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高中理科数学解题方法篇(三角函数)






内容摘要……………………………………………………………1 关 键 词 ……………………………………………………………1 Abstract……………………………………………………………1 Key words………………………………………………………… 1 1 引言………………………………………………………………2 2 高考中三角函

数考察的题型……………………………………2 2.1 三角函数化简与求值…………………………………………2 2.2 三角函数的图像与性质………………………………………6 2.3 解三角形………………………………………………………10 3 三角函数常见的错解……………………………………………12 4 高考中三角函数的考试趋势……………………………………14 4.1 求最值…………………………………………………………15 4.2 图像……………………………………………………………18 5 结语………………………………………………………………20 参考文献……………………………………………………………21

0

高考中三角函数的解题策略与考试趋势

摘要:近年来,三角函数试题在高考中所占的比例基本稳定在 12% 左右,并且大部分试题为基础题和中档题.以近 5 年各地区高考题 为例,三角函数一般会作为一道客观题和一道主观题。本文主要 总结三角函数的各种考查题型和解题思路以及它的考试趋势。 关键词:三角函数,高考解题策略,考试趋势 Abstract: recent years, the proportion of of Trigonometric In questions in the College entrance examination is basically stable at around 12%,and most of the questions are basic questions and mid-range question.Take the nearly five years of the college entrance examination questions about the various regions for example.The trigonometric functions normally be used as an objective questions and a subjective question.This article summarized the main kinds of questions about the trigonometric examination trends. and problem-solving ideas and its

Keywords: The trigonometric functions, The university entrance exam problem-solving strategies, examination trends

1

1﹒引言
三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考 的热点。其考点主要包括: 同角三角关系式及诱导公式,三角函 数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数, 三角函数的最值及综合应用。 一般设计为一道客观题,一道解答 题,约占总分的 12% ,多数是中低档题。近几年高考已逐步抛弃 了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到对三角函数 的图象与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上来。在考 查三角公式进行恒等变形的同时也直接考查了三角函数的性质及 图象的变换,降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角 函数性质和图象的考查力度。

2.高考中三角函数考察的题型
2.1 三角函数化简与求值
关于三角函数的求值,一般是先运用它的公式化简再求值, 公式包括二倍角公式,两角和与差的三角函数公式,和差化积公 式,积化和差公式,正弦定理和余弦定理等。 例1 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知

A-C=90°,a+c= 2 b,求 C. (2011 年高考理科数学全国卷)
解:由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得
s i n ? s iC ? A n
?

2 sB n i
?

.

又由于 A ? C ? 90 , B ? 180 ? ( A ? C ), 故 cos C ? sin C ?

2 sin( A ? C )

2

? 2 sin(90 C 2 ) ??

? 2 c o sC . 2

2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
c o s ( 4 ?C ? ) ?5 cC s 2 . o

因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C,

C ? 15?
4 例 2 在 △ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;
?? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

3 ? 4? 解(Ⅰ)在 △ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由 5 ? 5?
2

2

正弦定理,得
BC AC ? . sin A sin B AC 2 3 2 所以 sin B ? sin A ? ? ? . BC 3 5 5 4 (Ⅱ)因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2 2

cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? 5 25

3

?? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ?
? 4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2 ? 12 7 ? 17 . 50

解析:本种类型题主要考查三角函数中的诱导公式、特殊角 三角函数值、两角差公式、倍角公式、等基础知识,考查基本运 算能力。所以,在对于这种直接运算化简的题目,必须记住有关 于三角函数的有关公式,主要有: 二倍角公式 :
sin(2? ) ? 2sin ? ? ? ; cos

cos(2? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;
tan(2? ) ? 2 tan ? / (1 ? tan 2 ? ); cot(2? ) ? (cot 2 ? ? 1)(2cot ? );

两角和与差的三角函数公式 :
cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? ? sin ? ? ? ; cos sin cos(? ? ? ) ? cos ? ? ? ? sin ? sin ? ; cos sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? ? cos ? sin ? ; cos tan(? ? ? ) ? (tan ? ? tan ? ) / (1 ? tan ? ?tan ? ); tan(? ? ? ) ? (tan ? ? tan ? ) / (1 ? tan ? ?tan ? );

4

和差化积公式:
sin ? ? sin ? ? 2sin ??? +? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? 2 cos ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 2 cos ??? ? ? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? ?2sin ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ?

