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2001——2011近十年高考数学全国卷2试题及解析


2001 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类) 第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并

收回.

参考公式: 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧 ?

sin a cos ? ?
cosa sin ? ? cosa cos ? ?

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2
1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2

1 (c ? ? c)l 2

其中 c′、c 分别表示上、下底面周 长, l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体 ?

1 sin a sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2

1 ( S ? ? S ?S ? S )h 3

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

(1) 若 siniθcosθ>0,则 θ 在 (A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、四象限

( (D) 第二、四象限 (

)

(2) 过点 A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线 x+y-2 = 0 上的圆的方程是 (A) (x-3) +(y+1) = 4 (C) (x-1) +(y-1) = 4
2 2 2 2

)

(B) (x+3) +(y-1) = 4 (D) (x+1) 2+(y+1) 2 = 4

2

2

(3) 设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 ( (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 )

第 1 页

(4) 若定义在区间(-1,0)的函数 f (x) = log2a(x+1)满足 f (x)>0,则 a 的取值范围是 ( (A)( 0, ) )

1 2

(B) ? 0, ? 2

? ?

1? ?

(C) (

1 ,+∞) 2

(D) (0,+∞)

(5) 极坐标方程 ? ? 2 sin(? ?

?
4

) 的图形是

(

)

(6) 函数 y = cos x+1(-π≤x≤0)的反函数是 (A) y =-arc cos (x-1)(0≤x≤2) (C) y = arc cos (x-1)(0≤x≤2) (B) y = π-arc cos (x-1)(0≤x≤2) (D) y = π+arc cos (x-1)(0≤x≤2)

(

)

(7) 若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0) F2 (3,0),则其离心率为 (A)

( (D)

)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 2

1 4
( )

(8) 若 0<α<β< (A) a<b

? ,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 4
(B) a>b (C) ab<1 (D) ab>2

(9) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB ?

2BB1 ,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为
( )

(A) 60°

(B) 90°

(C) 105°

(D) 75°

(10) 设 f (x)、g (x)都是单调函数,有如下四个命题: ① 若 f (x)单调递增,g (x)单调递增,则 f (x)-g (x)单调递增; ② 若 f (x)单调递增,g (x)单调递减,则 f (x)-g (x)单调递增; ③ 若 f (x)单调递减,g (x)单调递增,则 f (x)-g (x)单调递减; ④ 若 f (x)单调递减,g (x)单调递减,则 f (x)-g (x)单调递减. 其中,正确的命题是 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ ( )

(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记 三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3.

第 2 页

若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α,则 (A) P3>P2>P1 (B) P3>P2 = P1

(

) (C) P3 = P2>P1 (D) P3 = P2 = P1

(12) 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它 们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通 过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以分开 沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为 (A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19 ( )

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. (13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的侧面积是
新疆

王新敞
奎屯

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上.若 PF1⊥PF2,则点 P 到 (14)双曲线 9 16
x 轴的距离为
王新敞
奎屯 新疆

(15)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若{Sn}是等差数列,则 q=
王新敞
奎屯 新疆

(16)圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

王新敞
奎屯

新疆

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中,∠ABC = 90° ,SA⊥面 ABCD,SA = AB = BC = 1, AD ?

1 . 2

(Ⅰ)求四棱锥 S—ABCD 的体积; (Ⅱ)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.

第 3 页

(18) (本小题满分 12 分) 已知复数 z1 = i (1-i) 3. (Ⅰ)求 arg z1 及 z1 ; (Ⅱ)当复数 z 满足 z1 =1,求 z ? z1 的最大值.

(19) (本小题满分 12 分) 设抛物线 y2 =2px (p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在 抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

(20) (本小题满分 12 分) 已知 i,m,n 是正整数,且 1<i≤m<n. (Ⅰ)证明 n Pm ? m Pn ;
i i i i

(Ⅱ)证明(1+m) n> (1+n) m.
第 4 页

(21) (本小题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产 业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度当地旅游业收入 5

估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增 加

1 . 4
(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an,bn

的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

(22) (本小题满分 14 分) 设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x = 1 对称.对任意 x1,x2∈[0, 都有 f (x1+x2) = f (x1) · (x2).且 f (1) = a>0. f (Ⅰ)求 f (

1 ] 2

1 1 ) 及 f ( ); 2 4 1 ),求 lim ?ln a n ? . n ?? 2n
第 5 页

(Ⅱ)证明 f (x) 是周期函数; (Ⅲ)记 an = f (2n+

2002 年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理及答案
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.圆 ( x ? 1) ? y ? 1的圆心到直线 y ?
2 2

3 x 的距离是 3
C.1 D. 3

A.

1 2

B.

3 2

2.复数 ( A. ? i

1 3 3 ? i ) 的值是 2 2
B. i C. ? 1 D.1

3.不等式 (1 ? x)(1? | x |) ? 0 的解集是 A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | x ? 0 且 x ? ?1} D. {x | x ? 1 且 x ? ?1}

4.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是

第 6 页

? 5? B. ( , ? ) , ) ? (? , ) 4 4 2 4 ? 5? ? 5? 3? C. ( , D. ( , ? ) ? ( ) , ) 4 4 4 4 2 k 1 k 1 5.设集合 M ? {x | x ? ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则 2 4 4 2 A. M ? N B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?
A. (

? ?

6.点 P(1,0) 到曲线 ?

?x ? t 2 ? y ? 2t

(其中参数 t ? R )上的点的最短距离为

A.0

B.1

C.

2

D.2

7.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴 截面顶角的余弦值是 A.

3 4

B.

4 5

C.

3 5

D. ?

3 5

8.正六棱柱 ABCDEF ?

A1 B1C1 D1 E1 F1 的底面边长为 1,侧棱长为 2 ,则这个棱柱侧面对

角线 E1 D 与 BC1 所成的角是 A. 90?
2

B. 60?

C. 45?

D. 30?

9.函数 y ? x ? bx ? c ( ? [0,??) )是单调函数的充要条件是 A. b ? 0 10.函数 y ? 1 ? B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0

1 的图象是 x ?1
y
y
y

y

1 O 1

1
1

1 -1

x

O

1

x

-1

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

11.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有 A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 12.据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》:―2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%‖,如果―十?五‖期间(2001 年-2005 年)每年的国内生产总值 都按此年增长率增长,那么到―十?五‖末我国国内年生产总值约为 A.115000 亿元 B.120000 亿元 C.127000 亿元 D.135000 亿元

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线.

第 7 页

13.函数 y ? a 在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为 3,则 a =
x

14.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k
2 2

?

15. ( x ? 1)( x ? 2) 展开式中 x 的系数是
2 7
3

16.已知 f ( x ) ?

x2 1 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) = 2 2 3 4 1?x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 sin 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1 , ? ? (0,
2

?
2

) ,求 sin ? 、 tg? 的值

王新敞
奎屯

新疆

C

18.如图,正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM
王新敞
奎屯 新疆

? BN ? a

D P M B N A F Q E

(0 ?

a? 2)

(1)求 MN 的长; (2) a 为何值时, MN 的长最小; (3)当 MN 的长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成二面角 ? 的大小

王新敞
奎屯

新疆

19.设点 P 到点 (?1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ,到 x 、 y 轴的距离之比为 2,求 m 的取值范 围
王新敞
奎屯 新疆

第 8 页

20.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每
王新敞
奎屯 新疆

年新增汽车数量不应超过多少辆?

21.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R
2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值

王新敞
奎屯

新疆

22.设数列 {a n } 满足: a n ?1 (I)当 a1 (II)当 a1

? a n ? nan ? 1 , n ? 1,2,3,?
2

? 2 时,求 a 2 , a3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式;

? 3 时,证明对所的 n ? 1 ,有

(i) a n ? n ? 2 (ii)

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? an 2

第 9 页

2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)


参考公式: 三角函数的积化和差公式:

学(理工农医类)
正棱台、圆台的侧面积公式

1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
1 cos? ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
1 cos? ? cos ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )] ? ? 2
1 sin ? ? sin ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )] ? ? 2

S台侧 ?

1 (c ? ? c)l 2

其中 c ? 、 c 分别表示

上、下底面周长, l 表示斜高或母线长. 球体的体积公式: V球 ? 4 ?R 3 ,其中 R 3 表示球的半径.
王新敞
奎屯 新疆

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的 1.已知 x ? (? (A) 7 24 2.圆锥曲线 ? ?

?
2

,0), cos x ? (B) ?

4 ,则 tg 2 x ? 5
(C) 24 7 (D) ?





7 24

24 7
( )

8 sin ? 的准线方程是 cos2 ? (A) ? cos? ? ?2 (B) ? cos? ? 2 (C) ? sin ? ? 2

(D) ? sin? ? ?2 ( )

3.设函数 f ( x) ? ? ?

?2 ? x ? 1 x ? 0 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是 x?0 ?x 2 ?
(B)( ? 1 , ? ? )
第 10 页

(A)( ? 1 ,1)

(C)( ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) 4.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值为 (A) 1? 2 (B) 2 ? 1

(D)( ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? ) ( ) (D)2

(C) 2

5.已知圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ( a 的弦长为 2 3 时,则 a (A) 2 (B) 2 ? 2

? 0 )及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得
( )

(C) 2 ? 1

(D) 2 ? 1 )

6.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( (A) 2?R
2

(B) ?R 2

9 4

(C) ?R 2

8 3

(D) ?R 2

3 2

7.已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)( x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的的等差数列,则
4

| m ? n |?
(A)1 (B) 3 4 (C) 1 2 (D)





3 8

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0),直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两 点,MN 中点的横坐标为 ? (A)

2 ,则此双曲线的方程是 3
(D)





x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (C) ? ?1 4 3 5 2 ? 3? ?1 9.函数 f ( x) ? sin x , x ? [ , ] 的反函数 f ( x) ? 2 2
x2 y2 ? ?1 3 4
(B) (A) ? arcsin x x ? [?1 ,1] (C) ? (B) ? ? (D) ?

x2 y2 ? ?1 2 5
( )

? arcsin x x ? [?1 ,1]
x ? [?1 ,1]

? arcsin x x ? [?1 ,1]

? arcsin x

10.已知长方形的四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 的夹角 ? 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的 点 P2 、 P3 和 P4 (入射角等于反射角),设 P4 的坐标为( x 4 ,0),若 1 ? x4 ? 2 ,则 tg ? 的取值范围是 (A)( 1 ,1) 3 11. lim (B)( ( )

1 2 , ) 3 3

(C)(

2 1 , ) 5 2

(D)( 2 ,
5

2 ) 3


2 2 2 C 2 ? C 32 ? C 4 ? ? ? C n ? n ?? n(C 1 ? C 1 ? C 1 ? ? ? C 1 ) 2 3 4 n



(A)3

(B) 1 3

(C)

1 6

(D)6

第 11 页

12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( (A) 3? (B) 4? (C) 3 3? (D) 6?



