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2015年高中数学竞赛决赛试题及答案


2015 年高中数学竞赛决赛试题及答案 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 1.从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是 A. 5 6 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 ,则 2.若 ? 是第四象限角,且 sin A.第一象限

角 C.第三象限角 ? 2 ? cos ? 2 ? 1 ? 2 sin ? 2 cos ? 2 ? 是 2 B.第二象限角 D.第四象限角 3. 已知点 O、A、B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP ? 2OA+BA ,则 A.点 P 不在直线 AB 上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 4.设 m, n ? R? ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 4 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相切,则 m ? n 的取值范 围是 A. (0,1 ? 3] B. [1 ? 3,??) C. [2 ? 2 2 ,??) D. (0, 2 ? 2 2 ] 5. 已知正方体 C1 的棱长为 18 2 ,以 C1 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为 C2,以 C2 的各个面的中 心为顶点的凸多面体记为 C3,则凸多面体 C3 的棱长为 A.18 B. 9 2 C.9 D. 6 2 6. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 3) ? ? f ( x ), 且 在 区 间 [0, 3 ] 上是增函数,若方程 2 f ( x) ? m (m ? 0) 在区间 ?? 6, 6? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? A. ? 6 B. 6 C. ? 8 D. 8 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) , 4 ? 1 ln , x ? 0 ? , ? x 7.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? ?1 的解集为 ▲ . 6 1 ? ,x?0 ? ?x 8.随机抽查某中学高二年级 100 名学生的视力情况,发现学生的视力全部介于 4.3 至 5.2.现将这些数据分 成 9 组,得其频率分布直方图如下.又知前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,则视力 在 4.6 到 5.0 之间的学生有 ▲ 人. 高中数学竞赛试题 第 1 页 共 12 页 频率/组距 0.3 0.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1. 5.2 视力 7 2 2 c 2 ,则 cos C 的最小值为 9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边长分别为 a , b, c ,若 a ?b ? 2 ▲ . 10.给出下列四个命题: (1)如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 相交; (2)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? ; (3)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内与它们的交线不垂直的直线与平面 ? 也不垂直; (4)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? .

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