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2015绵阳一诊文科数学


1

2

3

4

绵阳市高 2012 级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BBDDC BACCA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?



3 5

12.-1

13.-2

14.15

15.(0,2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ……………………………6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .…………………………………7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 6 4 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

? 2 sin
= 分

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ……………………………………10 分 12 4 3 ? ? ? ?
4 cos 3 ? 2 cos 4 sin 3
3 ?1 .…………………………………………………………12 2

?2 ? t ? 0, 2) .……………………3 分 17.解:(Ⅰ ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .……4 分

2) 上单调递减,不存在最小值; ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1, ? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增, ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在;

2) 上单调递增, ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. …………………………11 分 综上: m ? 1 . …………………………………………………………………12 分 18.解:(Ⅰ ) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 , 5
2 6 , 5

又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ?

5

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ?4 6. 2 2 5 (Ⅱ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平 A 行四边形 ABCE ,如图,
∴ S ?ABC ? 则

………………6 分

E D C

cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ?

1 5



BE=2BD=7,CE=AB=5, 在 △ BCE 中 , 由 余 弦 定 理 : B

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .
即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 解得: CB ? 4 . ………………………………………………………………10 分 19.解:(Ⅰ ) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
2

1 5

3? 2 ? d ? 9, ?3a1 ? 2 得: ? 解得: a1 ? 2,d ? 1 . ?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? (a ? 7d ), 1 1 ? 1
∴ an ? n ? 1 , S n ?

n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . …………………………………5 分 2 2 2
………………………………………………6 分

(Ⅱ) 由题知 cn ? n2 ? ? (n ? 1) . 若使 {cn } 为单调递增数列,

则 cn ?1 ? cn ? (n ? 1)2 ? ? (n ? 2) ? [n2 ? ? (n ? 1)] = 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n∈N*恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n∈N*恒成立, 又 ? (n) ? ?2n ? 1 是单调递减的, ∴ 当 n ? 1 时, ? (n) max =-3, ∴ ? ? ?3 . …………………………………………………………………12 分 20.(Ⅰ)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .…………………………1 分 由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , ………………… 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .………………………………………………………… 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ………………………………………………………………… 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,……………………………………8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 ,
6

………………………………… 10 分

∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ……………………………13 分 21.解:(Ⅰ) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x

1 , k ? f ?(1) ? 1 ,…………………………………………………2 分 2 故 f ( x) 点( 1, f (1) )处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .……………………3 分
ax 2 ? bx ? 1 a 2 . x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2 1 ? bx (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x
(Ⅱ)由 f ?x? ? ①若 b≤0,

? ?) . 由 x ? 0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
………………………………………… ……5 分 ②若 b ? 0 ,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, ),单调递减区间是( ,+∞). b b
当0? x ? ……………………………………… ……7 分 (2) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b 2 ? 4a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减,

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ,x2 ? . 2a 2a

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ),单调递减区间是( , 2a 2a +∞).………………………………………………………………9 分 综上所述: ? ?) ; 当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 当 a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0 , (

1 1 ),单调递减区间是( ,+∞); b b
b ? b 2 ? 4a ),单调递减区间是 2a

b ? b 2 ? 4a ,+∞). ……………………………………………………………10 分 2a

7

(Ⅲ)由题意知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值. 由(II)知, 故

b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点, 2a

b ? b 2 ? 4a =2,整理得 ? 2b ? ?1 ? 4a . 2a 于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 , 得x?

1 ?4. x

1 1 1 0 ,) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递增; , 当 x?( 当 x ? ( ,? ?) 4 4 4

时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.

1 1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4 4 故 g (?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a) ? ?1 ? 4a ? ?2b ,
因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln ∴ ln(?a) ? ?2b .……………………………………………………………14 分
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