2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)



学(理工农医类)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 把答案填在题中横线上
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

9 13. ( x 2 ? 1 ) 9 的展开式中 x 系数是 2x

14.使 log 2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是 15.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图 着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种 (以数字作答)
王新敞
奎屯 新疆

2 3 1 4 5

16.下列 5 个正方体图形中, l 是正方体的一条对 角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 l ? 面 MNP 的图形的序号是
P M P

(写出所有符合要求的图形序号)

P N l M l N P M N l M P M l N l N











三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知复数 z 的辐角为 60? ,且 | z ? 1 | 是 | z | 和 | z ? 2 | 的等比中项,求 | z |

18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角 形, ?ACB ? 90? ,侧棱 AA1 ? 2 ,D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中 点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G A
1

C
1

B D
1

E K
第 12 页

GC

A

F

B

(I) 求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) (II) 求点 A1 到平面 AED 的距离

19.(本小题满分 12 分)

已知 c ? 0 ,设 Q:不等式 x? | x ? 2c |? 1的解集为 R

P:函数 y ? c x 在 R 上单调递减

如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围

y O 岸 线 20.(本小题满分 12 分) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于 海

北 东 x

?
O

O

2 )方向 300km 的海面 P 10 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45? 方向移动,台风侵袭的范围 为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问
城市 O(如图)的东偏南 ? (? ? arccos 几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

r ( t )

P
O

45? P

21.(本小题满分 14 分) 已知常数 a

? 0 ,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 4a ,O 为 AB 的中点,点 E、F、

BE CF DG ,P 为 GE 与 OF 的交点(如图),问是 ? ? BC CD DA 否存在两个定点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若 不存在,请说明理由
G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且
王新敞
奎屯 新疆

第 13 页

y D F P G A O B x C E

22.(本小题满分 12 分,附加题 4 分) (I)设 {a n } 是集合 {2 ? 2 |
s t

0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中所有的数从小到大排列成的数列,

即 a1 ? 3 , a 2 ? 5 , a3 ? 6 , a 4 ? 9 , a 5 ? 10 , a 6 ? 12 ,? 将数列 {a n } 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表: 3 5 9 — 10 — 6 12 — —

???? ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; ⑵求 a100

(II)(本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分,但全卷总分不超过 150 分) 设 {bn } 是集合 {2 r ? 2 s ? 2 t | 0 ? r ? s ? t ,且 r , s, t ? Z } 中所有的数从小到大排列成的数 列,已知 bk ? 1160 ,求 k .

第 14 页

2004 年高考试题全国卷 2

理科数学(必修+选修Ⅱ)
(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. (1)已知集合 M={x|x2<4 } ,N={x|x2-2x-3<0 } ,则集合 M∩N= (A){x|x<-2 } (C){x|-1<x<2 } (B){x|x>3} (D){x|2<x<3 }

(2) lim

n ?1

x2 ? x ? 2 = x 2 ? 4x ? 5

(A) (C)

1 2 2 5 1 + 3 i,则 1+ω = 2 2

(B)1 (D)

1 4

(3)设复数ω =- (A)–ω (C) ?

(B)ω 2

1

?
2 2

(D)

1

?2

(4)已知圆 C 与圆(x-1) +y =1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为 (A)(x+1)2+y2=1 (C)x2+(y+1)2=1 (5)已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点( (A)- (B)x2+y2=1 (D)x2+(y-1)2=1

? 6

(B)

? 6

? ,0),则 φ 可以是 12 ? (C)- 12

(D)

? 12

(6)函数 y=-ex 的图象 (A)与 y=ex 的图象关于 y 轴对称 (C)与 y=e 的图象关于 y 轴对称
-x

(B)与 y=ex 的图象关于坐标原点对称 (D)与 y=e x 的图象关于坐标原点对称


(7)已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离为 O 到平面 ABC 的距离为 (A)

? ,则球心 2
6 3

1 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

(8)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 (A)1 条 (B)2 条
第 15 页

(C)3 条

(D)4 条

(9)已知平面上直线 l 的方向向量 e A1,则 O1 A1 = ? e ,其中 ? = (A)

?

4 3 ? (? , ) ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1 和 5 5

?

11 5

(B)-

11 5

(C)2

(D)-2

(10)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数 (A)(

? 3? , 2 2

)

(B)( ? ,2 ? )

(C)(

3? 5? , ) 2 2
(C) ?

(D)(2 ? ,3 ? )

(11)函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为 (A)

? 4

(B)

? 2

(D)2 ?

(12)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有 (A)56 个 (B)57 个 (C)58 个 (D)60 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. (13)从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个红球,则随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P (14)设 x,y 满足约束条件 0 1 2

? x ? 0, ? ? x ? y, ?2 x ? y ? 1, ?
则 z=3x+2y 的最大值是
2 2

. .

(15)设中心在原点的椭圆与双曲线 2x -2y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数, 则该椭圆的方程是 (16)下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号).

三、 解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知锐角三角形 ABC 中,sin(A+B)= (Ⅰ)求证:tanA=2tanB; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 ,sin(A-B)= 1 . 5 5

第 16 页

(18)(本小题满分 12 分) 已知 8 个球队中有 3 个弱队,以抽签方式将这 8 个球队分为 A、B 两组,每组 4 个.求 (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率.

(19)(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=

n?2 Sn(n=1,2,3,?).证明: n

(Ⅰ)数列{

Sn }是等比数列; n

(Ⅱ)Sn+1=4an.

(20)(本小题满分 12 分) . 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90o,AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,B1C1 的中点为 M. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 BDM; (Ⅱ)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.

第 17 页

(21)(本小题满分 12 分) 给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB = ? AF ,若 ? ∈[4,9],求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g(

a?b )<(b-a)ln2. 2

2005 年高考理科数学全国卷(二)
(必修+选修 II) 第I卷 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么
第 18 页

球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
k 次的概率 Pn (k ) ? C n P k (1 ? P) n ? k

S ? 4?R 2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V ? 4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题: 1. 函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( ) Y ? ? C C. π A. B. D. 4 2 Y 2π 2. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点. 那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 函数 y ? 3 x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数是( A. y ? ( x ? 1) 3 ( x ? ?1) C. y ? ( x ? 1) 3 ( x ? 0) 4. 已知函数 y ? tan?x在(? ) B. y ? ? ( x ? 1) 3 ( x ? ?1) D. y ? ? ( x ? 1) 3 ( x ? 0)

, ) 内是减函数,则( 2 2 A. 0< ? ≤1 B. -1≤ ? <0 C. ? ≥1 D. ? ≤-1 a ? bi 5. 设 a、b、c、d∈R,若 为实数,则( ) c ? di A. bc+ad≠0 B. bc-ad≠0 C. bc-ad=0 D. bc+ad=0

? ?



6. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴, 6 3

则 F1 到直线 F2M 的距离为( A.
5 6
3 6 5


5 6 6

B.

C.

6 5

D.

7. 锐角三角形的内角 A、B 满足 tanA- A. sin2A-cosB=0

1 =tanB,则有( sin 2 A B. sin2A+cosB=0



第 19 页

C. sin2A-sinB=0

D. sin2A+sinB=0

8. 已知点 A( 3 ,1),B(0,0)C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有 BC ? ? CE, 其中? 等于( A. 2 D. - B.
1 2

) C. -3

1 3 9. 已知集合 M=|x|x2-3x-28≤0|N={x|x2-x-6>0|,则 M∩N 为( ) A. |x|-4≤x<-2 或 3<x≤7| B. |x|-4<x≤-2 或 3≤x<7| C. |x|x≤-2 或 x>3| D. |x|x<-2 或 x≥3| 10. 点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动 方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(- 10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为( ) A. (-2,4) B. (-30,25) C. (10,-5) D. (5,-10) 11. 如果 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则 ( ) A. a1a8>a4a5 B. a1a8<a4a5 C. a1+a8>a4+a5 D. a1a8=a4a5 12. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四 面体的高的最小值为( )

A.

3?2 6 3

B. 2 ? 2 6
3

C. 4 ? 2 6
3

D. 4 3 ? 2 6
3

第Ⅱ卷 注意事项: 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 本卷共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线 Y 上.) C 13. 圆心为(1,2)且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为 . Y sin 3? 13 14. 设 ? 为第四象限的角,若 . ? , 则 tan 2? sin? 5 15. 在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有 个. 16. 下面是关于三棱锥的四个命题:
第 20 页

①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱 锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编 号). 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设函数 的 x 取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知 {a n } 是各项均为正数的等差数列, lg a1 、 lg a 2 、 lg a 4 成等差数列,又

(Ⅰ)证明 {bn } 为等比数列; (Ⅱ)如果无穷等比数列 {bn } 各项的和 S ? d. (注:无穷数列各项的和即当 n ? ? 时数列前 n 项和的极限)
1 ,求数列 {a n } 的首项 a1 和公差 3

第 21 页

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛 相互间没有影响.令 ? 为本场比赛的局数,求 ? 的概率分布和数学期望.(精确到 0.0001)

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD, AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点.

(Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小.

21. (本小题满分 14 分) P、Q、M、N 四点都在椭圆 x 2 ?
y2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦 2

? ? ? ? ? ? 点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 线, 且 PF ? MF ? 0. 求四边形 PMQN 的面积的最

小值和最大值。

第 22 页

22. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0,函数f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x . (Ⅰ)当 x 为何值时,f (x)取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设 f (x) 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 II 卷) 数学(理工农医类)

第I卷
参考公式 如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件A、B相互独立,那么

S ? 4? R2
其中R表示球的半 径 球的体积公式

P( A.B) ? P( A).P( B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是
Pn (k ) ? C P (1 ? P)
k n k n?k

4 V ? ? R3 3
其中R表示球的半 径

一.选择题

第 23 页

(1)已知集合 M ? {x | x ? 3}, N ? ? x | log 2 x ? 1? ,则 M (A) ? (B) ? x | 0 ? x ? 3?

?N ?( )
(D) ? x | 2 ? x ? 3?

(C) ? x |1 ? x ? 3? ) (D)

(2)函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是( (A) 2? (B) 4? (C)

? 4

? 2

(3)

3 ?( ) (1 ? i ) 2

(A)

3 i 2

(B) ?

3 i 2

(C) i

(D) ?i

(4)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( )

(A)

3 16

(B)

9 16

(C)

3 8

(D)

9 32

(5)已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
) (D)12

外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( (A) 2 3 (B)6

(C) 4 3 )
x ?1

(6)函数 y ? ln x ? 1( x ? 0) 的反函数为( (A) y ? e (C) y ? e
x ?1

( x ? R) ( x ? 1)

(B) y ? e (D) y ? e

( x ? R)

x ?1

x ?1

( x ? 1)

(7)如图,平面 ? 的角分别为

? 平面 ? , A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成
。过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A ' 、
? A B' B ?

