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双曲线的简单几何性质2


双曲线的几何性质 (二)

复习与回顾
双 曲
2

性 质 图象
y
o

范围

线
x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)
2

r />对称 性

顶点

渐近
线

离心 率

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b




椭 圆 双曲线

方程
2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 2 a b

a b c关系

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

图象
F1

0

F2

X

F1

0

范围

|x|?a,|y|≤b
对称性

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b
c (e?1) e= a

对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点
顶点

(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0< e < 1 )

离心率

渐近线


a2 x?? c

y=±

b x a

准线

a2 x?? c

学会总结
(1)双曲线是等轴双曲线。 (2)双曲线的标准方程为 x ? y ? m( m ? 0)
2 2



(3)双曲线的两渐近线的方程为 y (4)双曲线的离心率 e ? 2 。

? ?x



(5)双曲线的渐近线是互相垂直的两条直线。 以上是关于“等轴双曲线”的五个等价命题。

例1 . 回答下列问题:
y x ? ?0 5 12

y x ? ?1 16 9

2

2

(13,0),(-13,0) 实半轴 方程(1)的焦点坐标____________; 12 渐近线方程 长____;
10 虚轴长__; 6 渐近线方程 方程(2)的焦距___; 3 y ? 4x ? 0 是


(1)

(2)

也就是说:

具有相同 的渐近线。

例2.已知几何性质求曲线的标准方程: (1).实轴长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上. (2).两顶点的距离是8,两焦点的距离是10. (3).渐近线的方程是 ,且经过点(3,-1).

1.求以椭圆 的焦点为顶点,又 以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程?
解:

2.求两渐近线互相垂直的,且经过点(1,2) 的双曲线方程?
解:

一、选择题:

一、选择题:

一、选择题:

二、填空题

双曲线型冷却塔外型

例题讲解
例2、双曲线型冷却塔外型,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

解:如图,建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xoy, 使小圆的直径AA’在x轴上,圆心与原点重合。这时,上、下口的 直径CC’,BB’都平行于x轴,且|CC’|=13*2,|BB’|=25*2.

y C′ A′ 0 13 C 12 A x

B′

25

B

例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的 双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同 一个圆上. Y
F1
B2

X
A2

F’1

A1

o
B1

F’2

F2

x2 ? 证明:(1)设已知双曲线的方程是: a 2 x 渐近线为: ? a

2 2 y x 则它的共轭双曲线方程是: ? 2 ?1 2 b a y x x y 渐近线为: ? ? 0 可化为: ? ? 0

y2 ?1 2 b y ? 0 b

故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)

b

a

a

b

它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),
2 2 ? ∵ c ? a ? b c ? a ? b ∴c=c' 2 2

所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 上. 问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗?

1.重点之一是双曲线的几何性质—(渐 近线).
2.重点之二是关于等轴双曲线的结论。 3.重点之三是学会比较,学会归纳,学 会运用等 。


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