积化和差公式:
1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )?; 2 1 cos ? ? ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; sin 2 1 cos ? ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; cos 2 1 sin ? ? ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; sin 2 sin ? ? cos ? ?

正弦定理:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c.则有 :
a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C

(1)已知三角形的两角与一边,解三角形。 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换 关系 。 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的 正弦。 余弦定理:对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两 边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积, 若三边为 a,b,c 三角为 A,B,C ,则满足性质
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A;
5

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 accos B; c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 abcos C;

cosC ? (a2 ? b2 ? c2 ) / (2ab ); cos B ? (a2 ? c2 ? b2 ) / (2ac ); cos A ? (c2 ? b2 ? a2 ) / (2 ); bc

2.2 三角函数的图像与性质
主要包括三角函数的图象及其性质、函数 y ? A sin ? ax ? b ? 、
y ? A cos ? ax ? b ? 及 y ? A tan(ax ? b) 的图象及其性质。关键是理解

并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。 1.三角函数的图象及性质 (1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象

函数 性质 图像

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

6

值域 当

? ?1,1?
x ? 2 k? ?

? ?1,1?
?
2 (k ? Z )

R

最值



x ? 2k? (k ? Z )

时, ymax ? 1; 当 x ? 2 k? ?

时 , ymax ? 1 ; 当
y ? 2k? ? ?

既无最大 值也 无最 小值

?
2

?k ? Z ?

(k ? Z )时,ymin ? ?1

时, ymin ? ?1 2π 偶函数 在 π 奇函数

周期性 奇偶性

2π 奇函数

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?
(k ? Z ) 上是增函数;在

? 2 k? ? ? , 2 k? ? ( k ? Z )
上是增函数;在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?
(k ? Z ) 上是增函数

单调性

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?
(k ? Z ) 上是减函数

? 2 k? , 2 k? ? ? ? ( k ? Z )
上是减函数 心 对 称 中 ? k? (k? + ,0)对 称 轴 ( , 0)(k ? Z ) 轴 2 2 无对称轴 x ? k? (k ? Z ) 对 称 中 心

对称性

对称中心 (k? , 0)(k ? Z ) 对
x ? k? ?



?
2

, (k ? Z )

2. 理解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像中是由函数 y ? sin x 怎么变 换来的,当 A, ?, ? 取不同值的时候,对图像的影响。 由函数 y ? sin x 的图像到 y ? sin(? x ? ? ) 图像的步骤。

7

步骤 1

画出 y ? sin x 在[0,2 π] 的简图

沿x轴 步骤 2

平行移动

得到 y ? sin ? x ? ? ? 在某周期内的简图

横坐标
步骤 3

伸长或缩短

得到 y ? sin ?? x ? ? ? 在某周期的简图

纵坐标
步骤 4

伸长或缩短

得到 y ? A sin ?? x ? ? ? 在某周期内的简图 沿x轴 扩展

步骤 5

得到 y ? A sin ?? x ? ? ? 在 R 上的图像

3.对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 中未知数的求值,要记得几个公 式。 T ? 例 , A 为值域。 ? 3 : 右 图
2?







? ? 5? ? y ? A sin ?? x ? ? ?? x ? R ? 在区间 ? ? , ? 上 ? 6 6 ?

的图像,为了得到这个函数的图象,只要将
y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点()

(A)向左平移

? 个单位长度,再把所得各点 3

8

的横坐标缩短到原来的 (B) 向左平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 3 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 6

1 倍,纵坐标不变; 2

的 2 倍,纵坐标不变; (C) 向左平移

1 的 倍,纵坐标不变; 2 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 6

的 2 倍,纵坐标不变。 解析:从图中可以得出 A ? 1, T ? ? , ? ?

?
6

。所以根据函数

y ? sin x 的图像到 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的步骤便可知选择答案 A .

例 4:已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R ,其中

? ? 0, ?? ? ? ? ? , 若f ( x) 的最小正周期为 6? ,且当 x ?
f ( x) 取得最大值,则(

? 时, 2



A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数; B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数; C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数; D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数; 解析: 本种类型题主要考察有关 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像及 图的画法。熟记 T 与 ? 之间的关系 T ?
2?

?

.同时记住 A, ? 和 ?

的取值对于图像的影响。一般地,函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ,

9

x ? R ? 其中A ? 0,? ? 0 ? 的图像,可以看作用下面的方法得

到:先把正弦曲线上所有的点向左(当 ? ? 0 时)或向右 (当 ? ? 0 时)平行移动 ? 个单位长度而得到,再把所得各点的
1 横坐标缩短 (当 ? ? 1 ) 或伸长 (当 0 ? ? ? 1 时) 的原来的 (纵 ?