? ? 和 4 6

B ', 则 AB : A ' B ' ? ( )
(A) 2 :1 (B) 3:1 (C) 3 : 2 (D) 4 : 3

A'

(8)函数 y ? f ( x) 的图像与函数 g ( x) ? log 2 x( x ? 0) 的图像关于原点对称,则 f ( x) 的表 达式为( )

(A) f ( x) ?

1 ( x ? 0) log 2 x

(B) f ( x) ?

1 ( x ? 0) log 2 (? x)

(C) f ( x) ? ? log 2 x( x ? 0)

(D) f ( x) ? ? log 2 (? x)( x ? 0)

第 24 页

(9)已知双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( ) 2 3 a b
(B)

(A)

5 3

4 3

(C)

5 4
)

(D)

3 2

(10)若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x, 则 f (cos x) ? ( (A) 3 ? cos 2x B) 3 ? sin 2x

(C) 3 ? cos 2x

(D) 3 ? sin 2x

(11)设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若

S S3 1 ? ,则 6 ? ( ) S12 S6 3
(D)

(A)

3 10

(B)
19

1 3

(C)

1 8
)

1 9

(12)函数 f ( x) ? (A)190

? x ? n 的最小值为(
n ?1

(B)171

(C)90

(D)45

第 II 卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。 (13)在 ( x
4

1 ? )10 的展开式中常数项是_____。(用数字作答) x

(14)已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB ? 1, BC ? 4, 则边 BC 上的中线 AD 的长为_______。 (15)过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,
2 2

直线 l 的斜率 k ? ____. (16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收入段应 抽出_____人。
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

第 25 页

(17)(本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ; (II)求

?

?

?
2

?? ?

?
2

.

?

?

? ? a ? b 的最大值。

(18)(本小题满分12分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件,一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品。 (I)用 ? 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ? 的分布列及 ? 的数学期望; (II)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品 被用户拒绝的概率。

(19)(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC, D 、 E 分别为 BB1 、 AC1 的中点。 (I)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (II)设 AA1 ? AC ?
C1 A1 D E B B1

2 AB, 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小。

C A

第 26 页

(20)(本小题12分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1). 若对所有的 x ? 0, 都有 f ( x) ? ax 成立,求实数 a 的取值范 围。

(21)(本小题满分为14分) 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0). 过 A、B
2

??? ?

??? ?

两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。

???? ??? ? ?

(22)(本小题满分12分) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且方程

x 2 ? an x ? an ? 0
有一根为 Sn ? 1, n ? 1, 2,3,... (I)求 a1 , a2 ; (II)求 ? an ? 的通项公式

第 27 页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ)

理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 参考公式: 如果事件 A B 互斥,那么 , 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A B 相互独立,那么 ,

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k (k ? 0,2, n) 1, …,

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

一、选择题 1. sin 210 ? (
?



A.

3 2

B. ?

3 2


C.

1 2

D. ?

1 2

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ?

? ? ?? ? ? 3? ? , ? B. ? , ? ? ? ?? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? ,? ? 2 ? ? ?

3.设复数 z 满足 A. ?2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( z B. ?2 ? i
) B. ln(ln 2)

) C. 2 ? i D. 2 ? i

4.下列四个数中最大的是( A. (ln 2)
2

C. ln
第 28 页

2

D. ln 2

5.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, ? CD ( A. )

????

??? ??? ? ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ? 3
D. ?

2 3

B.

6.不等式 A. (?2, 1)

x ?1 ? 0 的解集是( x2 ? 4
B. (2, ?) ?

1 3

C. ? )

1 3

2 3

C. (?2, ? (2, ?) 1) ?

D. (??, 2) ? (1 ? ?) ? , 7.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1 A1 所成角的 正弦值等于( A. ) B.

6 4
D.

10 4

C.

2 2

3 2

8.已知曲线 y ?

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
B.2 C.1 D.



A.3
x

1 2


9.把函数 y ? e 的图像按向量 a ? (2, 平移,得到 y ? f ( x) 的图像,则 f ( x) ? ( 3) A. e
x?3

?2

B. e

x? 3

?2

C. e

x? 2

?3

D. e

x? 2

?3

10.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星 期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有( A.40 种 D.120 种 11.设 F1,F2 分别是双曲线 B.60 种 C.100 种 )

x2 y2 ? 2 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90? 2 a b


且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(

A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

第 29 页

12.设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ,
2

??? ??? ??? ? ? ?

?0,

则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6

??? ?

??? ?

??? ?

) C.4 D.3

第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共 10 题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

1? ? 13. (1 ? 2 x ) ? x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?
2

8

.(用数字作答)

, 14.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1 ? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, 内取值的概率 1)
2

为 0.4,则 ? 在 (0, 内取值的概率为 2)



15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 1cm, 那么该棱柱的表面积为 cm .
2

16.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,其前 n 项和为 S n ,则 lim

Sn ? n→? n 2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求

y 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A :“取出的 2 件产品 中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率

p;

第 30 页

(2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件, ? 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求 ? 的分布列.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, 侧棱 SD⊥底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小.

S

F

C D A E B

20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程;

PO PB (2)圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 ,

??? ??? ? ? PA?PB 的取值范围.

第 31 页

21.(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an 1) (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn ?1 ,其中 n 为正整数.

?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 2

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) .

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
第 32 页

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C n Pk(1-P)n
k
-k

球的表面积公式 S=4 ?R
2

其中 R 表示球的半径, 球的体积公式 V=

4 3 ?R , 3

其中 R 表示球的半径

本卷 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。

一.选择题
(1)设集合 A. {0,1}

M ? {m ? Z ? 3 ? m ? 2} N ? {n ? Z ? 1 ? n ? 3}
, B. {?1,0,1} C. {0,1,2}
3

,则 M

?N ?

D {?1,0,1,2}

(2)设 a,b∈R 且 b≠0,若复数 (a ? bi) 是实数,则 A. b ? 3a
2 2

B. a ? 3b
2

2

C. b ? 9a
2

2

D. a ? 9b
2

2

(3)函数 f ( x) ?

1 ? x 的图像关于 x
B.直线 y=-x C.坐标原点对称
3

A. y 轴对称
?1

D.直线 y=x

(4)若 x ? (e ,1) , a ? ln x , b ? 2 ln x , c ? ln x ,则 A. a ? b ? c B.

c?a?b
y ? x,

C.

b?a?c

D.

b?c?a

(5)设变量 x,y 满足约束条件: x ? 2 y ? 2, 则 z

? x ? 3 y 的最小值为:

x ? ?2
A.-2 B.-4 C. -6 D.-8

(6)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男 同学又有女同学的概率为 A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29

第 33 页

(7) 1 ? A.-4

?

x

? ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数是
6 4

B.-3

C.3

D.4

(8)若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M、N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B.

2

C.

3

D.2

(9)设 a

? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a ? 1) 2
C. ( 2,5) D. ( 2, 5 )

A. ( 2 ,2)

B. ( 2 , 5 )

(10)已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、SD 所成 的角的余弦值为

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

(11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等 腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A. 3 B.

2

C.

?

1 3

D.

?

1 2

(12)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于 A. 1 B.

2

C.

3

D.

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。) 把答案填在答题卡上。
(13)设向量 a=(1,2),b=(2,3).若向量λ a+b 与向量 c=(4,-7)共线,则λ = . (14)设曲线 y ? e
ax

在点(0,1)处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a=

.

第 34 页

(15)已知 F 为抛物线 C: y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点.设
2

FA ? FB .则 FA 与 FB 的比值等于

.

(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件) ; .

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 10 分) 在△ABC 中, cos B

??

5 4 , cosC ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求△ABC 的面积 S
ABC

?

(18)(本大题满分 12 分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内 出险,则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险,且各投保人 是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 1 ? 0.999 (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
104

.

第 35 页

(19)( 本大题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD - A1 B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB ? 4 ,点 E 在上且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A1 - DE - B 的大小.

(20) (本大题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , a n ?1 ? S n ? 3 , n ? N * .
n

(Ⅰ)设 bn ? S n ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式;
n

(Ⅱ) 若 a n ?1 ? a n , n ? N * ,求 a 的取值范围.

(21) (本大题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相较于 E、F 两点.

第 36 页

(Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值; 求四边形 AEBF 面积的最大值.

(22) (本大题满分 12 分) 设函数

f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的单调期间; (Ⅱ)如果对任何 x ? 0 ,都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围.

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 2) 理科数学
第 I 卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 如果事件互斥,那么 球的表面积公式

P ? A ? B ? ? P ? A? ? ? B ?
如果事件 A、B 相互独立,那么

S =4? R 2
其中 R 表示球的半径

P ? A ? B ? ? P ? A? ? ? B ?

球的体积公式

第 37 页

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p,

那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn P k ?1 ? p ? n?k

4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

? k ? 0,1, 2...n ?

本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。 一、 选择题: 1.

10i ? 2-i A. -2+4i

B.

-2-4i
? ?

C.

2+4i

D.

2-4i

2. 设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | A. ?

x ?1 ? ? 0 ? ,则 A ? B = x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

B.

? 3, 4 ?

? 4. ? ? ?

3. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

12 , 则 cos A ? 5 5 B. 13

C. ?

5 13

D.

?

12 13

4.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D.

A. x ? y ? 2 ? 0

x ? 4y ?5 ? 0
5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 E 所成的角的余弦值为 A.

10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

6. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10

C. 5

D.

25

7. 设 a ? log 3 ? , b ? log 2 ? , c ? log 3 A.

2 ,则

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

a?b?c
? ?

B.

a ?c ?b

C.

b?a?c

D.

b?c?a

8. 若将函数 y ? tan ? ? x ?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,与函数 4? 6

?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
第 38 页

A.

1 6

B.

1 4
2

C.

1 3

D.

1 2

9. 已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点, 若 | FA |? 2 | FB | ,则 k

?
2 3

A.

1 3

B.

C.

2 3

D.

2 2 3

10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共 有 A. 6 种 11. 已知双曲线 C: 2 ? B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 b2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的 一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。 13.

?x

y ? y x 的展开式中 x 3 y 3 的系数为
S4 ? S5

?

4



14. 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

.

w.w.w.k.s.5. u.c.o.m

15.设 OA 是球 O 的半径, M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得 到圆 C 。若圆 C 的面积等于
2

7? ,则球 O 的表面积等于 4
2

16. 已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 ,则四边形

?

?

ABCD 的面积的最大值为
17(本小题满分 10 分)



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b 2 ? ac ,求 B 。
第 39 页

18(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC, D 、 E 分别为 AA1 、 B1C 的中点,

DE ? 平面 BCC1
(I)证明: AB ?

