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江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研测试数学(理)试题


启东中学 2015 届高三第二学期期初调研测试 理科数学试题
注 意 事 项

1.本试卷包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题,共 6 题) ,总分 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题纸上. 3.请认真核

对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符. 4.请用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题,在其它位置作答一律无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在 Y C 答题卡相应位置上。 Y 1.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c = ▲ . ▲ .

2. 由命题“? x∈R, x2+2x+m≤0”是假命题, 求得实数 m 的取值范围是(a, +∞), 则实数 a = 3.底面边长为 2 m,高为 1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2. ▲ .

4.圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a = 5.已知△ABC 中,∠B=45° ,AC=4,则△ABC 面积的最大值为 ▲ .

6.设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0,2? ] 上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? ▲ .

? 2 ? 7. 已知函数 y ? ? x 3 ? ?( x ? 1)
k 的取值范围是 ▲

x?2 x?2
.

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数

8.已知平面上四个互异的点 A、B、C、D 满足: AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD ? 0 ,则 ?ABC 的形状 是 ▲ .

?

??

?

9.设 x , y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为 2? x 2? y





10.在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 α,β,则有 cos2α+cos2β=1.

·1 ·

类比到空间中的一个正确命题是:在长方 体 ABCDA1B1C1D1 中,对角线 AC1 与相邻三个面所 成的角为 α, β, γ, 则 cos2α+cos2β+cos2γ= 11.已知点 P(m, 4) 是椭圆 ▲ _.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, a 2 b2

y

F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 ?PF1 F2 的内切圆的半

P

径为

3 ,则此椭圆的离心率为 ▲ 2



F1

F2
. ▲

x

12.若函数 f ( x ) ?

ln kx ? ln( x ? 1) 不存在零点,则实数 k 的取值范围是 ▲ 2

13.函数 f ( x) ? x 2 e x 在区间 (a, a ? 1) 上存在极值点,则实数 a 的取值范围为



14.设定义域为 (0,??) 的单调函数 f ( x ) ,对任意 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 ,若 x0 是 方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N * ) ,则实数 a = ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. -2x+b 15. (本小题满分为 14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

16. (本小题满分为 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos(

?
6

?

?
3

)( 0 ? x ? 5) ,点 A, B 分别是函数

y ? f ( x) 图象上的最高点和最低点.
(1)求点 A, B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A, B 分别在角 ? , ? (? , ? ? [0,2? ]) 的终边上,求 sin(

?
2

? 2 ? ) 的值.

17. (本小题满分为 14 分) 如图 1 所示,在 Rt△ ABC 中,AC=6,BC=3,∠ ABC=90° ,CD 为∠ ACB 的平分线,点 E 在线 段 AC 上,CE=4.如图 2 所示,将△ BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥ 平面 ACD,连结 AB,设
·2 ·

点 F 是 AB 的中点. (1)求证:DE⊥ 平面 BCD; (2)在图 2 中,若 EF∥ 平面 BDG,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 BDEG 的体 积.

18. (本小题满分为 16 分) 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧 化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算, 该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨) 之间的函数关系可近似地表示为:

?1 3 2 ? 3 x ? 80x ? 5040x x ? [120,144) ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值 y?? 1 2 ? x ? 200x ? 80000 x ? [144,500] ?2
为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国 家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

19. (本小题满分为 16 分) 设 A,B 分别为椭圆 点 (1,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点,椭圆的长轴长为 4 ,且 a 2 b2

3 ) 在该椭圆上. 2
·3 ·

(1)求椭圆的方程; (2)设 P 为直线 x ? 4 上不同于点 (4, 0) 的任意一点,若直线 AP 与椭圆相交于异于 A 的点 M , 证明:△ MBP 为钝角三角形.

20. (本小题满分为 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x . 2

(1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值,并指出极大值还是极小值; (2)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最值; (3)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1,??) 上,函数 f ( x ) 的图象在 g ( x) ?