坐标不变) ,再把所得各点的纵坐标伸长(当 A ? 1 时)或缩短 (当 0 ? A ? 1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) 。同时会利用 周期用五点法作图,以及给了图像可以从中找出 A, ?, ? 的值。

2.3 解三角形
三角形中的三角函数关系式历年高考的重点内容之一, 本节主要帮助考生更加深刻理解正弦和余弦定理,掌握解斜 三角形的方法和技巧。 例 5 在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. 1 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? b 2 . 4 5 (Ⅰ)当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4 (Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;
5 ? ?a ? c ? 4 , ? (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ? ? ac ? 1 , ? ? 4
1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 解得 ? 4 1 或? ?c ? 4 , ?c ? 1. ? ?

(II)解:由余弦定理, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

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? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2

3 因为 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) , 2

由题设知 p ? 0, 所以

6 ? p ? 2. 2

例 6 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有 一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小 时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3) 海里,
?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 45?,

?

?

??ADB ? 105?



?DAB

中 , 由 正 弦 定 理 得

DB AB ? sin ?DAB sin ?ADB
? DB ? AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? 5(3 ? 3) ? sin 45? ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? ? cos 60? ? sin 60? ? cos 45?

=

5 3(1 ? 3) ? 10 3 (海里) , (1 ? 3) 2

11


?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? (90? ? 60?) ? 60?, BC ? 20 3 海里,

在 ?DBC 中,由余弦定理得
CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC ? cos ?DBC

1 ? 900 2 30 ,则需要的时间 t ? 。 ? 1 (小时) ?CD ? 30(海里) 30

= 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ?

答:救援船到达 D 点需要 1 小时。 解析:本种类型题主要考察的内容为三角函数中的正弦余 余弦定理,在这类题中要考虑角的取值范围,以及边的取值范围。 对于解斜三角形,已知三个已知量要会运用正弦和余弦定理,求 出其他三个未知量的值。

3.三角函数常见的错解
在解三角函数的时候,同学们或多或少的都会出现一些错 误. 对高中生来说,这部分内容虽然公式较多,但规律性较强, 因而学生容易掌握。同时,我们可以充分利用单位圆和三角函数 图象来学习三角函数性质,并解决与三角函数相关的问题,体现 数形结合思想.现在就三角函数及其相关问题中易错现象进行归 纳和分析,以纠正学生对于三角函数中的误区。 误区主要包括几个方面。 第一,对于三角函数的定义认识不清晰,容易忽视定义域。 例 3.1 求函数 y ?
sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x

?? ? 错解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? , t ? ? ? 2, 2 ? , ? ? 4? ?
12

t 2 ?1 t ?1 t 2 ?1 ? 则 sin x cos x ? ,故 y ? 。 2 ?1 ? t ? 2 2

? ? 2 ? 1 2 ? 1? 因为 ? 2 ? t ? 2 ,所以 y ? ? , ?。 2 2 ? ?
剖析:上面解法中忽略了对定义域及变量 t 取值范围的讨论, 由 1 ? sin x ? cos x ? 0 ,得 t ? ?1 ,进而 y ? ?1 ,故所求函数的值域
? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? , ?1? ? ? ?1, 应为 ? ?。 ? ? 2 2 ? ? ? ?

第二,忽视相位变换所针对的对象。 例 3.2 已知 cos ? ? 3cos ? ,cot ? ? 4cot ? , 求sin?。 错解:由题设条件得

1 cos ? cos ? 3 4 sin ? ? ? ? sin ? , cot ? 1 cot ? 3 4
1 ?4 ? ?1 ? 又 cos ? ? cos ? , 则 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? 1, 3 ?3 ? ?3 ?
2 2

解得 sin ? ? ?

2 30 . 15

剖析:上面解法是在 cot ? ? 0, cot ? ? 0 的前提下而求的,事 实上, 已知条件中含有 cot ? ? 0,cot ? ? 0 的情况, 此时 sin ? ? ?1也 满足题意,三角变换应注意等价性,不能随意扩大或缩小角的范 围。 第三,忽视周期性。 例6 求函数 y ?
2 tan x 的最小正周期 1 ? tan x 2

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? 2 tan x ? ? tan 2 x, T ? ,即函数的最小正周期为 。 2 2 1 ? tan x 2 ? 2 tan x 辨析 若 是y= 有意义,根据周期函数的定义只应有 2 1 ? tan x 2
错解 y ?

