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第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法

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第4讲
1.数学归纳法的原理及其步骤.

数学归纳法

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理,明晰其内在的联系,把握数学归纳法 证明命题的一般步骤, 熟知每一步之间的区别联系,熟悉数学归纳法在证明命题 中的应用技巧.

基础梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法.根据推理 过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法. 2.数学归纳法 (1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:①证明起始命题 P1(或 P0)成立;②在假设 Pk 成立的前提下,推出 Pk+1 也成立,那么可以断定{Pn} 对一切正整数成立. (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n=k,(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,证明当 n=k+1 时,命 题成立; ③由①②得出结论.

两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,第一步是递推的 “基础”,第二步是递推的“依据”,两个步骤缺一不可,在证明过程中要防范 以下两点: (1)第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选择合适的起始值. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明 n=k+1 时,命题也 成立的过程中一定要用到它, 否则就不是数学归纳法. 第二步关键是“一凑假设,

二凑结论”. 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义. (2)由假设 n=k 成立证 n=k+1 时,要推导详实,并且一定要运用 n=k 成立的结 论. (3)要注意 n=k 到 n=k+1 时增加的项数. 双基自测 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n-3)条时,第一步检验第一 个值 n0 等于( A.1 ). B.2 C.3 D.0

解析 边数最少的凸 n 边形是三角形. 答案 C 1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+2+3+?+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过程, 2 -1 由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 解析 B.k 项 1 1 1+2+3+?+
k+1

). D.2k 项

C.2k-1 项

1 1 1 ? 1 1 1 ? - ?1+2+3+?+2k-1? = 2k + k +?+ 2 -1 ? 2 +1 ?

1 ,共增加了 2k 项,故选 D. 2 -1
k+1

答案 D 3.用数学归纳法证明:“1+a+a2+?+an+1= n=1 时,左端计算所得的项为( A.1 C.1+a+a2 答案 C 4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k +1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( ). ). B.1+a D.1+a+a2+a3 1-an+2 (a≠1,n∈N*)”在验证 1-a

A.n=6 时该命题不成立 C.n=4 时该命题不成立 解析 法一

B.n=6 时该命题成立 D.n=4 时该命题成立

由 n=k(k∈N*)成立, 可推得当 n=k+1 时该命题也成立. 因而若 n

=4 成立,必有 n=5 成立.现知 n=5 不成立,所以 n=4 一定不成立. 法二 其逆否命题“若当 n=k+1 时该命题不成立,则当 n=k 时也不成立”为 真,故“n=5 时不成立”?“n=4 时不成立”. 答案 C 5.用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 + +?+ >24的过程中,由 n=k 推导 n+1 n+2 n+n

n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 不等式的左边增加的式子是 1 1 1 1 + - = ,故填 2k+1 2k+2 k+1 ?2k+1??2k+2?

1 . ?2k+1??2k+2? 答案 1 ?2k+1??2k+2?

考向一 【例 1】?用数学归纳法证明:

用数学归纳法证明等式

tan nα tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(n-1)α· nα= tan α -n(n∈N*,n≥2). tan tan tan [审题视点] 注意第一步验证的值,在第二步推理证明时要注意把假设作为已知. tan 2α 2 2tan2α 证明 (1)当 n=2 时, 右边= tan α -2= -2= =tan α· 2α=左 tan 1-tan2α 1-tan2α 边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥2)时,等式成立,即 tan kα tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(k-1)α· kα= tan α -k, tan tan tan 那么当 n=k+1 时, tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(k-1)α· kα+tan kα· tan tan tan tan(k+1)α

tan kα = tan α -k+tan kα· tan(k+1)α tan kα = tan α +1+tan kα· tan(k+1)α-(k+1) tan kα tan?k+1?α-tan kα = tan α + -(k+1) tan[?k+1?α-kα] tan?k+1?α = tan α -(k+1). 这就是说,当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)知,对任何 n∈N*且 n≥2,原等式成立. 用数学归纳法证明等式时,要注意第(1)步中验证 n0 的值,如本题要取 n0=2,在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式. 【训练 1】 用数学归纳法证明: 对任意的 n∈N*, 1 1 1 n + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1 1 1 1 1 = ,右边 = ,左边=右边,所以等 1×3 3 2×1+1 3

证明 (1)当 n=1 时,左边= 式成立.