2 3 x 的图象下方. 3

·4 ·

2015 届高三第二学期期初调研测试 数学(Ⅱ)加试题

22. (本小题满分为 10 分)如图,将长为 4,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 四个侧面,记底面上一边 AB ? t , ? 0 ? t ? 2? ,连接 A1B,A1C,A1D. (1)当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B-A1C-D 的值; (2)线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C ? 平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请说明 理由. A1 D1 C1 B1 1

t

2?t

t

2?t

A B C

D

23. (本小题满分为 10 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2S n?1 ? S n ? ? ( n ? N ,? 为常数) ,
*

a1 ? 2 , a2 ? 1 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求所有满足等式

Sn ? m 1 成立的正整数 , . m n ? S n ?1 ? m a m ? 1

·5 ·

2015 届高三寒假作业测试答案 数学(Ⅰ)试题
1.答案:4;由 log2x≤2,得 0<x≤4,即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a),由于 A? B,则 a>4,即 c=4; 2. 答案:1;由题意得命题“ ? x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以 Δ=4-4m<0,即 m>1,故实数 m 的取值范围是(1,+∞),从而实数 a 的值为 1. 3 2 1 2 3. 答案: 3 3; 由条件得斜高为 1 ? ( 3 ) 2 ? 2 (m). 从而全面积 S= × 2 +3× × 2× =3 3 (m2). 4 2 3 3 3 4. 答案:-4;圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线 x+y+2=0 |-1+1+2| 的距离为 = 2.由 22+( 2)2=2-a,得 a=-4. 2 5. 答案: 4 ? 4 2 ; S ?

1 ? 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 16 , sin AB ? BC ? AB ? BC , cos ? 2 4 4 4 2 AB ? BC
2 2

得 16 ? 2 AB ? BC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC , AB ? BC ? 8(2 ? 2 ) ,

6. 答案:

7? 1 3 ? ; sin x ? 3 cos x ? 2( sin x ? cos x) ? 2 sin(x ? ) ? a ,直线与三角 3 2 2 3

函数图象的交点,在 [0,2? ] 上,当 a ? 3 时,直线与三角函数图象恰有三个交点, 令 sin(x ?

?
3

)?

3 ? ? ? 2? ? x ? ? 2k? ? 或 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 x ? 2k? 或 3 3 2 3 3

3 3 7. 答案:(0,1),解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象
可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图象 与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范围为(0,1). 8. 答案:等腰三角形;

x ? 2k? ?

?

(k ? Z ) ,? 此时 x1 ? 0, x2 ?

?

, x3 ? 2? ,? x1 ? x 2 ? x3 ?

7? . 3

2 AD ? BD ? CD ? ( AD ? DB) ? ( AD ? DC) ? AB ? AC , AB ? AC ? BC ,
由 AB ? AC ? 2 AD ? BD ? CD ? 0 ,即 BC ? ( AB ? AC) ,由四边形垂直平分可得 ?ABC 的是 等腰三角形.
·6 ·

?

??

?

9.答案: 16; 法一; 由

3 3 因 x , y 均为正实数, 故 xy ? 4 ; ? ? 1化为 xy ? 8 ? x ? y ? 2 xy , 2? x 2? y

法二:由于

3 3 ? ? 1和 xy 都是对称式,故令 x=y=4. 2? x 2? y

10.答案:2;设长方体的棱长分别为 a,b,c,如图所示,所以 AC1 与下底 面所成角为∠C1AC,记 a2+b2 a2+c2 b2+c2 AC2 2 2 为 α, 所以 cos2α= 2= 2 , 同理 cos β = , cos γ = , 所以 cos2α+cos2β AC1 a +b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2 +cos2γ=2.答案:cos2α+cos2β+cos2γ=2 11. 答 案 :

3 1 1 ; 一 方 面 ?PF1 F2 的 面 积 为 (2a ? 2c) ? r ; 另 一 方 面 ?PF1 F2 的 面 积 为 y p ? 2c , 2 2 5
yp a , ∴ ( ? 1) ? c r

a ? c yp 1 1 ? (2a ? 2c) ? r ? y p ? 2c , ∴ (a ? c) ? r ? y p ? c , ∴ c r 2 2

, 又

yp ? 4∴ ?