?? ? ? ? ? ? ?? ? f ? 0 ? ? ? 0 ? ? 成立。然而 ?0 ? ? ? ? ? 根本无意义,故 不是其 2? 2? ?2? 2 ? ?
周期,错解是由于忽视对周期函数的定义的准确的理解产生的 第四,忽视题目中的隐含条件。 例 3.3 若 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 2sin ? ,求 sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值 范围。
1 1 1 2 错解:sin 2 ? ? cos2 ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? 1? ? , 2 2 2
? 1? 又 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 sin 2 ? ? sin 2 ? ? ?0, ? 。 ? 2?

剖析:上面解题时忽略了条件中隐含的角的范围限制,
? 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? ? 3sin 2 ? ? ?0, 2? ,解得 sin ? ? ?0, ? , ? 3?

? 4? 所以 sin ? ? ? ?1,1? 是错误的,故 sin 2 ? ? sin 2 ? ? ?0, ? . ? 9?

4.高考中三角函数的考试趋势
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考 查, 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查, 对基础知识 和基本技能的考查上来. 在考查三角公式进行恒等变形的同时, 也直接考查了三角函数的性质及图象的变换, 降低了对三角函数 恒等变形的要求, 加强了对三角函数性质和图象的考查力度。在 2011年的高考题中大多不在单一的考察关于三角函数的公式,而
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是与三角形结合起来考察,运用正弦和余弦定理找寻三角函数与 三角形之间的关系,一般求解围三角形的面积或者是其中某个未 知数的值,在考虑三角形中的三角函数要考虑三角函数中的角在 三角形中的取值范围,懂得舍角。同样的,在其他省份高考题中 有关于三角函数的题目主要有求最值和利用图像解三角函数。

4.1 求最值
求三角函数的最值是研究三角函数性质的重要手段之一,也 是高考的常考点。求三角函数的最值,常用方法如下: 1.形如 y ? a sin x ? b cos x ? c 型,利用三角辅助角公式
y ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ? c 来完成。

例4.1若函数 y ? (1 ? 3 tan x) cos x(0 ? x ? 值为( ) A、 1 B、 2 C、
3 ?1

?
2

则f( x )的最大 ),

D、 3 ? 2

分析:将切化弦,化简成 y ? a sin x ? b cos x ? c 型。
? 3 ? 1 ?? ? sin x ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? 解: f ? x ? ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?

因为 0 ? x ?

?
2

,所以

?
6

? x?

?
6

?

2? ? ? , 当x ? ? 时,f( x )取最 3 6 2

大值2,故选 B . 2.形如 y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos 2 x 型,通过二倍角公式 转化成 y ? A sin 2 x ? B cos 2 x 型,再利用三角辅助角公式来完成。 例4.2求函数 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x 的最小值、最大 值及最小值、最大值时 x 的集合。
15

解法1:
y ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?

解法2:
y ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos 2 x
2

?? ? ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2 cos 2 x 4? ? ?? ? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x 2? ? ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ?? ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
评注:两种解法分别运用了不同的三角变换,但殊途同归, 都是利用 2 sin(2 x ? ) 的有界性求值,显然这是一种求三角函数 4 最值的基本方法。 3.形如 y ? a sin 2 x ? b sin x ? c或y ? a cos2 x ? b cos x ? c 型, 令sinx=t或cosx=t,转化成 y ? at 2 ? bt ? c 的二次函数型。 例4.3已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? 4cos x 。

?

? (Ⅰ)求 f ? ( ) 的值; 3
(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。
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? 2? ? ? 3 9 解: (I) f ( ) ? 2cos ? sin 2 ? 4cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 3 4 4
(II) f ( x) ? 2(2cos 2 x ? 1) ? (1 ? cos 2 x) ? 4cos x = 3cos2 x ? 4cos x ? 1
2 7 = 3(cos x ? ) 2 ? , x ? R 3 3

因为 cos x ? [?1,1] ,所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6; 当 cos x ?
7 2 时, f ( x) 取最小值 ? 。 3 3 a sin x ? b a cos x ? b 4.形如 y ? 型, 可利用分离常数法或 或y ? c sin x ? d c cos x ? d
sin x ? 1或 cos x ? 1 来解决

例 4.4 函数 y ?
3 A、 5

2 ? cos x ( x ? R)的最大值是( ) 2 ? cos x

5 B、 C、3 D、4 2 2 ? cos x 4 ? (2 ? cos x) 4 解析 1: y ? ? ? ?1 2 ? cos x 2 ? cos x 2cos x

? ?1 ? cos x ? 1?1 ? 2 ? cos x ? 3
? ymax ? 3

故选 C.
2 ? cos x 2y ? 2 ? cos x ? 1 ( x ? R) 得 cos x ? y ?1 2 ? cos x
2y ? 2 ? 1 即 3 y 2 ? 10 y ? 3 ? 0 y ?1

解析 2:由 y ?

