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【2014潍坊市一模】山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试 数学(文)试题 Word版含解析

时间:2015-01-12


山东省潍坊市 2014 届高三 3 月模拟考试 数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若复数 2 满足 z(1+i)=2i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( (A)(1,1) (B)(1,-l) (C)(-l,1) (D)(-l,-l) 【答案】A 【解析】 试题分析: )

z ?1 ? i ? ? 2i ? z ?

2i ?1 ? i ? 2i 2 ? 2i ? ? ? 1? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

所以在复平面内 z 对应的点是 ?1,1? ,故选 A. 考点:1、复数的运算;2、复平面.

2.

设全集 U=R,集合 A={ x | 2x ? 1},B={ x | ?1 ? x ? 5 },则 (? U A) (A)[-1,0) (B)(0,5] (C)[-1,0] (D)[0,5]

B 等于(

)

3. 已知命题 p、q, “ ? p 为真”是“p ? q 为假”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

)

试题分析:因为 ? p 为真,所以 p 为假,那么 p ? q 为假,所以“ ? p 为真”是“ p ? q 为假”的充分条件; 反过来,若“ p ? q 为假” ,则, “ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”或“ p 假 q 假” ,所以由“ p ? q 为假”不能 推出 ? p 为真;
1

综上可知, “ ? p 为真”是“ p ? q 为假”的充分不必要条件. 考点:命题与充要条件.

4. 若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( (A) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 (C) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (B) ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 3 (D) ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4

)

5. 运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为( (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014

)

【答案】A 【解析】 试题分析: n ? 1 ,条件 n ? 2014 成立,第一次运行, s ? ? ?1? ? 1, k ? 2, n ? 2 ;
0

2

条件 n ? 2014 成立,第二次运行, s ? ? ?1? ? 1 ? ? ?1? ? 2, k ? 3, n ? 3
0 1

6.高三某班有学生 56 人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( ) (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21 【答案】C 【解析】 试题分析:从 56 名学生中抽取 4 人,用系统抽样法,则分段间隔为 14,若第一段抽出的号码为 5,则其它 段抽取的号应为:19,33,47;所以答案应选 C. 考点:系统抽样. 7. 函 数 y ? a
| x|

与 y ? sin ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) 在 同 一 直 角 坐 标 系 下 的 图 象 可 能 是

3

8. 三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA ? 平面 ABC,AB ? BC,又 SA=AB= BC=1,则球 O 的表 面积为( ) (A)

3 ? 2

(B)

3 ? 2

(C) 3 ? 【答案】C

(D) 12 ?

【解析】 试题分析:因为 AB ? BC ,所以 AC 是 ?ABC 所在截面圆的直径, 又因为 SA ? 平面 ABC ,所以 ?SAC 所在的截面圆是球的大圆
4

9.

对任意实数 a,b 定义运算“ ? ” : a ?b ? ?

?b, a ? b ? 1, 设 f ( x) ? ( x2 ?1) ? (4 ? x) , 若 函 数 ?a, a ? b ? 1.
)

y ? f ( x) ? k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是(
(A)(-2,1) (C)[-2,0) (B)[0,1] (D)[-2,1)

5

考点:1、新定义;2、分段函数;3、数形结合的思想.

10. 如图,已知直线 l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两点,且 A、B 两点在抛物线 C 准 线上的射影分别是 M、N,若|AM|=2|BN|,则 k 的值是( ) (A)

2

1 3 2 2 3

(B)

2 3
2 2

(C)

(D)

6

7

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11 . 已 知 角 ? 的 顶 点 与 原 点 重 合 , 始 边 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合 , 终 边 上 一 点 的 坐 标 为 (3 , 4) , 则 co s 2 ?= . 【答案】 ? 【解析】

7 25

8

试题分析:根据三角函数的定义知: sin ? ?
2

y 4 4 ? ? 2 2 r 5 3 ?4

32 7 ? 4? 所以, cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ?? 25 25 ?5?
2

所以,答案应填 ?

7 . 25

考点:1、三角函数的定义;2、二倍角公式.

12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

【答案】12 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,高为 4,底面两直角边长分别为 2 和 3,所以,该三棱柱的体积为: 所以答案应填:12 考点:1、三视图;2、棱柱的体积.