(2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? k?2k+3?+1 k 1 = + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立. 考向二 用数学归纳法证明整除问题

【例 2】?是否存在正整数 m 使得 f(n)=(2n+7)·n+9 对任意自然数 n 都能被 m 3 整除,若存在,求出最大的 m 的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

[审题视点] 观察所给函数式,凑出推理要证明所需的项. 解 由 f(n)=(2n+7)·n+9 得, 3 f(1)=36, f(2)=3×36, f(3)=10×36, f(4)=34×36, 由此猜想:m=36. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,显然成立; (2)假设 n=k(k∈N*且 k≥1)时,f(k)能被 36 整除,即 f(k)=(2k+7)·k+9 能被 36 3 整除;当 n=k+1 时,[2(k+1)+7]·k+1+9=(2k+7)·k+1+27-27+2·k+1+9= 3 3 3 3[(2k+7)·k+9]+18(3k-1-1), 3 由于 3k 1-1 是 2 的倍数,故 18(3k 1-1)能被 36 整除,这就是说,当 n=k+1 时,f(n)也能被 36 整除. 由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)=(2n+7)·n+9 能被 36 整除,m 的最大值 3 为 36. 证明整除问题的关键“凑项”,而采用增项、减项、拆项和因式分解 等手段,凑出 n=k 时的情形,从而利用归纳假设使问题获证. 【训练 2】 用数学归纳法证明 an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被 a2+a+1 整除. 证明 (1)当 n=1 时,a2+(a+1)=a2+a+1 可被 a2+a+1 整除. (2)假设 n=k(k∈N*且 k≥1)时, ak+1+(a+1)2k-1 能被 a2+a+1 整除, 则当 n=k+1 时, ak+2+(a+1)2k+1=a·k+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·k+1+a· a a (a+1)2k-1+(a2+a+1)(a +1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知 a[ak+1+(a+1)2k
-1 - -

]能被 a2+a+1 整除,(a2+a+1)(a+1)2k-1 也能被 a2+a+1 整除,

∴ak+2+(a+1)2k+1 也能被 a2+a+1 整除, 即 n=k+1 时命题也成立, ∴对任意 n∈N*原命题成立. 考向三 用数学归纳法证明不等式

1? ? 【 例 3 】 ? 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 , 不 等 式 ?1+3? ? ? 1 ? 2n+1 1? ? ? ?1+5?· ?1+2n-1?> ?· 2 均成立. ? ? ? ?

[审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式,在推理过程中用放缩法,要注意放 缩的“度”. 1 4 5 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+3=3;右边= 2 . ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立, 1 ? 2k+1 1?? 1? ? ? 即?1+3??1+5?· ?1+2k-1?> 2 . ?· ? ?? ? ? ? 则当 n=k+1 时, 1 ?? 1 1?? 1? ? ? ? ?1+3??1+5?· ?1+2k-1??1+2?k+1?-1? ?· ? ?? ? ? ?? ? 2k+1 2k+2 2k+2 4k2+8k+4 > · = = 2 2k+1 2 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+3 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 > = = . 2 2 2k+1 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 在由 n=k 到 n=k+1 的推证过程中, 应用放缩技巧, 使问题得以简化, 用数学归纳法证明不等式问题时,从 n=k 到 n=k+1 的推证过程中,证明不等 式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等. 1 【训练 3】 已知函数 f(x)=3x3-x, 数列{an}满足条件: 1≥1, n+1≥f′(an+1). a a 试 1 1 1 1 比较 + + +?+ 与 1 的大小,并说明理由. 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 解 ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),∴an+1≥(an+1)2-1. ∵函数 g(x)=(x+1)2-1=x2+2x 在区间[1,+∞)上单调递增,于是由 a1≥1,得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时结论成立,即 ak≥2k-1,则当 n=k+1 时,由 g(x) =(x+1)2-1 在区间[1, +∞)上单调递增知, k+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1, a