a c

yp r

?1 ?

c 3 4 5 ? 1 ? ,∴椭圆的离心率为 e ? ? . 3 3 a 5 2

? ?kx ? 0 12. 答案: (0,4) ;由题意可知 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 0 ,由对数的性质可得 ? ? ln kx ? ? ln(x ? 1) ? 2

ln kx ? 2 ln(x ? 1) ? ln(x ? 1) 2 ,可得 kx ? ( x ? 1) 2 ? k ? ( x ? 1) ? x ? 1 ? 2, ( x ? ?1, x ? 0)
2

x

x

1 1 1 1 ? ?2, 或 x ? ? 2 ? x ? ? 2 ? 0 或 x ? ? 2 ? 4 , x x x x ln kx 1 ? ln( x ? 1) 不存在零点,只需 k 取 x ? ? 2 取值集合的补集, 要使函数 f ( x ) ? 2 x
由于 x ? 即 {x | 0 ? k ? 4} ,当 k ? 0 时,函数无意义,故 k 的取值范围应为: (0,4) 13. 答案: (?3,?2) ? (?1,0) ;函数 f ( x) ? x e 的导数为 y? ? 2xe ? x e ? xe ( x ? 2) ,令 y? ? 0 ,
2 x x 2 x x

则 x ? 0 或 x ? ?2 ,当 x ? (?2,0) 时 f ( x ) 单调递减,当 x ? (??,?2) 和 x ? (0,??) 时 f ( x ) 单调 递增 ? 0 和 2 是函数的极值点,因为函数 f ( x) ? x e 在区间 (a, a ? 1) 上存在极值点,所以
2 x

a ? ?2 ? a ? 1 或 a ? 0 ? a ? 1 ? ?3 ? a ? ?2 或 ? 1 ? a ? 0 ,
14. 答案:1;对任意的 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 ,又由 f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的单
·7 ·

调函数,则 f ( x) ? log2 x 为定值,设 t ? f ( x) ? log2 x ,则 f ( x) ? t ? log2 x ,又由 f (t ) ? 6 , 可 得 t ?l o 2 gt ? 6 , 可 解 得 t ? 4 , 故

1 , 又 x0 是 方 程 x ln 2 1 的零点,分析易 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,所以 x0 是函数 F ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? 4 ? log 2 x ? x ln 2 f ( x) ? 4 ? log 2 x, f ?( x) ?
1 1 1 ? 0, F (2) ? 1 ? ? 1? ? 0 ,故函数 F ( x) 的零点介于 (1,2) 之间,故 a ? 1 , ln 2 2 ln 2 ln 4

得 F (1) ? ?

故答案为: 1 二、解答题: 15. 解 (1)因为 f(x)是奇函数,且定义域为 R,所以 f(0)=0,-------------------------2 分 即 -1+b =0,解得 b=1. 2+a ---------------------------------------------------------4 分

1 - +1 2 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2----6 分 2 +a 4+a 1+a 经检验适合题意,∴a=2,b=1.-------------------------------------------------------7 分 -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).-----10 分 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0.------------------------------------------------------------12 分 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- ---------------------------------------------------14 分 3

·8 ·

17. 解:(1)证明:在题图 1 中,因为 AC=6,BC=3,∠ ABC=90° , 所以∠ACB=60° . 因为 CD 为∠ACB 的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30° , 所以 CD=2 3.------------------------==--------------------------------------------------2 分 又因为 CE=4,∠DCE=30° ,所以 DE=2.则 CD2+DE2=CE2, 所以∠CDE=90° ,即 DE⊥CD.-------------=-----------------------------------------5 分 在题图 2 中,因为平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE? 平面 ACD,所以 DE⊥平面 BCD.--------------------------------======----------------------------------7 分 (2)在题图 2 中,因为 EF∥平面 BDG,EF? 平面 ABC, 平面 ABC∩平面 BDG=BG, 所以 EF∥BG.--------------10 分 因为点 E 在线段 AC 上,CE=4,点 F 是 AB 的中点, 所以 AE=EG=CG=2. 过点 B 作 BH⊥CD 交于点 H.因为平面 BCD⊥平面 ACD,BH? 平面 BCD, 所以 BH⊥平面 ACD.-------------------------==-------------------------------------12 分

