nbhkdz.com冰点文库

2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第26讲 平面向量的数量积


理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解 平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的 坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用 数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平 面向量是否具有垂直关系.

3

1.向量的数量积

a b cos? 把数量① ____________ 叫做a与b的数量积

(或内积), a ? ? a | b | cos? b 记作② _______________________  .

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为?,我们

0 规定:零向量与任一向量的数量积为③ ______ .
向量的数量积满足的运算律:
a? ? b? b a ?1? ④ ____________________ ; (? a)? ? ? (a? ) ? a? ? b) b b ( ? 2 ? ⑤ ____________________ ; ? a ? b ??c ? a?c ? b?c ? 3? ⑥ ____________________ .

数量积的性质:
5

a ________ ________( ?1? e ? a ? ⑦ ×e ? ⑧ |a| e是与a同方
向的单位向量); ________ ; ? 2? a 2 ? ⑨ ________ ? 3? a ?b ? 0 ? ⑩⊥b ; a a?b ________________ ; ? 4 ? cos? ? ? | a | ? | b | ________ a | b | . ? 5? | a ?b | ? ?

a

2

x1 x2 ? y1 y2 若a ? ( x1,y1 ),b ? ( x2,y2 ),则a ?b ? ?_____________.
3.定理
a ?b 向量a在b上的投影为? ________ . |b|

2.向量数量积的坐标运算

x1 x2 ? y1 y2 __  两个向量a、b垂直的充分必要条件是? __________? 0 .
6

1.下列命题中真命题的个数是( ①|a· b|=|a||b|; ②|a· b|=0?a=0 或 b=0; ③|λa|=|λ||a|; ④λa=0?λ=0 或 a=0. A.1 C.3 B.2 D.4

)

【解析】①②错,③④对.

→ =(1,1),AC=(-2,y),若AB⊥AC,则 y 的值为 → → 2.已知AB 2 2 → ( ) 1 A.-2 1 C.2 B.-2 D.2

→ · =0,得-1+1y=0, → 【解析】由AB AC 2 所以 y=2.

3.在平面直角坐标系中,O 是原点,已知 A(-3,-1), → 在OC方向上的投影是 -22 . B(4,1), C(4, -3), 则向量BA → 5

→ 【解析】BA=(-3,-1)-(4,1)=(-7,-2), → OC 4×?-7?+?-3?×?-2? → BA· 22 → 在OC上投影为 → BA = =- 5 . 5 → |OC|

4.若向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量 a 与 b 的夹角是 45° .

【解析】由已知(a-b)· a=0,a2-a· b=0, 2 所以 2- 2×2cosθ=0,cosθ= 2 ,所以 θ=45° .

5.已知 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=4,|b|=2,则|a+b| = 2 3 ,(a-2b)(a+b)= 12 .

【解析】a· b=4×2×cos120° =-4, 所以|a+b|= ?a+b?2 = a2+b2+2a· b = 16+4+2×?-4? =2 3. (a-2b)(a+b)=a2-a· b-2b2=16+4-2×4=12.



平面向量数量积的运算

【例 1】已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 的 夹角为 60° ,求: (1)(a+2b)(2a-b); (2)|a-b|.

【解析】 由已知|a|=1,|b|=1, 1 a· b=|a||b|· cos60° 2. = (1)(a+2b)(2a-b)=2a2+3a· b-2b2 1 3 2 =2×1 +3×2-2×1 =2.
2

(2)|a-b|= ?a-b?2 = a2+b2-2a· b = =1. 1 1+1-2×2

【点评】向量的数量积运算是向量之间的一种运算,结果 是一个数量,平面向量运算类似于多项式的乘法,在进行 数量积运算时,要认清向量的模和夹角.

素材1

已知点 O 是△ABC 所在平面上的一点,CA=CB,设 a → → → =OA,b=OB,c=OC,若|a|=4,|b|=2,求 c· (a-b).

→ → → → 【解析】因为|CA|=|CB|,所以CA2=CB2, → → → → 所以(OA-OC)2=(OB-OC)2, → → OC → → → → → OC → 即OA2-2OA· +OC2=OB2+OC2-2OB· , 16-2a· c=4-2b· c,所以 c· (a-b)=6.

【点评】关于几何图形上点,要把握点所满足的条件,并 将条件转化为向量式,结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2=a2 来解.