即 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②知,对任意 n∈N*,都有 an≥2n-1. 1 1 即 1+an≥2n,∴ ≤2n, 1+an 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1? ∴ + + +?+ ≤2+22+23+?+2n=1-?2?n<1. ? ? 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 考向四 归纳、猜想、证明

【例 4】?数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. [审题视点] 利用 Sn 与 an 的关系式求出{an}的前几项,然后归纳出 an,并用数学 归纳法证明. 解 (1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=2. 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=4. 15 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4= 8 . 2n-1 由此猜想 an= n-1 (n∈N*). 2 21-1 (2)证明 ①当 n=1 时,左边=a1=1,右边= 20 =1,左边=右边,结论成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak= 2k-1 ,那么 n=k+1 时, 2k-1

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1, ∴2ak+1=2+ak, 2k-1 2+ k-1 2 2+ak 2k+1-1 ∴ak+1= 2 = = 2k , 2 这表明 n=k+1 时,结论成立, 2n-1 由①②知猜想 an= n-1 成立. 2 (1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归

纳性问题和存在性问题,本例从特例入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索 出一般规律. (2)数列是定义在 N*上的函数,这与数学归纳法所运用的范围是一致的,并且数 列的递推公式与归纳原理实质上是一致的, 数列中有不少问题常用数学归纳法解 决. 1 【训练 4】 由下列各式 1>2, 1 1 1+2+3>1, 1 1 1 1 1 1 3 1+2+3+4+5+6+7>2, 1 1 1 1+2+3+?+15>2, 1 1 1 5 1+2+3+?+31>2, ?,你能得到怎样的一般不等式,并加以证明. 1 1 1 n 答案 猜想:第 n 个不等式为 1+2+3+?+ n >2(n∈N*). 2 -1 1 (1)当 n=1 时,1>2,猜想正确. (2)假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时猜想正确, 1 1 1 k 即 1+2+3+?+ k >2, 2 -1 那么,当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 k 1+2+3+?+ k + k+ +?+ k+1 > + k+ +?+ k+1 > 2 -1 2 2k+1 2 -1 2 2 2k+1 2 -1 2 k 2k k 1 k+1 + k+1+ k+1+?+ k+1=2+ k+1=2+2= 2 . 2 2 2 2 1 1 1 即当 n=k+1 时,不等式成立. ∴对于任意 n∈N*,不等式恒成立.

阅卷报告 20——由于方法选择不当导致失误

【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时,关键在于弄 清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,由 n=k 到 n=k+1 时,等式 的两边会增加多少项,增加怎样的项,其难点在于归纳假设后,如何推证对下一 个正整数值命题也成立. 【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成 立的目标,通过适当的变换达到这个目标,这里可以使用综合法,也可以使用分 析法,甚至可以再次使用数学归纳法. 【示例】? 在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn, an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*). (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结 论; (2)证明: 1 1 1 5 + +?+ <12. a1+b1 a2+b2 an+bn

实录 (1)由条件得 2bn=an+an+1,a2+1=bnbn+1. n 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立, 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2, a2+1 k 那么当 n=k+1 时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1= b k =(k+2)2, 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立. 错因 第二问由于不等式的右端为常数,结论本身是不能用数学归纳法证明的, 可考虑用放缩法证明,也可考虑加强不等式后,用数学归纳法证明.(2)当 n=1 时 1 1 5 =6<12 a1+b1 假设 n=k(k∈N*)时不等式成立

1 1 1 5 即 + +?+ <12 a1+b1 a2+b2 ak+bk 当 n=k+1 时 1 1 1 1 5 1 + +?+ + < + a1+b1 a2+b2 ak+bk ak+1+bk+1 12 ak+1+bk+1 到此无法用数学归纳法证明. 正解 (1)用实录(1) (2)证明: 1 1 5 =6<12. a1+b1

n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 1 1 1 故 + +?+ a1+b1 a2+b2 an+bn 1 1 ? 1 1? 1 <6+2?2×3+3×4+?+n?n+1?? ? ? 1 1 ? 1 1?1 1 1 1 =6+2?2-3+3-4+?+n-n+1? ? ? 1 ? 1 1 5 1 1?1 =6+2?2-n+1?<6+4=12. ? ? 综上,原不等式成立.


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