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

AC


(II)设二面角 A ? BD ? C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 成的角的大小。

19(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

20(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术 考核。

第 40 页

(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

(II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。

(21)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 2 3 a b 2 2

于 A 、 B 粮店,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

??? ?

??? ??? ? ?

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明:

f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第 41 页

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 II)(数 学理)
(1)复数 ?

?3?i? ? ? ? 1? i ?
2

(A) ?3 ? 4i 【答案】A

(B) ?3 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

?3?i? ? (3 ? i )(1 ? i ) ? 2 【解析】 ? ? ?? ? ? (1 ? 2i ) ? ?3 ? 4i . 2 ? 1? i ? ? ?
2 2

(2).函数 y ? (A)

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2
(B) y ? e (D) y ? e
2 x ?1

y ? e2 x ?1 ? 1( x ? 0)
2 x ?1

? 1( x ? 0)

(C) y ? e

? 1( x ? R)

2 x ?1

? 1( x ? R)

【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

? x≥ ? 1, ? (3).若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? 2 y≤5, ?
(A)1 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题. (B)2 (C)3 (D)4

第 42 页

【解析】可行域是由 A(?1, ?1), B(?1, 4),C(1,1) 构成的三角形,可知目标函数过 C 时最大, 最大值为 3,故选 C. (4).如果等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (B)21 (C)28 (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

(5)不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3 (C)

?

?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

?

? x ?2<x<1,或x>3?

1 (D) x ?2<x< ,或1<x<3

?

?

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】 法解得-2<x<1 或 x>3,故选 C

利用数轴穿根

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其 中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个



种方法,共有

种,故选 B.

(7)为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6
第 43 页

?

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移 【答案】B

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】 y ? sin(2 x ?

?
6

) = sin 2( x ?

? ? ? y ? sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 4 6 3 uur uur (8) V ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ?ACB .若 CB ? a , CA ? b , a ? 1 ,
uuu r b ? 2 ,则 CD ?
(A)

) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) ,所以将 12 3 6

?

?

?

1 2 a? b 3 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C)

3 4 a? b 5 5

(D)

4 3 a? b 5 5

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 【解析】因为 CD 平分 ?ACB ,由角平分线定理得

AD DB

=

CA CB

?

2 ,所以 D 为 AB 的三等分 1

点,且 AD ? 选 B.

????

? ? ? ??? ??? ???? 2 ??? 1 ??? 2 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ??? 2 ??? ??? AB ? (CB ? CA) ,所以 CD ? CA+AD ? CB ? CA ? a ? b ,故 3 3 3 3 3 3

(9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (B) 3 (C)2 (D)3

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题.

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.
第 44 页

(10)若曲线 (A)64 【答案】A

1 1 ? ? ? ? y ? x 2 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

(B)32

(C)16

(D)8

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式, 考查考生的计算能力..
1 3 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?2 2 2 2 【解析】 y ' ? ? x ,? k ? ? a ,切线方程是 y ? a ? ? a ( x ? a ) ,令 x ? 0 , 2 2 2

y?

3 ?1 1 3 ?1 a 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 s ? ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 .故 2 2 2

选 A. (11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 分别作 ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线 定理可得,PN⊥ PM⊥ ;PQ⊥AB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以 ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线 的距离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D.

(12)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的 2 2 a b

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF (A)1 (B)

??? ?

??? ? ? 3FB ,则 k ?
(C) 3 (D)2

2

【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
第 45 页

【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B

为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得,

,由

,得

,∴

即 k=

,故选 B.

第Ⅱ卷 注意事项: 1.用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2.本卷共 10 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ? 【答案】 ?

4 ,则 tan a ? 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的 计算能力.

4 4 2 tan ? 4 得 tan 2a ? ? ,又 tan 2a ? ? ? ,解得 2 3 3 1 ? tan ? 3 1 1 tan ? ? ? 或 tan ? ? 2 ,又 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2 a 9 3 (14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a ? . x
【解析】由 tan(? ? 2a) ? ? 【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法. 【解析】展开式中 x 的系数是 C9 (?a) ? ?84a ? ?84,? a ? 1 .
3
3 3 3

(15)已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于
2

点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

???? ?

????



第 46 页

【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵ AM ? MB ,∴M 为中点,∴ BM ? 率为 3 , ?BAE ? 30 ,∴ BE ?
0

???? ?

????

1 AB ,又斜 2

p ? 2.
弦, AB ? 4 .若 OM 【答案】3

1 AB ,∴ BM ? BE ,∴M 为抛物线的焦点,∴ 2

(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共

? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?



【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质,解三角形问题. 【解析】设 E 为 AB 的中点,则 O,E,M,N 四点共面,如图,∵ AB ? 4 ,所以

? AB ? OE ? R 2 ? ? ? ? 2 3 ,∴ ME= 3 ,由球的截面性质,有 OM ? ME,ON ? NE , ? 2 ?
∵ OM

2

? ON ? 3 ,所以 ?MEO 与 ?NEO 全等,所以 MN 被 OE 垂直平分,在直角三角形
ME?MO ?3 OE

中,由面积相等,可得, MN=2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?
用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这 类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会 有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角 互化.

第 47 页

(18)(本小题满分 12 分)

3 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ? n)? .
2 n

(Ⅰ)求 lim

n ??

an ; Sn

(Ⅱ)证明:

a a1 a2 ? 2 ? … ? n >3n . 2 1 2 n2

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

?

s1 ( n ? 1)

? sn ? sn ?1 (n ? 2)

的运用,数列极限和数列不

等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

第 48 页

【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基 本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. (19)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ,

AA1 ? AB , D 为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 .
(Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小. 【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象与推理计 算的能力. 【参考答案】 (19)解法一: (I)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1,又 AE=3EB1,所以 FE=EB1,又 D 为 BB1 的中 点,故 DE∥BF,DE⊥AB1. ??????3 分 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1,故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (II)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .

作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又作 HK⊥AC1,K 为垂 足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角.

第 49 页

第 50 页

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的的热点,它是处理线线垂直问题 的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式 来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难 度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. (20)(本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3 的 概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至 少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期 望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

第 51 页

【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答题 的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引起高 度重视.

(21)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a b
的中点为 M

?1,3? .
DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x

(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, 轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础知 识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

第 52 页

第 53 页

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背 景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. (22)(本小题满分 12 分) 设函数

f ? x ? ? 1 ? e? x .
x ; x ?1

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力 及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

第 54 页

【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础 知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会 减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常 伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.

第 55 页

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
第Ⅰ卷 一、选择题 (1)复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? (A) ?2i (B) ?i (C) i (D) 2i

(2)函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为
x2 (A) y ? ( x ? R) 4 x2 (B) y ? ( x≥0) 4

(C) y ? 4 x 2 ( x ? R)

(D) y ? 4 x 2 ( x≥0)

(3)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a>b ? 1 (B) a>b ?1 (C) a2>b2 (D) a3>b3

(4)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,
S A? 2 ? Sn ? 24 ,则 k ?

(A)8

(B)7

(C)6

(D)5
? 3

(5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 个单 位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)
1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

(6)已知直二面角α ? ι ?β ,点 A∈α ,AC⊥ι ,C 为垂足,B ∈β ,BD⊥ι ,D 为垂
[来源:Z§ k.Com] xx§

第 56 页

足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)
2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种
[来源:学科网]

(8)曲线 y= e?2x +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围 成的 三角形的面积为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

(9)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) , 则 f (? ) = (A) 1 2 5 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

(10)已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB = (A)
4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

(11)已知平面α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与α 成 600 二面角的 平面β 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? , 则圆 N 的面积为 (A)7 ? (B)9 ? (C)11 ? (D)13 ?
1 2

(12)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a?b = ? , a ? c, b ? c = 600 ,则 c 的最大值等于 (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1
第 57 页

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题 中横线上 (注意:在试卷上作答无效) ........

(13)(1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: . 2 y2 (14)已知 a∈( , ? ),sinα =
? 2
5 ,则 tan2α = 5

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

y2 x2 =1 的左、右焦点,点 A∈ 27 9

C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = .

(16)己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的 正切值等于 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A— C=90°,a+c= 2 b,求 C.

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
第 58 页

新 课 标第 一 网

根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购 买乙种保险但不购买甲 种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相 互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主 数。求 X 的期望。

(19)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, p ? ( )19 ? 面 SAB 为等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (Ⅰ)证明: SD ? SAB ;
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

9 10

1 AB ? CD , BC ? CD ,侧 e2

(Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

(20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式;

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

第 59 页

(Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1

n

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

(21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x 2 ?

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的 2

焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满 足
??? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OP ? 0.

(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在 同一圆上.

[来源:学科网]

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... (Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?
2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2
第 60 页

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放 回,用这种方式 连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概 率为 p .证 明: p ? ( )19 ?
9 10 1 e2

第 61 页

2001 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题参考解答及评分标准
说明: 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果 考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果 后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)B (6)A (11)D (2)C (7)C (12)D (3)B (8)A (4)A (9)B (5)C (10)C

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. (13)2π 三.解答题: (17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 ? (14)

16 5

(15)1

(16)2n (n-1)

1 ?BC ? AD? ? AB ? 1 ? 0.5 ? 1 ? 3 , 2 2 4


??2

∴ 四棱锥 S—ABCD 的体积是

1 V ? ? SA ? M 底面 3 1 3 ? ?1? 3 4
1 . 4
第 62 页

?

??4 分

(Ⅱ)延长 BA、CD 相交于点 E,连结 SE 则 SE 是所求二面角的棱. ∵ AD∥BC,BC = 2AD, ∴ EA = AB = SA,∴ SE⊥SB, ∵ SA⊥面 ABCD,得 SEB⊥面 EBC,EB 是交线, 又 BC⊥EB,∴ BC⊥面 SEB, 故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影, ∴ CS⊥SE, 所以∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵ SB ?

??6 分

??10 分

SA2 ? AB 2 ? 2 ,BC =1,BC⊥SB,

∴ tan∠BSC

?

BC 2 ? . SB 2 2 . 2

即所求二面角的正切值为

??12 分

(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)z1 = i (1-i) 3 = 2-2i, 将 z1 化为三角形式,得

7? 7? ? z1 ? 2 2 ? cos ? i sin 4 4 ?
∴ 分

? ?, ?

arg z1 ?

7? , z1 ? 2 2 . 4

??6

(Ⅱ)设 z = cos α+i sin α,则 z-z1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i,

z ? z1

2

? ?cos? ? 2 ? ? ?sin ? ? 2 ?
2

2

? 9 ? 4 2 sin ( ? ?
当 sin( ?

?
4

),
2

??9 分
取得最大值 9 ? 4 2 .

?