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3 1 1 1 由条件得 BH= .又 S△DEG= S△ACD= × AC· CD· sin 30° = 3, 2 3 3 2 1 1 3 3 所以三棱锥 BDEG 的体积为 V= S△DEG· BH= × 3× = .-------=------14 分 3 3 2 2 18. 解 (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S, 则 S=200x- ? 1 2 1 ?1 2 ? 2 x ? 200x ? 80000? =-2x +400x-80 000=-2(x-400) , ?2 ?

所以当 x∈[200,300]时,S<0,因此该单位不会获利.--------------------------3 分 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000,----------------------------------------------5 分 所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损.-------------------------7 分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为

?1 2 y ? 3 x ? 80x ? 5040 x ? [120,144) -------------------------------------------9 分 ?? x ? 1 x ? 80000? 200 x ? [144,500] x ?2
y 1 1 ①当 x∈[120,144)时, = x2-80x+5 040= (x-120)2+240, x 3 3 y 所以当 x=120 时, 取得最小值 240.-------------------------------------------------12 分 x y 1 80 000 ②当 x∈[144,500]时, = x+ -200≥2 x 2 x 1 80 000 x× -200=200, 2 x

1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200.因为 200<240,------15 分 2 x x 答:当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.----------16 分 19.解析: (1)由题意: 2a ? 4 ,所以 a ? 2 .所求椭圆方程为 又点 (1,

x2 y 2 ? ?1 . 4 b2

3 x2 ) 在椭圆上,可得 b2 ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 .-----------5 分 2 4

(2)证明:由(1)知: A(?2,0), B(2,0) .设 P(4, t ) , M ( xM , yM ) .

t 则直线 PA 的方程为: y ? ( x ? 2) .--------------------------------------------------7 分 6
t ? ? y ? ( x ? 2), 6 由? 得 (9 ? t 2 ) x2 ? 4t 2 x ? 4t 2 ? 36 ? 0 .----------------------------------8 分 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ?

因为直线 PA 与椭圆相交于异于 A 的点 M , 所以 ?2 ? xM ?

?4t 2 ?2t 2 ? 18 ,所以 .----------------------------------------10 分 x ? M 9 ? t2 9 ? t2
·10·

t 6t ?2t 2 ? 18 6t 由 yM ? ( xM ? 2) ,得 yM ? .所以 M ( , ). 6 9 ? t2 9 ? t2 9 ? t2
从而 BM ? (?

4t 2 6t , ) , BP ? (2, t ) .------------------------------------------12 分 2 9 ? t 9 ? t2 8t 2 6t 2 2t 2 ? ? ? ? 0 .------------------------------------14 分 9 ? t2 9 ? t2 9 ? t2

所以 BM ? BP ? ?

又 M , B , P 三点不共线,所以 ?MBP 为钝角.-------------------------------------15 分 所以△ MBP 为钝角三角形.----------------------------------------------------------16 分 20. 解: (1) f ( x ) 的定义域是 (0,??) f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ? ? x x x

当 x ? (0,1) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0,1) 上递减;-------------------------------2 分 当 x ? (1,??) 时 f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (1,??) 上递增,

1 ,无极大值.------------------------------------------4 分 2 1 2 1 (2) f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x) ? x ? ? 0 恒成立对 x ? [1, e] , 2 x

? f ( x) 的极小值是 f (1) ?