1 解得 ? y ? 3? ymax ? 3 3

故选 C 5.型如 y ?
a sin x ? b 型, 可利用斜率公式或分离常数来 c cos x ? d

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解决。 分析: (1)可通过恒等变形,变成 y ? sin ? x ? ? ? 的形式, 再利用 sin ? x ? ? ? ? 1 来解决, (2)结合函数式点特点及直线的斜率公式,利用数形结 合而确定最值。 例 4.5 求函数
y? 2 ? sin x 2 ? cos x 的最大值和最小值。

分析: (1)可通过恒等变形,变成 y ? sin ? x ? ? ? 的形式, 再利用 sin ? x ? ? ? ? 1 来解决, (2)结合函数式点特点及直线的斜率公式,利用数形结 合而确定最值。 解析1:原函数变形为 sin x ? y cos x ? 2 ? 2 y
? s i nx ?? ? ? 1 ? ? 2 ? 2y y2 ?1 ?1

解得 ymax ?

4? 7 4? 7 , ymin ? 3 3
2 ? 2y y2 ?1

即 sin ? x ? ? ? ? 解析2: y ?

2 ? sin x 可看作是定点(2,2)与单位圆上的 2 ? cos x 点(cosx,sinx)的连线的斜率,依据图形可知,当连线与圆相切时

取得最值,解得 ymax ?

4? 7 4? 7 , ymin ? 3 3

评注: 通过适当的三角变换,结合化归和转化,应用函数和
18

方程的思想,数形结合思想,是解决三角函数最值问题的有效办 法。

4.2 图像
在三角函数学习过程中,经常会遇到给定一段图像确定三角函 数解析式的问题,这类问题主要用“五点作图法”来确定其中的系数, 其中A。 由图像往往比较容易确定,甲值的确定比较困难,一般用“起 始点法”、“最值法”、“待定系数法”等来确定。 例:某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的 轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西30°且与该港口 相距20海里的 A 处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速 行驶. 假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小 应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航 行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短 时间与轮船相遇,并说明理由. 解: (1)如图设小艇的速度为 v ,时间为 t 相遇,

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则由余弦定理得: OC 2 ? AC 2 ? OA2 ? 2 ? AC ? OA cos ?OAC
? 1? 即 vt 2 =400+900 t 2 -1200tcos600=900t2-600t+400= 900 ? t ? ? ? 300 ? 3?
2

当t ?

1 时,取得最小值,此时, v ? 30 3 。 3

(2)要用时最小,则首先速度最高,即为:30海里/小时,则由 (1)可得: OC 2 ? AC 2 ? OA2 ? 2 ? AC ? OA cos ?OAC 即: ? 30t ? ? 400 ? 900t 2 ? 1200t cos 60?
2

解得: t ?

2 ,此时 ?BOD ? 30? 3

此时,在△OAB中, OA ? OB ? OC ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短 时间与轮船相遇. 本题主要考查函数模型的建立和应用,主要涉及了余弦定理,二 次函数法求最值,还考查了数形结合的思想.

5 结语
对于高考中三角函数的解题策略与考试趋势,大多为熟记三角 函数的有关公式,图像以及定义。近年来,各省市自治区考三角 函数的趋势逐渐与几何图形,三角应用题和在三角形中解三角函 数,主要考察正弦和余弦定理的应用,对于 2012 年各地数学理科 高考题关于三角函数的考察,我觉得会与生活中应用的图象结合, 考察三角应用题,使用正弦与余弦定理来解题。同样的对于客观 题,函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像以及图像的画法会比较重要,可 能会考图像的变换,若要加重难度就是将函数图像的起点改变, 从而迷惑考生,因此,考生在做相关题目时要注意好图像中给的
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信息,不要当成起始点从原点开始计算。

参考文献
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