?
4

) = 1 时, z ? z1

从而得到 z ? z1 的最大值为 2 2 ? 1 .
第 63 页

??12 分

(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能 力.满分 12 分. 证明一:因为抛物线 y2 =2px (p>0)的焦点为 F ( 设为

p ,0),所以经过点 F 的直线的方程可 2

x ? my ?
代入抛物线方程得

p ; 2

??4 分

y2 -2pmy-p2 = 0, 若记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根,所以 y1y2 = -p2. 因为 BC∥x 轴,且点 c 在准线 x = - 斜率为

??8 分

p p 上,所以点 c 的坐标为(- ,y2),故直线 CO 的 2 2

k?

y2 2 p y1 ? ? . p y1 x1 ? 2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

??12 分
证明二:如图,记 x 轴与抛物线准线 l 的交点为 E,过 A 作 AD⊥l,D 是垂足.则 AD∥FE∥BC. 连结 AC,与 EF 相交于点 N,则

??2 分

EN AD NF BC

?

CN AC AF AB

?

BF AB



?



??6 分

根据抛物线的几何性质, AF ? AD ,

BF ? BC ,
∴ EN ?

??8 分
? AF ? BC AB ? NF ,

AD ? BF AB

即点 N 是 EF 的中点,与抛物线的顶点 O 重合,所以直线 AC 经过原点 O.

??12 分

第 64 页

(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明: 对于 1<i≤m 有
i p m = m·?·(m-i+1),

i pm m m ? 1 m ? i ?1 , ? ? ??? i m m m m i pn n n ? 1 n ? i ?1 同理 , ? ? ??? i n n n n

??4 分
n?k m?k , ? n m

由于 m<n,对整数 k = 1,2?,i-1,有
i pn pi i i ? m ,即 m i p n ? n i p m . ni mi

所以

??6 分

(Ⅱ)证明由二项式定理有

?1 ? m?n ? ? m i C ni ,
i ?0 i ?1 ? n ?m ? ? n i C m , i ?0 m

n

??8 分

由 (Ⅰ)知 m p n > n p m (1<i≤m<n=,
i i pm pn i 而 C ? , Cn ? , i! i! i m

i

i

i

i

??10 分

所以, m C n ? n C m (1<i≤m<n=.
i i i i

因此,

i ? m i C ni ? ? n i C m . i ?2 i?2

m

m

又 m C n ? n C m ? 1 , mC n ? nCm ? mn , m C n ? 0?m ? i ? n ? .
0 0 0 0 1 1 i i



i ? m i C ni ? ? n i C m . i ?0 i ?0

n

m

即 (1+m)n>(1+n)m.

??12 分

(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力.满分 12 分.
第 65 页

解:(Ⅰ)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- 年投入为 800×(1-

1 )万元,??,第 n 5

1 n-1 ) 万元. 5 1 1 - )+?+800×(1- )n 1 5 5 n 1 ? ? 800 ? (1 ? ) k ?1 5 k ?1
= 4000×[1-

所以,n 年内的总投入为 an = 800+800×(1-

(

4 n ) ]; 5

??3 分
1 )万元,??,第 n 4

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 年旅游业收入为 400×(1+

1 n-1 ) 万元. 4 1 1 - )+?+400×(1+ )n 1 4 4 n 5 ? ? 400 ? ( ) k ?1 4 k ?1
= 1600×[ (

所以,n 年内的旅游业总收入为 bn = 400+400×(1+

4 n )- 5

1].

??6 分
(Ⅱ)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, 即 1600×[(

5 n 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0. 4 5 4 n 4 n 化简得 5×( ) +2×( ) -7>0, 5 5 4 设 x ? ( )n,代入上式得 5
5x2-7x+2>0, 解此不等式,得

??9 分



2 ,x>1(舍去). 5 4 2 ( )n< , 5 5 x?
第 66 页

由此得

n≥5.

答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

??12 分

(22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知 识;考查运算能力和逻辑思维能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:因为对 x1,x2∈[0,

1 ],都有 f (x1+x2) = f (x1) · (x2),所以 f 2 x x f (x) ? f ( ) ·f ( )≥0,x∈[0,1]. 2 2 1 1 1 1 1 ∵ f (1) ? f ( ? ) = f ( ) · ( ) = [f ( )]2, f 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ? ) = f ( ) · ( ) = [f ( )]2. f 2 4 4 4 4 4

??

3分

f (1) ? a ? 0 ,

1 1 ∴ f ( ) ? a 2 ,f ( ) ? a 4 . 2 4
(Ⅱ)证明:依题设 y = f (x)关于直线 x = 1 对称, 故 f (x) = f (1+1-x), 即 f (x) = f (2-x),x∈R. 又由 f (x)是偶函数知 f (-x) = f (x) ,x∈R, ∴ f (-x) = f (2-x) ,x∈R, 将上式中-x 以 x 代换,得 f (x) = f (x+2),x∈R. 这表明 f (x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 f (x)≥0,x∈[0,1]. ∵ f(

1

1

??6 分

??8 分

??10 分

1 1 1 1 )= f (n · ) = f ( +(n-1)· ) 2 2n 2n 2n 1 1 =f( ) · ((n-1)· ) f 2n 2n 1 1 1 =f( )·( f ) · ·( ? f ) 2n 2n 2n 1 n =[f( )] , 2n
f(

1 ) = a2 , 2
第 67 页

1

1 ∴ f( ) = a 2n . 2n
∵ f (x)的一个周期是 2,

1

∴ f (2n+

1 1 )=f( ),因此 an = a 2 n , 2n 2n
n ??

1

??12 分

∴ lim ?ln a n ? ? lim (
n ??

1 ln a ) = 0. 2n

??14 分

2002 年高考理科数学试题参考答案
一、选择题 1 题号 A 答案 二、填空题 (13)2 三、解答题 (17)解:由 sin 2? ? sin 2? cos? ? cos 2? ? 1 ,得
2

2 C

3 D

4 C

5 B

6 B

7 C

8 B

9 A

10 B

11 B

12 C

(14)1

(15)1008

(16)

7 2

4 sin 2 ? cos2 ? ? 2 sin? cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 0

2 cos2 ? (2 sin 2 ? ? sin ? ? 1) ? 0
∵ ? ? (0, ∴ sin?

?
2

)

? 1 ? 0 , cos2 ? ?? 0 ? 1 ? 0 ,即 sin ? ?
1 2

∴ 2 sin ? ∴? ?

?
6
3 3

∴ tg? ?

(18)解(I)作 MP ∥ AB 交 BC 于点 P , NQ ∥ AB 交 BE 于点 Q ,连结 PQ ,依题意可 得 MP ∥ NQ ,且 MP ? NQ ,即 MNQP 是平行四边形 ∴ MN ? PQ 由已知 CM

王新敞
奎屯

新疆

? BN ? a , CB ? AB ? BE ? 1

第 68 页

∴ AC

? BF ? 2 , CP ? BQ ?

2 a 2

MN ? PQ ? (1 ? CP) 2 ? BQ 2 ? ? (1 ? ? (a ?
(II)由(I)

a 2

)2 ? (

a 2

)2 (0 ? a ? 2 )

2 2 1 ) ? 2 2

MN ? (a ?

2 2 1 ) ? 2 2

所以,当 a ?

2 2 时, MN ? 2 2 2 2

即当 M 、 N 分别为 AC 、 BF 的中点时, MN 的长最小,最小值为 (III)取 MN 的中点 G ,连结 AG 、 BG , ∵ AM ? AN , BM ? BN , G 为 MN 的中点 ∴ AG ? MN , BG ? MN ,即 ?AGB 即为二面角的平面角 ?

又 AG ? BG ?

6 ,所以,由余弦定理有 4

cos? ?

(

6 2 6 ) ? ( )2 ?1 1 4 4 ?? 3 6 6 2? ? 4 4
1 3

故所求二面角为 ? ? ? ? arccos

(19)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,依题设得

| y| ? 2 ,即 y ? ?2 x , x ? 0 |x|

因此,点 P( x, y ) 、 M (?1,0) 、 N (1,0) 三点不共线,得

|| PM | ? | PN ||?| MN |? 2
∵ || PM | ? | PN ||? 2 | m |? 0

第 69 页

∴ 0 ?| m |? 1 因此,点 P 在以 M 、 N 为焦点,实轴长为 2 | m | 的双曲线上,故

x2 y2 ? ?1 m2 1 ? m2
将 y ? ?2 x 代入

x2 y2 ? ? 1,并解得 m2 1 ? m2

x2 ?

m 2 (1 ? m 2 ) 2 ,因 1 ? m ? 0 2 1 ? 5m
2

所以 1 ? 5m ? 0 解得 0 ?| m |?

5 5 5 5 ,0) ? (0, ) 5 5

即 m 的取值范围为 (?

(20)解:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万 辆,…,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 ? 30 , b2 ? b1 ? 0.94 ? x
对于 n

? 1,有

bn ?1 ? bn ? 0.94 ? x ? bn ?1 ? 0.94 2 ? (1 ? 0.94 ) x ?
所以 bn ?1 ? b1 ? 0.94 ? x(1 ? 0.94 ? 0.94 ? ? ? 0.94 )
n 2 n

? b1 ? 0.94 n ?
?
当 30 ?

1 ? 0.94 n x 0.06

x x ? (30 ? ) ? 0.94 n 0.06 0.06

x ? 0 ,即 x ? 1.8 时 0.06
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bn ?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30
当 30 ?

x ? 0 ,即 x ? 1.8 时 0.06
第 70 页

数列 {bn } 逐项增加,可以任意靠近

x 0.06

n???

lim bn ? lim [
n???

x x x ? (30 ? ) ? 0.94 n?1 ] ? 0.06 0.06 0.06

因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即

bn ? 60 ( n ? 1,2,3,? )

x ? 60 ,即 x ? 3.6 万辆 0.06 综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆
则 (21)解:(I)当 a

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? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) 2 ? | ? x | ?1 ? f ( x)

此时, f (x) 为偶函数 当a

? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1, f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1 ,

f ( a ) ? f ( ? a ) , f ( a ) ? ? f ( ?a )
此时 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数 (II)(i)当 x ? a 时, 当a

1 3 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 2 4

?

1 ,则函数 f (x) 在 ( ??, a ] 上单调递减,从而函数 f (x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 2

f ( a ) ? a 2 ? 1.

1 1 3 1 ,则函数 f (x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a) . 2 2 4 2 1 2 3 2 (ii)当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? 2 4 1 1 3 1 若 a ? ? ,则函数 f (x) 在 ( ??, a ] 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ? f (a) 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f (x) 在 [ a,?? ) 上单调递增,从而函数 f (x) 在 [ a,?? ) 上的最小值为 2
若a

?

f ( a ) ? a 2 ? 1.
综上,当 a

3 1 ? ? 时,函数 f (x) 的最小值为 ? a 4 2 1 1 2 当 ? ? a ? 时,函数 f (x) 的最小值为 a ? 1 2 2 1 3 当 a ? 时,函数 f (x) 的最小值为 ? a . 2 4
2

(22)解(I)由 a1 ? 2 ,得 a 2 ? a1 ? a1 ? 1 ? 3

第 71 页

由 a 2 ? 3 ,得 a3 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ? 4
2

由 a3 ? 4 ,得 a 4 ? a3 ? 3a3 ? 1 ? 5
2

由此猜想 a n 的一个通项公式: a n ? n ? 1 ( n ? 1 ) (II)(i)用数学归纳法证明: ①当 n

? 1时, a1 ? 3 ? 1 ? 2 ,不等式成立.