? f ( x) 在 [1, e] 上递增,------------------------------------------------------------------6 分
1 2 1 e ? 1, f ( x) min ? f (1) ? . --------------------------------10 分 2 2 1 2 2 3 (3)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? x ( x ? 1) 2 3 ? f ( x) max ? f (e) ?
h?( x) ? x ? 1 ? 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? 2x 2 ? ?? ? 0 在 [1,??) 上恒成立, x x x

? h( x) 在区间 [1,??) 上递减,-----------------------------------------------------------12 分
? h( x) ? h(1) ? 1 2 1 ? ? ? ? 0 -----------------------------------------------------------15 分 2 3 6

? 在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x) ?

2 3 x 的图象下方--------------16 分 3

数学(Ⅱ)加试题
21.(本小题共 2 小题,满分 20 分) . B.解:由特征值、特征向量定义可知,A ? 1 ? ?1 ? 1 ,
?a b ? ? 1? ? 1? ? a ? b ? ?1, 即? ? ? ?1? ? ?1 ? ? ?1? ,得 ?c ? d ? 1. c d ? ?? ? ? ? ?
·11·

------------------5 分

?3a ? 2b ? 12, 同理可得 ? 解得 a ? 2,b ? 3,c ? 2,d ? 1 . ?3c ? 2d ? 8,

因此 ad-bc=2-6=-4.

---------------------10 分 - --------2 分

C.解: (1)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3x 由?

? ? x ? ? cos? 代入得 ? sin ? ? 3? cos? ? ? ? ( ? ? R ) . 3 ? y ? ? sin ? ? 4? ( ? ? 0) ) ( 也可以是: ? ? 或 ? ? ----------------5 分 3 3 ? ? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 ? (2) ? ? ? ? ? 3 ? 2 得 ? ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B ( ? 2 , ) , 3 3
则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |?

( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ?1 ? 2 ? 15 .

------10 分

(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分) 22.解:根据题意可知,AA1, AB,AD 两两垂直, 以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系: (1)长方体体积为 V ? t ? 2 ? t ? ?1 ? t ? 2 ? t ? ? ? ? B1 A1

z
D1 C1

t ? 2?t ? ? ?1 ? 2 ?

2

O(A) B

D y C

x

当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1

-----------------------1 分

所以当长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形 则 A1 ? 0,0,1? , B ?1,0,0 ? , C ?1,1,0 ? , A1B ? ?1,0, ?1? , BC ? ? 0,1,0 ? , 设平面 A1BC 的法向量 m ? ? x, y, z ? ,则 ? 同理可得平面 A1CD 的法向量 n ? ? 0,1,1? 所以, cos m, n ?

?x ? z ? 0 ,取 x ? z ? 1 ,得: m ? ?1,0,1? , ?y ? 0

m?n m?n

?

1 2

-----------------------------4 分

又二面角 B-A1C-D 为钝角,故值是 120?

---------------------------5 分

(也可以通过证明 B1A ? 平面 A1BC 写出平面 A1BC 的法向量)
·12·

(2)根据题意有 B ?t,0,0? , C ?t,2 ? t,0? , D ? 0,2 ? t,0? ,若线段 A1C 上存在一点 P 满足要求, 不妨 A ,可得 P 1P ? ? AC 1

??t, ? ? 2 ? t ? ,1? ? ?

BP ? ? ?t ? t , ? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? , BD ? ? ?t , 2 ? t ,0 ?
2 ? ? ? BP ? A1C ? 0 ?t ? ?t ? t ? ? ? ? 2 ? t ? ? ?1 ? ? ? ? 0 即: ? ? 2 2 BD ? A C ? 0 ? ? ? 1 ??t ? ? 2 ? t ? ? 0 2 解得: t ? 1, ? ? ------------------------------------------------------------------9 分 3

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点 P, 位置是线段 A1C 上 A 1P : PC ? 2 :1 处. ---------------------------------------------10 分

当 m ? 2 时,由(*)得 2 ? 2 ? 6 ,所以无正整数解;
n n 当 m ? 3 时,由(*)得 2 ? 8 ,所以 n ? 3 .

综上可知,存在符合条件的正整数 m ? n ? 3 .

---------------------------10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·13·


江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研测试数学(理)试题

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江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研测试数学(理)试题

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