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 12 2

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 13.若 x、y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=x+3y 的最大值是 ? y ? x ?1 ?
【答案】11 【解析】

.

试题分析:不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示:
9

14.已知 a>b>0,ab=1,则

a 2 ? b2 的最小值为 a ?b



【答案】 2 2 【解析】 试题分析:

a ? b ? 0,? a ? b ? 0
2

a2 ? b2 ? a ? b ? ? 2ab 2 ? ? ? ? a ? b? ? ?2 a ?b a ?b a ?b
当且仅当 ? a ? b ? ?

? a ? b? ?

2 ?2 2 a ?b

2 即: a ? b ? 2 时等号成立. a ?b

所以答案应填 2 2 .
10

考点:基本不等式.

15 .已知函数 y ? f ( x) 为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f (1 ? x ) ? ? f (1? x ).当 x ? (2, 3) 时,

f ( x) ? log 2 ( x ?1)
给出以下 4 个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图象关于点(k,0)(k ? Z)成中心对称; ②函数 y ?| f ( x) | 是以 2 为周期的周期函数; ③当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? ? log 2 (1 ? x) ; ④函数 y ? f (| x |) 在(k,k+1)( k ? Z)上单调递增. 其一中所有正确结论的序号为

11

由图象可知①②正确,④不正确; 另外,当 x ? ? ?1,0? 时, 2 ? x ? ? 2,3? 所以, f ? 2 ? x ? ? log2 ? 2 ? x ?1? ? log2 ?1 ? x ? 又因为 f ? x ? 是以 2 这周期的奇函数 所以, f ? 2 ? x ? ? f ? ?x ? ? ? f ? x ? 所以, ? f ? x ? ? log2 ?1 ? x ?
12

所以, f ? x ? ? ? log2 ?1 ? x ? , x ? ? ?1,0? ,所以③也正确 故答案应填:①②③ 考点: 函数的图象与性质的综合应用

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x . (I)求函数 y ? f ( x) 在 x ? [0, 2? ] 上的单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 m=(a,b),n=(f(C),1)且 m//n,求 B.

(Ⅱ)由题意 f ?C ? ? sin C ? cos C,

m / / n ,?a ?1 ? f ?C ? ? b ? 0 ,即 a ? b ?sinC? cosC? ??????????????7 分

13

由正弦定理:

a b ? , sin A sin B

得: sinA ? sin B ?sin C ? cos C ? ? sinBsinC? sinBcosC ,????????????8 分 在 ?ABC 中, sin A ? sin ? B ? C ? ? sinBcosC? cosBsinC,

?sinBsinC ? cosBsinC, ???????????????????????????10 分
又 sin C ? 0,?sinB ? cosB ,?????????????????????????11 分

? tan B ? 1 ,又 0 ? B ? ? ,? B ?

?
4

.????????????????????12 分

考点:1、三角函数的性质;2、正弦定理;3、向量共线的条件.

17.(本小题满分 12 分) 如图,底面是等腰梯形的四棱锥 E—ABCD 中,EA ? 平面 ABCD,AB//CD,AB=2CD, ? ABC= (I)设 F 为 EA 的中点,证明:DF//平面 EBC; (II)若 AE=AB=2,求三棱锥 B—CDE 的体积.

? . 3

【答案】(II)

3 6

14



FG/ /CD

所以四边形 CDFG 为平行四边形,??????????????4 分

DF / / CG ,????????????????????????5 分
又 DF ? ? 平面 EBC

CG ? 平面 EBC ? DF / / 平面 EBC ????????????????????????6 分

(II)等腰梯形 ABC 中, 作 CH ? AB 于 H ,则 BH ? 在 Rt ?BHC 中, ?ABC ? 60 ,则 CH ? 又 EA ? 平面 ACD , 所以,三棱锥 B ? CDE 的体积 VB ?CDE ? VE ? BDC ? = ? ?1?

1 , 2

1 3 ??????????9 分 tan 60 ? 2 2

1 ? S?BCD ? EA ????????10 分 3

1 1 3 2

3 3 ????????????????????????12 分 ?2 ? 2 6

考点:1、直线与平面平行的判定;2、棱锥的体积.