②假设当 n ? k 时不等式成立,即 a k ? k ? 2 ,那么

ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? (k ? 2)( k ? 2 ? k ) ? 1 ? 2k ? 5 ? k ? 3 .
也就是说,当 n ? k

? 1时, a k ?1 ? (k ? 1) ? 2

据①和②,对于所有 n ? 1 ,有 an ? n ? 2 . (ii)由 a n ?1 ? a n (a n ? n) ? 1 及(i),对 k

? 2 ,有

ak ? ak ?1 (ak ?1 ? k ? 1) ? 1 ? ak ?1 (k ? 1 ? 2 ? k ? 1) ? 1 ? 2ak ?1 ? 1
……

a k ? 2 k ?1 a1 ? 2 k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 1
于是

1 1 1 ? ? k ?1 , k ? 2 1 ? a k 1 ? a1 2

1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 ? ? ? ? 1 ? a 1 ? a 1 ? a ? 2 k ?1 1 ? a ? 2 k ?1 ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 2 k ?1 k 1 1 k ?2 1 k ?1 1

n

2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分,满分 60 分. 1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. ?

21 2

14.(-1,0)

15.72

16.①④⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:设 z ? r cos 60 ? r sin 60 ) ,则复数 z的实部为 . z ? z ? r , z z ? r 2 由题设
? ?

r 2

| z ? 1 | 2 ?| z | ? | z ? 2 | 即 : ( z ? 1)( z ? 1) ?| z | ( z ? 2)( z ? 2) ,? r 2 ? r ? 1 ? r r 2 ? 2r ? 4 , 整理得r 2 ? 2r ? 1 ? 0.解得 : r ? 2 ? 1, r ? ? 2 ? 1(舍去).即 | z |? 2 ? 1.
第 72 页

18.(Ⅰ)解:连结 BG,则 BG 是 BE 在 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,

? D, E分别是CC1 , A1 B的中点, 又DC ? 平面ABC,? CDEF为矩形 连结DE , G是?ADB的重心,? G ? DF .在直角三角形EFD中 1 FD 2 ,? EF ? 1,? FD ? 3.?? (4分) 3 1? 2 6 于是ED ? 2 , EG ? ? . 3 3 EF 2 ? FG ? FD ? ? FC ? CD ? 2 ,? AB ? 2 2 , A1 B ? 2 3 , EB ? 3. ? sin ?EBG ? EG 6 1 2 ? ? ? . EB 3 3 3 2 . 3

? A1 B与平面ABD所成的角是 arcsin

(Ⅱ)解:? ED ? AB, ED ? EF , 又EF ? AB ? F ,

? ED ? 面A1 AB, 又ED ? 面AED.? 平面AED ? 平面A1 AB, 且面AED ? 面A1 AB ? AE. 作A1 K ? AE, 垂足为K .? A1 K ? 平面AED, 即A1 K是A1到平面AED的距离. 在?A1 AB1中, A1 K ? A1 A ? A1 B1 2 ? 2 2 2 6 2 6 ? ? ? A1到平面AED的距离为 . AB1 3 3 2 3

19.解:函数 y ? c 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1.
x

不等式 x? | x ? 2c |? 1 的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上恒大于 . 1

? 2 x ? 2 c , x ? 2c , ? x ? | x ? 2c |? ? x ? 2c , ? 2c , ?函数y ? x ? | x ? 2c | 在R上的最小值为2c. 1 ? 不等式 | x ? x ? 2c |? 1的解集为R ? 2c ? 1 ? c ? . 2 1 如果P正确, 且Q不正确, 则0 ? c ? . 2 1 如果P不正确, 且Q正确, 则c ? 1.所以c的取值范围为(0, ] ? [1, ??). 2
(以上方法在新疆考区无一人使用,大都是用解不等式的方法,个别使用的图象法) 20.解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻:(1)台风中心 P( x ,
?

y )的坐标为 ? x ? 300 ? 10 ?

2 t, 2 ? ? y ? ?300 ? 7 2 ? 20 ? 2 t. ? 10 2 ? ? 20 ?

2

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) 2 ? ( y ? y ) ? [r (t )] 2 ,
第 73 页

其中 r (t ) ? 10t ? 60, 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭,则有
(0 ? x) 2 ? (0 ? y ) 2 ? (10t ? 60) 2 . 即 (300 ?

2 2 2 7 2 2 2 ? 20 ? t ) ? (?300 ? ? 20 ? t) 10 2 10 2

? (10t ? 60) 2 ,即t 2 ? 36t ? 288 ? 0, 解得12 ? t ? 24
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21.根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存 在的两定点,使得点 P 到两点距离的和为定值. 按题意有 A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a) 设

BE CF DG ? ? ? k (0 ? k ? 1) BC CD DA 由此有 E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)
直线 OF 的方程为: 2ax ? (2k ? 1) y ? 0 ① 直线 GE 的方程为: ? a(2k ? 1) x ? y ? 2a ? 0 ② 从①,②消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满足方程 2a x ? y ? 2ay ? 0
2 2 2

整理得

1 x 2 ( y ? a) 2 2 ? ? 1 当 a ? 时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 2 1 2 a 2

当a

2

?

1 时,点 P 轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 2

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当a ?
2

1 1 1 时,点 P 到椭圆两个焦点( ? ? a 2 , a), ( ? a 2 , a) 的距离之和为定值 2 2 2 2

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当a ?
2

1 时,点 P 到椭圆两个焦点(0, a ? a 2 ? 1 ), (0, a ? a 2 ? 1 ) 的距离之和为定值 2 2 2

2a. 22.(本小题满分 12 分,附加题 4 分) (Ⅰ)解:用(t,s)表示 2
t

? 2s ,下表的规律为
3((0,1)= 2 5(0,2) 9(0,3) — — 24(3,4) 40(3,5) 48(4,5) 6(1,2) 12(2,3) — —
0

? 21 )

10(1,3) ????

(i)第四行 17(0,4) 第五行 33(0,5)

18(1,4) 34(1,5)

20(2,4) 36(2,5)

(i i)解法一:因为 100=(1+2+3+4+??+13)+9,所以 a100 ? (8,14)= 2
第 74 页

8

? 214 =16640

解法二:设 a100 ? 2
t

s0

? 2 t0 ,只须确定正整数 s 0 , t 0 .
{2 t ? 2 s | 0 ? s ? t ? t 0 },

数列 {a n } 中小于 2 0 的项构成的子集为

其元素个数为 C 2 ? t 0 (t 0 ? 1) , 依题意 t 0 (t 0 ? 1) ? 100 . t
0

2

2

满足等式的最大整数 t 0 为 14,所以取 t 0 ? 14 .
2 因为 100- C14 ? s 0 ? 1,由此解得s 0 ? 8,? a100 ? 214 ? 2 8 ? 16640 .

(Ⅱ)解: bk ? 1160 ? 210 ? 2 7 ? 2 3 , 令 M ? {c ? B | C ? 1160}
(其中, B ? {2 r ? 2s ? 2t | 0 ? r ? s ? t}

因 M ? {c ? B | c ? 210} ? {c ? B | 210 ? c ? 210 ? 27 } ? {c ? B | 210 ? 27 ? c ? 210 ? 27 ? 23}. 现在求 M 的元素个数: {c ? B | c ? 210} ? {2r 其元素个数为 C10 :
2
3

? 2s ? 2t | 0 ? r ? s ? t ? 10},

{c ? B | 210 ? c ? 210 ? 27 } ? {210 ? 2s ? 2r | 0 ? r ? s ? 7}.
10

某元素个数为 C7 : {c ? B | 2

? 2 7 ? c ? 210 ? 2 7 ? 2 3 } ? {210 ? 2 7 ? 2 r | 0 ? r ? 3}

7 3 2 2 某元素个数为 C10 : k ? C10 ? C 7 ? C3 ? 1 ? 145 .

另法:规定 2

r

? 2t ? 2s ? (r,t,s), bk ? 1160 ? 210 ? 27 ? 23 =(3,7,10)
0 1 2

则 b1 ? 2 ? 2 ? 2 = 依次为

(0,1,2)

C22 C32 C42

(0,1,3) (0,2,3) (1,2,3)

(0,1,4) (0,2,4)(1,2,4)(0,3,4) (1,3,4)(2,3,4) ???? (0,1,9) (0,2,9)???? ( 6,8,9 )(7,8,9)

C92 C72 +4

(0,1,10)(0,2,10)???(0,7,10)( 1,7,10)(2,7,10)(3,7,10)??
2 2 k ? (C2 ? C32 ? ? ? C92 ) ? C7 ? 4 ? 145.

2004 年高考试题全国卷 2
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)C (7)B (2)A (8)B (3)C (9)D (4)C (10)B (5)A (11)B (6)D (12)C

第 75 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)0.1,0.6,0.3 17.(I)证明:∵sin(A+B)= (14)5
3 1 ,sin(A-B)= 5 5

(15)

1 2 2 x +y =1 2

(16)②④

? ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? ∴? ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? ?

3 2 ? ?sin A cos B ? 5 tan A ? 5 ?? ? 2 ,∴ tan A ? 2 tan B . ? 1 1 tan B ?cos A sin B ? ? 5 5 ? 3 4 3 ? (II)解:∵ <A+B<π , sin(A ? B) ? , ∴ cos(A ? B) ? ? , tan(A ? B) ? ? 2 5 5 4 tan A ? tan B 3 即 ? ? ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 2 tan 2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0 1 ? tan A tan B 4 2? 6 2? 6 解得 tan B ? ,因为 B 为锐角,所以 tan B ? ,∴ tan A ? 2 tan B =2+ 6 2 2 CD CD 3CD 设 AB 上的高为 CD,则 AB=AD+DB= ,由 AB=3 得 CD=2+ 6 ? ? tan A tan B 2 ? 6 故 AB 边上的高为 2+ 6 C 32 C 52 6 ? 18.(I) 解:有一组恰有两支弱队的概率 2 7 C84
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(II)解:A 组中至少有两支弱队的概率 19.(I)证: 由 a1=1,an+1=

3 1 C 32 C 52 C 3 C 5 1 ? ? 2 C 84 C 84

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n?2 Sn(n=1,2,3,?), n

S2 S S 4a1 2 ?1 知 a2= S1=3a1, 2 ? ? 2 , 1 ? 1 ,∴ 2 ? 2 1 S1 1 2 2 1
又 an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,?),则 Sn+1-Sn=
n?2 Sn(n=1,2,3,?),∴nSn+1=2(n+1)Sn, n
S n ?1 n ? 1 ? 2 (n=1,2,3,?).故数列{ S n }是首项为 1,公比为 2 的等比数列 Sn n n

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(II)解:由(I)知,

Sn ?1 S ? 4 ? n ?1 (n ? 2) ,于是 Sn+1=4(n+1)· S n ?1 =4an(n ? 2 ) n ?1 n ?1 n ?1

又 a2=3S1=3,则 S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数 n≥1 都有 Sn+1=4an.

