差 d ,表示即可. 对于求和公式 Sn ?

n(a1 ? an ) , 2

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

n(n ? 1) d 采用哪一个都可以,但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更 2 简单一些. 例如:已知 a9 ? 0, a10 ? 0, a9 ? a10 ? 0, 判断 S17 , S18 , S20 的正负. 问题 2 在思考时要注 Sn ? na1 ?
意加了绝对值时负项变正时,新的数列首项是多少,一共有多少项. 16. 等差数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 . (I)求数列{ an }的通项 an 与前 n 项和为 Sn ; (II)设

bn ?

Sn * n (n?N ) ,求证:数列{ bn }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ?, P n ( xn , yn ) ? ,对一切正整数 n,点 Pn 位 17. 在直角坐标平面上有一点列 P

于函数

y ? 3x ?

5 13 ? P 4 的图象上,且 n 的横坐标构成以 2 为首项, ?1为公差的等差数列 {xn } .

⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c n 的
2 顶 点 为 Pn , 且 过 点 Dn (0, n ? 1) , 设 与 抛 物 线 c n 相 切 于 Dn 的 直 线 的 斜 率 为 k n , 求 : 1 1 1 ? ?? ? k1k2 k2 k3 kn ?1kn .

xn n , ?N n ,? ⑶ 设 S ? ?x | x ? 2

?1T ,? ? y

y? | yn 4 n ? ,? , 1等 差 数 列 { an } 的 任 一 项

an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an }的通项公式.
* 18. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ) ,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 满足 4 数列.
b1 ?1 b2 ?1

4

?4bn ?1 ? (a n ?1)bn (n ? N* ) (n∈N*) ,证明: ?bn ? 是等差

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

【试题答案】
1. 42

n(5n ? 1) 2 2. 8 ( ,3] 3. 3 ?
4. ?5 5 5. 10 6. 210 7. 8.5;5 个

解法一:点拨 利用等差数列的求和公式 “若 2m ? p ? q, m, p, q ? N ,则
?

Sn ?

(a1 ? an )n 2 及等差数列的性质


am ?

a p ? aq 2

( a1 ? a13 ) ? 13 A13 17 2 a 7 (b ? b ) ? 13 ? B ? 2 1 13 13 2 解析: b7 =
解法 2: 点拨 利用“若{ an }为等差数列,那么 S n ? an ? bn ”这个结论,根据条件
2

找出 an 和 b n 的通项. 解析:可设 An ? kn(7n ? 45) , Bn ? kn(n ? 3) ,则 an ? An ? An?1 ? k (14n ? 38) ,

a 7 k (14 ? 7 ? 38) 17 ? 2 bn ? k (2n ? 2) ,则 b7 = k (2 ? 7 ? 2) an k (14n ? 38) 12 12 ?7? b k (2 n ? 2) n ? 1 由上面的解法 2 可知 n = ,显然只需使 n ? 1 为正整数即可,
故 n ? 1, 2,3,5,11 ,共 5 个. 点评:对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握,根据具体的情况能够灵活应用. 反思:解法 2 中,若是填空题,比例常数 k 可以直接设为 1. 8. 4

1 1 ? n?1 n ?1 2 2 2 . 9. 解: ?(n ? 1)an ?1 ? 319 ? 10. 解:依题意,中间项为 a n ?1 ,于是有 ? nan ?1 ? 290 解得 an ?1 ? 29 . an ? S(n) ? S( n ?1) ?
n?2

1

?

11. 解 : 由 题 设 得 am ? am?1 ? am?1 ? 2am , 而 am ? 0 , ? am ? 2 , 又 ? S2 m?1 ? 38 ,
2

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

?38 ?

(a1 ? a2m?1 )(2m ? 1) 2am (2m ? 1) ? ? 2(2m ? 1) 2 2 , m ? 10 . 12. 解: S6 ? (Sn ? Sn ?6 ) ? 6(a1 ? an ) ? 36 ? (324 ?144) ? 216 , a1 ? an ? 36 , n(a1 ? an ) Sn ? ? 324 2 . ∴ n ? 18 。

* 13. 解:由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 f ( x ? 1) 知函数 f ( x)( x ? N ) 当 x 从小到大依次取值时对应 的一系列函数值组成一个等差数列, f (1), f (3),?, f (2005) 形成一个首项为 2,公差为 4 的

等差数列, f (2005) ? 2 ? (1003 ? 1) ? 4 ? 4010 . b b 1 m a ? , c ? bq ? b ? bq ? m,? b ? 0,? ? q ? 1 ? q q b. 14. 解:设 ,则有 q

m 1 m ? ? q ?1? 3 ?0 ? b ? b q q ? 0 3; 当 时, ,而 b ? 0 , m 1 m ? ? q ? 1 ? ?1 ? ?1 b q q ? 0 当 时, ,即 b ,而 m ? 0 ,? b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,

m b ?[?m,0) ? (0, ] 3 . 故
15. 解: (1)由 S9 ? 9a1 ? 36d ? 0 ,得: d ? ?1, an ? 5 ? n , n(n ? 1) ? (?1) ? ?10 . 又由 an ? Sn ? ?10,4 ? (n ? 1)(?1) ? 4n ? 2 即 n 2 ? 7n ? 30 ? 0 ,得到 n ? 10 . (2)由 bn ? 2
5?n

若 n ≤5,则 b1 ? b2 ? ? ? bn ≤ b1 ? b2 ? ? ? b5 ? 31,不合题意 故 n >5, b1 ? b2 ? ? bn ? 31 ? 即 2n ? 5

2(2n ?5 ? 1) ? 2007 2 ?1 ? 989 ,所以 n ≥15,使不等式成立的最小正整数 n 的值为 15

? ? a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ,? d ? 2 , 16. 解答: (I)由已知得 ?
故 an ? 2n ? 1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得

bn ?

Sn ?n? 2 n .
2

b ? bpbr . 假设数列 {bn } 中存在三项 bp , bq , br ( p,q,r 互不相等)成等比数列,则 q
2 即 (q ? 2) ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0

? p,q,r ? N? ,

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总复习必须掌握的数列经典解题技巧

?q 2 ? pr ? 0, p?r 2 ?? ?( ) ? pr, ( p ? r )2 ? 0, ?p ?r 2 q ? p ? r ? 0 , ? 2 .
与 p ? r 矛盾.

5 3 xn ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 17. 解: (1) 13 5 3 5 ? yn ? 3 ? xn ? ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4
(2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn . ? 设 c n 的方程为:

y ? a( x ?

2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? , 2 4
2

2 2 把 Dn (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 . 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ' k n ? y | x?0 ? 2n ? 3 , kn ?1kn (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? k1k2 k2 k3 kn ?1kn ? 2 [( 5 ? 7 ) ? ( 7 ? 9 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 3)] 1 1 1 1 1 ( ? )? ? = 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 . (3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N, n ? 1} , ?
T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N, n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N, n ? 1} ? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .
设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265, ?125) ,由此得

?

248 ? d ? ?12, 又? an ?T ?d ? ?12m(m ? N* ) 9

?d ? ?24,?an ? 7 ? 24n(n ? N* )
* 18. (1)解:? an?1 ? 2an ? 1(n ? N ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
? an ? 1 ? 2n.
(2)证:? 4
k1 ?1 k2 ?1 n 即 an ? 2 ? 1(n ? N*) .

4

...4kn ?1 ? (an ? 1)kn .

? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

① 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.



②-①,得 2(bn?1 ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④
③-④,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N* ),

??bn ? 是等差数列.

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