15

18. (本小题满分 l2 分) 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心 角均为 15 ,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

19.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? an ? n2 ?1 ,数列{ bn }满足 3n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ,且 b1 ? 3 . (I)求 an , bn ;

16

(Ⅱ)设 Tn 为数列{ bn }的前 n 项和,求 Tn . 【答案】(I) an ? 2n ? 1; bn ? 【解析】 试题分析:(I) 由 Sn ? an ? n2 ?1 构造另一个等式 Sn?1 ? an?1 ? (n ?1)2 ?1, 两式相减,根据 Sn 与 an 的关系 可求数列 ?an ? 的通项公式 an ,再将所得 an 的表达式代入到 3n ? bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan 中即可求数列{ bn } 的通项公式;

4n ? 1 15 4n ? 5 ? ;(Ⅱ) Tn ? n ?1 3 2 2 ? 3n ?1

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x .

17

(I)判断

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (III)令 g ( x) ?

1 ax2 ? ax ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) ? x

【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I)

f ( x) 在 ? 0, ??? 单调递增;(Ⅱ) 2 (III) x

? ? x? ?

f ? x? 1 ,先求其定义域:? 0, ??? ,在其定义域上由 ? ? x ? 导数符号判 ? x2 ? 1 ? x x

断的的单调性.

设 h ? x ? ? x ? (2 ? a) x ? 1 ,
2

18

则 h ? x ? ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 ,且一根在 ? 0, ? 内, 不妨设 0 ? x1 ?

? ?

1? e?

1 ,由于 x1 ? x2 ? 1,所以, x2 ? e ??????????????????11 分 e

由于 h ? 0? ? 1 ,则只需 h ? ? ? 0 ,即 解得: a ? e ?

?1? ?e?

1 1 ? ? 2 ? a ? ? 1 ? 0, ????????????12 分 2 e e

1 ? 2 ?????????????????????????????13 分 e

考点:1、求导法则;2、函数的零点;3、导数在研究函数性质中的应用.

21.(本小题满分 14 分) 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 3 2 ,其中一条渐近线的方程为 x ? 2 y ? 0 .以双曲线 C 的实 a 2 b2

轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E,过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A、B 两点. (I)求椭圆 E 的方程; (II)若点 P 为椭圆的左顶点, PG ? 2GO ,求 | GA |2 ? | GB |2 的取值范围; (Ⅲ)若椭圆上点 P 满足|PA|=|PB|,求证

1 1 2 ? ? 为定值. 2 2 | OA | | OB | | OP |2

B ? ? x1, ? y1 ? ,由

2 2 x12 2 y12 ? ? 1 ,将 GA ? GB 表示成 x1 的函数,从而求出它的取值范围. 3 3

19

(Ⅲ) ①若 A, B 在椭圆的短轴顶点上,则点 P 在椭圆的长轴顶点上, OA ? OB ? b, OP ? a 可得

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OP
2

? 2 ;②若 A, B 在椭圆的长轴顶点时,则点 P 在椭圆的短轴顶点上, 1 OA
2

OA ? OB ? a, OP ? b ,可得

?

1 OB
2

?

2 OP
2

? 2 ③当点 A, B, P 不是椭圆顶点时,设直线 l 的方程

? y ? kx 3 3k 2 1 1 2 ? 2 , y ? 为 y ? kx ? k ? 0? ,由 ? x 2 2 y 2 于是写出 的 , 解得: x12 ? ? ? 1 2 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k ?1 OA OB OP ? ? 3 ?3
表达式并化简可得定值.

20

= x1 ?
2



11 ???????????????????????????????8 分 3 11 11 20 2 2 ? x1 ? ? ? ? 3, 3 ? ,? x1 ? ? 0,3? ,? 3 ? x1 ? 3 ? 3

2 2 ?11 20 ? ? GA ? GB 的取值范围是 ? , ? .??????????????????9 分 ?3 3 ?

2?2 ? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?2 ? ? ? ? 2 2 2 3 ?1 ? k 2 ? 3 ?1 ? k 2 ? 3 ?1 ? k 2 ? OA OB OP

1

1

2

2

综上

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OP
2

为定值 2.????????????????????????14 分

考点:1、双曲线、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的位置关系.

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