20.解法一:(I)如图,连结 CA1、AC1、CM,则 CA1= 2 , ∵CB=CA1= 2 ,∴△CBA1 为等腰三角形, 又知 D 为其底边 A1B 的中点,∴CD⊥A1B, ∵A1C1=1,C1B1= 2 ,∴A1B1= 3 , 又 BB1=1,∴A1B=2,
1 ∵△A1CB 为直角三角形,D 为 A1B 的中点,CD= A1B=1, 2

A

A'

A
D C

A'
C'

D
B C

M B' C'

M B B'

CD=CC1

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第 76 页

又 DM=

2 1 AC1= ,DM=C1M,∴△CDN≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即 CD⊥DM, 2 2
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因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD⊥平面 BDM (II)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点,连结 B1G、FG、B1F, 则 FG∥CD,FG=
1 1 CD ∴FG= ,FG⊥BD. 2 2
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A

A'

由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D,知 BD=B1D=

1 A1B=1, 2
3 , 2

所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形,于是 B1G⊥BD,B1G= ∴∠B1GF 是所求二面角的平面角 又 B1F2=B1B2+BF2=1+(
2 2 3 )= . 2 2
( 3 2 1 3 ) ? ( )2 ? 2 2 2 ?? 3 3 3 1 2? ? 2 2
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C F B G

D C' M B'

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B G 2 ? FG 2 ? B1F 2 ? ∴cos∠B1GF= 1 2 B1G ? FG

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即所求二面角的大小为π -arccos

3 3

解法二:如图以 C 为原点建立坐标系 (I):B( 2 ,0,0),B1( 2 ,1,0),A1(0,1,1),D( M(

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z

2 1 1 , , ), 2 2 2

A

A'

2 2 1 1 ,1,0), CD ? ( , , ), A1 B ? ( 2 ,-1,-1), 2 2 2 2 1 1 DM ? (0, ,- ), CD ? A1B ? 0, CD ? DM ? 0, 2 2
F B X

D C G B' C' M y

∴CD⊥A1B,CD⊥DM. 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线, 所以 CD⊥平面 BDM
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(II):设 BD 中点为 G,连结 B1G,则 G (

3 2 1 1 , , ), BD ? (4 4 4

2 1 1 2 3 1 , , ), B1G ? (? ,? , ), ∴ BD ? B1G ? 0 ,∴BD⊥B1G,又 CD⊥BD,∴ CD 与 B1G 的夹 2 2 2 4 4 4

角 ? 等于所求二面角的平面角, cos ? ?
CD ? B1G | CD | ? | B1G | ?? 3 . 3

所以所求二面角的大小为π -arccos

3 3

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21.解:(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1. 将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6,x1x2=1,
OA? OB =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.
| OA | ? | OB |?
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ?

x1 x2 [ x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16] ? 41

cos< OA, OB >=

OA ? OB | OA | ? | OB |

??

3 41 . 41

所以 OA 与 OB 夹角的大小为 ? -arccos

3 41 . 41

解:(II)由题设知 FB ? ? AF 得:(x2-1,y2)=λ (1-x1,-y1),即 ?
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? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 )???(1) ? y2 ? ??y1 ??????(2)

由 (2)得 y22=λ 2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ 2x1 ??????????????(3)
第 77 页

联立(1)(3)解得 x2=λ .依题意有λ >0. ∴B(λ ,2 ? )或 B(λ ,-2 ? ),又 F(1,0), 得直线 l 的方程为(λ -1)y=2 ? (x-1)或(λ -1)y=-2 ? (x-1) 当λ ∈[4,9]时,l 在 y 轴上的截距为 由 ∴
2 ? 2 ? 或? ?1 ? ?1
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2 ? 2 ? 2 2 = ,可知 在[4,9]上是递减的, ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 2 ? 3 2 ? 4 4 3 ? ? ,- ? ?? ? ?1 4 ? ?1 3 3 4
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3 4 4 3 1 22.(I)解:函数 f(x)的定义域是(-1,∞), f ' (x)= ? 1 .令 f ' (x)=0,解得 x=0,当-1<x<0 时, 1? x f ' (x)>0,当 x>0 时, f ' (x)<0,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0 时,f(x)取得最大值,最大值是 0 a?b a?b 2a 2b (II)证法一:g(a)+g(b)-2g( )=alna+blnb-(a+b)ln =a ln . ? b ln 2 2 a?b a?b b?a a ?b 由(I)的结论知 ln(1+x)-x<0(x>-1,且 x≠0),由题设 0<a<b,得 ? 0,?1 ? ? 0 ,因此 2a 2b 2a b?a b?a 2b a ?b a ?b , ln . ln ? ? ln(1 ? )?? ? ? ln(1 ? )?? a?b 2a 2a a?b 2b 2b 2a 2b b?a a ?b 所以 a ln >? b ln ? ?0. a?b a?b 2 2 2a a?b 2a 2b a?b 2b 2b 又 <a ln ? , a ln ? b ln ? b ln ? (b ? a) ln ? (b ? a) ln 2. a?b 2b a?b a?b 2b a?b a?b a?b 综上 0<g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2. 2 a?x (II)证法二:g(x)=xlnx, g ' ( x) ? ln x ? 1 ,设 F(x)= g(a)+g(x)-2g( ), 2 a?x a?x 则 F ' ( x) ? g ' ( x) ? 2[ g ( )]' ? ln x ? ln . 当 0<x<a 时 F ' ( x) ? 0, 因此 F(x)在(0,a)内为减函数 当 x>a 2 2 时 F ' ( x) ? 0, 因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数 从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a) 因为 F(a)=0,b>a, a?b 所以 F(b)>0,即 0<g(a)+g(b)-2g( ). 2 a?x 设 G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则 G' ( x) ? ln x ? ln ? ln 2 ? ln x ? ln(a ? x). 当 x>0 时, G' ( x) ? 0 ,因此 G(x)在 2 a?b (0,+∞)上为减函数,因为 G(a)=0,b>a,所以 G(b)<0.即 g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2. 2

直线 l 在 y 轴上截距的变化范围是 [? ,? ] ? [ , ]

4 3

3 4

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2005 年高考理科数学全国卷(二)
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. A 10. C B 12. C 二. 填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 3 13. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 14. ? 4 15. 192 16. ①,④ 三. 解答题:
第 78 页

11.

17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法。考查分析问题的 能力和运算能力。满分 12 分。 解:由于 y ? 2 x 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于
| x ? 1|?| x ? 1| ? 3 2 (1)

(i)当 x ? 1 时, | x ? 1|?| x ? 1| ? 2
? (1) 式恒成立

(ii)当 ?1 ? x ? 1时, | x ? 1|?| x ? 1| ? 2x (1)式化为 2 x ? 即
3 ? x ?1 4 3 2

(iii)当 x ? ?1 时, | x ? 1|?| x ? 1| ? ?2 (1)式无解。
3 综上,x 取值范围是 [ , ? ?) 4 18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能 力。满分 12 分。 (1)证明:
? lg a1、 a2、 a4 成等差数列 lg lg
2 ? 2 lg a2 ? lg a1 ? lg a4 ,即 a 2 ? a1 ? a 4

等差数列 {a n } 的公差为 d,则
(a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d )

这样 d 2 ? a1 d 从而 d (d ? a1 ) ? 0 (i)若 d ? 0 ,则 {a n } 为常数列,相应 {b n } 也是常数列 此时 {b n } 是首项为正数,公比为 1 的等比数列。 (ii)若 d ? a 1 ? 0 ,则
a 2 n ? a 1 ? (2 n ? 1)d ? 2 n d,b n ? 1 1 1 ? ? n a 2n d 2
第 79 页

这时 {bn } 是首项 b1 ?

1 1 ,公比为 的等比数列 2d 2

综上知, {bn } 为等比数列 (II)解:如果无穷等比数列 {b n } 的公比 q ? 1 ,则当 n ? ? 时其前 n 项和 的极限不存在
1 1 ,b 1 ? 2 2d 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 这样, {b n } 的前 n 项和 S n ? 2d 1 1? 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 则 S ? lim S n ? lim 2d ? n?? n?? 1 d 1? 2 1 由 S ? 得公差 d ? 3 ,首项 a 1 ? d ? 3 3 19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知 识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解:单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6,乙队胜甲队的概率为 1 ? 0.6 ? 0.4 比赛 3 局结束有两种情况:甲队胜 3 局或乙队胜 3 局,因而

因而 d ? a 1 ? 0 ,这时公比 q ?

P(? ? 3) ? 0.63 ? 0.4 3 ? 0.28

比赛 4 局结束有两种情况:前 3 局中甲队胜 2 局,第 4 局甲队胜;或前 3 局中乙队胜 2 局,第 4 局乙队胜,因而
P(? ? 4) ? C 2 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.6 ? C 2 ? 0.4 2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3744 3 3

比赛 5 局结束有两种情况:前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局,第五局甲 胜或乙胜,因而
P(? ? 5) ? C 2 ? 0.62 ? 0.4 2 ? 0.6 ? C 2 ? 0.62 ? 0.4 2 ? 0.4 ? 0.3456 4 4

所以 ? 的概率分布为

? P

3 0.28

4 0.3744

5 0.3456

? 的期望 E? ? 3 ? P(? ? 3) ? 4 ? P(? ? 4) ? 5 ? P(? ? 5)
? 3 ? 0.28 ? 4 ? 0.3744 ? 5 ? 0.3456 ? 4.0656 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识,及思 维能力和空间想象能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分 12 分。 方法一:
第 80 页

(I)证明:连结 EP

? PD ? 底面ABCD,DE 在平面 ABCD 内

? PD ? DE ,又 CE=ED,PD=AD=BC
? Rt?BCE ? Rt?PDE ? PE ? BE

? F 为 PB 中点 ? EF ? PB 由三垂线定理得 PA ? AB ?在 Rt?PAB 中 PF ? AF ,又 PE ? BE ? EA
? ?EFP ? ?EFA ? EF ? FA

?PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线 ?EF ? 平面 PAB (II)解:不妨设 BC=1,则 AD=PD=1
AB ? 2,PA ? 2 , AC ? 3