平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)

=61,求 a 与 b 的夹角 θ; (2)若 a=(-1,2),b=(3,x),且 a,b 的夹角 θ 为 钝角,求 x 的取值范围.

【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61, 得 4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 因为|a|=4,|b|=3,代入上式,求得 a· b=-6, -6 1 a· b 所以 cosθ= = =-2. |a||b| 4×3 因为 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=120° .

(2)因为 a,b 的夹角 θ 为钝角, 所以 a· b<0,且 a 与 b 不共线,
?-3+2x<0 3 即? ,解得 x<2,且 x≠-6. ?-x-6≠0

3 故 x 的取值范围为(-∞,-6)∪(-6,2).

【点评】(1)本题中数量积运算,从形式上看,实数中的乘法分 配律依然成立,但在展开式中应注意带上点乘符号,同时要熟 a· b 练运用公式 cosθ= ;(2)当夹角为钝角时,要注意 a 与 b 不 |a||b| 共线.

素材2

→ → → 平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点 X 为 直线 OP 上的一个动点. → XB → → (1)当XA· 取最小值时,求OX的坐标; (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AXB 的值.

→ → 【分析】 因为点 X 在直线 OP 上,向量OX与OP共线,可以 → → XB → 得到关于OX坐标的一个关系式,再根据XA· 的最小值,求 → → → 得OX的坐标,而 cos∠AXB 是XA与XB夹角的余弦,利用数量 积的知识易解决.

→ 【解析】(1)设OX=(x,y). → → 因为点 X 在直线 OP 上,所以向量OX与OP共线. → 又OP=(2,1),所以 x-2y=0,即 x=2y. → → → → → 所以OX=(2y,y).又XA=OA-OX,OA=(1,7), → 所以XA=(1-2y,7-y).

→ → → 同样XB=OB-OX=(5-2y,1-y). → XB → 于是XA· =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y) =5y2-20y+12 =5(y-2)2-8. → XB → → 所以当 y=2 时,XA· 有最小值-8,此时OX=(4,2).

→ (2)当OX=(4,2),即 y=2 时, → → 有XA=(-3,5),XB=(1,-1), → → 所以|XA|= 34,|XB|= 2, → XB → XA· 4 17 所以 cos∠AXB= =- 17 . → |· | → |XA |XB

【点评】(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决,因 此解题关键在于寻找变量,以构造函数.而(2)中即为数量积 定义的应用.



平面向量数量积的综合应用

【例 3】已知向量 a,b 是两个非零向量,夹角为 α, 当 a+tb(t∈R)的模取最小值, (1)求 t 的值; (2)求证:b 与 a+tb 垂直.

【解析】(1)因为|a+tb|2=(a+tb)2 =t2b2+2ta· 2. b+a a· b |a| 当 t=- 2 =- · cosα 时,|a+tb|有最小值. b |b| a· b (2)由(1)可知,t=- 2 , b a· 2 b 所以 b(a+tb)=a· b+tb =a· b- 2 · =0. b b
2

所以 b 与 a+tb 垂直.

【点评】本题为向量与二次函数的综合题,解题时要注意向量 的数量积为数,充分利用二次函数的对称轴求解.

素材3

1 3 已知平面向量 a=( 3,-1),b=(2, 2 ). (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d =-ka+tb,且 c⊥d,试求函数关系式 k=f(t); (3)对(2)的结论,讨论函数 k=f(t)的单调性.

1 3 【解析】(1)证明:因为 a· b= 3×2-1× 2 =0, 所以 a⊥b. (2)因为 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, 所以 c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, 所以 c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t 所以 k=f(t)= 4 (t≠0).

1 3 1 2 (3)由(2)知,f(t)=4(t -3t),f ′(t)=4(3t -3), 令 f ′(t)>0 得 t>1 或 t<-1, 令 f ′(t)<0 得-1<t<1,且 t≠0. 所以函数 k=f(t)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞, -1),单调递减区间为(-1,0)和(0,1).

备选例题

→ MN PM PN → → 已知两点 M(-1,0), N(1,0), 且点 P 使MP· ,→ · , → NP → NM· 成公差小于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? → → (2)若点 P 的坐标为(x0,y0),记 θ 为PM与PN的夹角, 求 tanθ.

【解析】(1)设 P(x,y),由 M(-1,0),N(1,0),得 → → PM=-MP=(-1-x,-y), → → → → PN=-NP=(1-x,-y),MN=-NM=(2,0). → MN → → PN → → NP → 所以MP· =2(1+x),PM· =x2+y2-1,NM· = 2(1-x). → MN → PN → NP → → → 于是,MP· ,PM· ,NM· 是公差小于零的等差 数列,

? 2 1 ?x +y2-1= [2?1+x?+2?1-x?] 2 等价于? ?2?1-x?-2?1+x?<0 ?
?x2+y2=3 ? 即? ?x>0 ?



.

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3为半径的右半 圆(不包括与 y 轴的交点).

→ PN 0 0 → (2)点 P 的坐标为(x0,y0),PM· =x2+y2-1=2, → |PN |PM|·→ |= ?1+x0?2+y2· ?1-x0?2+y2 0 0 = ?4+2x0??4-2x0?=2 4-x2. 0 → PN → PM· 1 所以 cosθ= = 2. → |PN 4-x0 |PM|·→ |

1 π 因为 0<x0≤ 3,所以2<cosθ≤1,0≤θ<3, sinθ= 1-cos θ=
2

1 1- , 4-x2 0 1 1- 4-x2 0 = 3-x2=|y0|. 0 1 4-x2 0

sinθ 所以 tanθ=cosθ=

【点评】(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题,它考查 了平面向量的基本概念及其运算,是一个向量与平面解析几 何、三角函数及不等式的综合题,是在知识网络的交汇点处 设计的一个优秀试题,但解决这一问题的基本知识却是向量 中最基本也是最重要的知识. (2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起, 因此,涉及角度与距离有关的问题,可优先考虑用向量的数 量积进行处理.

1.本讲是平面向量这一单元的重要内容,要准确 理解两个向量的数量积的定义及几何意义,熟练掌握 向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的 数量积的运算不同于实数乘法的运算律,数量积不满 足结合律(a ?b)?c ? a ?(b?c )、消去律(a ?b ? a ?c b ? c;a ?b ? 0

a ? 0或b ? 0 ),但满足交换律和分配律.

2.公式a ? b ? a b cos? ;a ?b ? x1 x2 ? y1 y2; a ? a 2 ? x 2 ? y 2的关系非常密切,必须能够灵活综
2

合运用.
48

3.通过向量的数量积,可以计算向量的长度, 平面内两点间的距离,两个向量的夹角,判断相 应的两直线是否垂直. 4.a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0与a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 要区分清楚. 5.由于向量有多种表达形式,又向量的各种运算 都可用坐标表示,于是在运用向量知识解决有关问题 时往往有多种方法.其中坐标法是最常用,最重要的 一种方法.
49


2013届高考数学第一轮复习教案第26讲 平面向量的数量 积及应用

文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育) 2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一....

2013届高考数学一轮复习精品学案:第26讲 平面向量的数量积及应用

2013 年普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一.课标要求: 1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及...

第26讲 平面向量的数量积及应用

2013年普通高考数学一轮... 11页 1财富值 2012...第二十六讲一、复习目标要求 平面向量的数量积及应用...c ) ) (2)(2000 江西、山西、天津理,4)设 a...

高考数学第一轮复习教案第26讲 平面向量的数量 积及应用

高考数学一轮复习学案 第 26 讲 平面向量的数量 积及应用 一.课标要求: 1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ...

第26讲平面向量的数量积及应用

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 www.laomiaotan400315.com 高三数学第一轮复习教案(讲座 26)平面向量的数量积及...

2014高考数学新编:第26讲 平面向量的数量积及应用

1/4 同系列文档 2012大纲全国卷高考数学(理... ...2013届高考数学一轮复习 第... 11页 免费 2014高考...2014高考数学新编:第26讲 平面向量的数量积及应用 ...

第26讲 平面向量的数量积及应用

高三数学第一轮复习 第二十六讲平面向量的数量积及应用一.知识整合: 1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB...

2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第26讲 平面向量的数量积及应用

本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2017 普通高考数学一轮复习精品学案第 26 讲 平面向量的数量积及应用一.课标要求: 1.平面向量的...

第26讲 平面向量的数量积及应用

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 上传文档...2013届高考数学一轮复习... 11页 免费 第26讲 平面向量的数量积及... 暂无...