? ?PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2,F 为其斜边中点,BF=1,且 AF ? PB ? PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直 ? PB ? 平面 AEF 连结 BE 交 AC 于 G,作 GH//BP 交 EF 于 H,则 GH ? 平面 AEF ?GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角
由 ?EGC ~ ?BGA 可知 EG ? 由 ?EGH ~ ?EBF 可知 GH ?
? sin ?GAH ? GH 3 ? AG 6 3 6

1 1 2 2 3 GB, EG ? EB, AG ? AC ? 2 3 3 3

1 1 BF ? 3 3

? AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

第 81 页

方法二: 以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直角坐标系

(1)证明: 设 E(a,0,0),其中 a ? 0 ,则 C(2a,0,0),A(0,1,0),B 1 1 (2a,1,0),P(0,0,1),F(a, , ) 2 2 ? ? ? 1 1 EF ? (0, , ) PB ? (2a,1,?1) AB ? (2a,0,0) 2 2 ? ? EF ? PB ? 0 ? EF ? PB ??3 分
? ? AB? EF ? 0 ? EF ? AB

又 PB ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, PB ? AB ? B

?EF ? 平面 PAB
(II)解:由 AB ? 2 BC ,得 a ?
2 2

? ? 可知 AC ? ( 2 ,?1,0), PB ? ( 2 ,1,?1)

? ? ? ? AC? PB 3 cos ? AC, PB ?? ? ? ? 6 | AC | ? | PB |

异面直线 AC、PB 所成的角为 arccos
? 2 1 1 AF ? ( ,? , ) 2 2 2
? ? ? AF ? PB ? 0 PB ? AF

3 6

又 PB ? EF ,EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线 ? PB ? 平面 AEF
第 82 页

? AC 与平面 AEF 所成的角为

?
2

? arccos 3 6

3 3 (? arcsin ) 6 6

即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

21. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质,两条直线垂直的条件,两点 间的距离,不等式的性质等基本知识及综合分析能力,满分 14 分。 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1)且
PQ ? MN ,直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 k,又

PQ 过点 F(0,1),故 PQ 方程为 y=kx+1

将此式代入椭圆方程
(2 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0

设 P、Q 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则
x1 ? ? k ? 2k 2 ? 2 ? k ? 2k 2 ? 2 , x2 ? 2? k2 2? k2
8(1 ? k 2 ) 2 (2 ? k 2 ) 2

从而 | PQ | 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ?
2 2 (1 ? k 2 ) 2? k2

亦即 | PQ |?

(i)当 k ? 0 时,MN 的斜率为 ?
1 2 2 (1 ? (? ) 2 ) k | MN |? 1 2 2 ? (? ) k

1 ,同上可推得 k

故四边形面积

第 83 页

S?

1 | PQ | ? | MN | 2 1 4(1 ? k 2 )(1 ? 2 ) k ? 1 2 (2 ? k )( 2 ? 2 ) k 1 4(2 ? k 2 ? 2 ) k ? 2 5 ? 2k 2 ? 2 k 1 令 u ? k 2 ? 2 ,得 k 4(2 ? u ) 1 S? ? 2(1 ? ) 5 ? 2u 5 ? 2u 1 因为 u ? k 2 ? 2 ? 2 k 16 当 k ? ?1时, u ? 2,S ? 9 且 S 是以 u 为自变量的增函数 16 所以 ? S ? 2 9

(ii)当 k=0 时,MN 为椭圆长轴, | MN |? 2 2,| PQ |? 2
S? 1 ? | PQ | ? | MN |? 2 2

16 9 22. 本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推 理和运算能力。满分 12 分。 解:(I)对函数 f(x)求导数,得

综合(i),(ii)知,四边形 PMQN 面积的最大值为 2,最小值为

f ' ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x ? (2 x ? 2a)e x ? [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x

令 f ' ( x) ? 0 ,得 [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x ? 0 从而 x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 解得 x1 ? a ? 1 ? 1 ? a 2
x 2 ? a ? 1 ? 1 ? a 2 ,其中 x1 ? x 2

当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化如下表: x f’(x) f(x)
(??, x1 ) + ?

x1 0 极大值

( x1 , x 2 ) - ?

x2 0 极小值

( x 2 ,??) + ?

第 84 页

即 f(x)在 x=x1 处取到极大值,在 x ? x2 处取到极小值 当 a ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 为减函数,在 ( x2 ,??) 为增函数 而当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 2a)e x ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 所以当 x ? a ? 1 ? 1 ? a 2 时,f(x)取得最小值 (II)当 a ? 0 时,f(x)在 [?1,1] 上为单调函数的充要条件是 x2 ? 1 即 a ?1? 1? a2 ? 1 解得 a ?
3 4 3 4

综上,f(x)在 [?1,1] 上为单调函数的充分必要条件为 a ?
3 即 a 的取值范围为 [ ,?? ) 4

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 II 卷)
一、选择题 ⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C 二、填空题 ⒀45 ⒁ 3 ⒂ 2 2 ⒃25

三、解答题 17.解:(Ⅰ)若 a⊥b,则 sinθ+cosθ=0,?????2 分 由此得 π π tanθ=-1(- <θ< ),所以 2 2 π θ=- ;??????4 分 4

(Ⅱ)由 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得 |a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) = π 3+2 2sin(θ+ ),??????10 分 4

π π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1.??12 分 4 4 18.解:(Ⅰ)ξ 可能的取值为 0,1,2,3. C4 C3 18 9 P(ξ =0)= 2· 2= = 100 50 C5 C5 C4 C3 C4 C3· 2 12 C P(ξ =1)= 2· 2+ 2· 2 = 25 C5 C5 C5 C5
1 2 2 1 1 2 2

第 85 页

P(ξ =2)=

C4 C3· 2 C4 C2 15 C 2· 2 + 2· 2=50 C5 C5 C5 C5
1 2

1

1

1

2

2

C4 C2 1 P(ξ =3)= 2· 2= . C5 C5 25 ξ 的分布列为 ξ P 0 9 50 1 12 25

??????8 分

2 15 50

3 1 25

数学期望为 Eξ =1.2. (Ⅱ)所求的概率为 15 1 17 p=P(ξ ≥2)=P(ξ =2)+P(ξ =3)= + = 50 25 50 19.解法一: ∥1 ∥ ∥ (Ⅰ)设 O 为 AC 中点,连接 EO,BO,则 EO= C1C,又 C1C=B1B,所以 EO=DB,EOBD 2 C1 B1 为平行四边形,ED∥OB. ??2 分 ∵AB=BC,∴BO⊥AC, 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1,BO?面 ABC,故 BO⊥平面 ACC1A1, ∴ED⊥平面 ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1, ∴ED⊥BB1,ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线.??6 分 (Ⅱ)连接 A1E,由 AA1=AC= 2AB 可知,A1ACC1 为正方形, ∴A1E⊥AC1,又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED?平面 ADC1 知平面 A1FE 为二面角 A1-AD-C1 的平面角. 不妨设 AA1=2,则 AC=2,AB= 2ED=OB=1,EF= tan∠A1FE= 3,∴∠A1FE=60°. 所以二面角 A1-AD-C1 为 60°. 解法二: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c). 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). → → ED =(0,b,0), BB1 =(0,0,2c). →→ ED · 1 =0,∴ED⊥BB1. BB → 又AC1 =(-2a,0,2c), C →→ ED · 1 =0,∴ED⊥AC1, AC ??6 分 O A E y B x z C1 A1 D B1 ??3 分 AE×ED 2 = , AD 3 C O A E F B A1 D ?????12 分

ADC1⊥平面 A1ACC1,∴A1E⊥平面 ADC1.作 EF⊥AD,垂足为 F,连接 A1F,则 A1F⊥AD,∠

???12 分

所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),

第 86 页

→ → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0),AA1 =(0,0,2), →→ →→ BC · =0, BC · 1 =0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, AB AA ∴BC⊥平面 A1AD. 又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), → → → EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC · =0, EC · =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, AE ED ∴ EC⊥面 C1AD. ??10 分

→→ → → → → EC · BC 1 cos< EC , BC >= = ,即得 EC 和 BC 的夹角为 60°. → → 2 | EC |·BC | | 所以二面角 A1-AD-C1 为 60°. 20.解法一: 令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea 1-1, 又 g(0)=0,所以对 x≥0,都有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 (ii)当 a>1 时,对于 0<x<e
a-1
- -

???12 分

??5 分

(i)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0,所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数, f(x)≥ax. ??9 分


-1,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,ea 1-1)是减函数,

又 g(0)=0,所以对 0<x<ea 1-1,都有 g(x)<g(0), 即当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. 解法二:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立. 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea 1-1, 当 x> e
a-1


??12 分 ??3 分 ??6 分 ??9 分
a-1

-1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数,


当-1<x<ea 1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, 所以要对所有 x≥0 都有 g(x)≥g(0)充要条件为 e 由此得 a≤1,即 a 的取值范围是(-∞,1]. 21.解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),
?-x1=λx2 ① ? 1-y1=λ(y2-1) ② ?

-1≤0.

??12 分

1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 4 4

y1=λ2y2



1 解②、③式得 y1=λ,y2= ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4, λ

第 87 页

1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 1 1 即 y= x1x- x12,y= x2x- x22. 2 4 2 4 解出两条切线的交点 M 的坐标为( x1+x2 x1x2 x1+x2 , )=( ,-1). 2 4 2 ??4 分

→ → x1+x2 1 1 1 所以FM · =( AB ,-2)· 2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2( x22- x12)=0 (x 2 2 4 4 →→ 所以FM · 为定值,其值为 0. AB ??7 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 |FM|= = = x1+x2 ( )2+(-2)2= 2 1 2 1 2 1 x + x + x x +4 4 1 4 2 2 1 2

1 y1+y2+ ×(-4)+4 2 1 1 λ+ +2= λ+ . λ λ

因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ +2=( λ+ )2. λ λ 于是 由 λ+ 1 1 S= |AB||FM|=( λ+ )3, 2 λ 1 ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4. λ

22.解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. ① 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4

第 88 页

由此猜想 Sn=

n ,n=1,2,3,?. n+1

??8 分

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= n 对所有正整数 n 都成立. n+1 n-1 n 1 - = , n n+1 n(n+1) ??10 分 k , k+1

k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an= n ,n=1,2,3,?. n+1 ??12 分

2007 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题 1.D 7.A 2.C 8.A 3.C 9.C 4.D 5.A 6.C 10.B 11.B 12.B 15. 2 ? 4 2 16. ?

二、填空题 13. ?42 三、解答题 17.解:(1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C 应用正弦定理,知 14. 0.8

5 2

? 2? . ? ? ,由 A ? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

AB ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?

第 89 页

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2 ? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

18.解:(1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”,

A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”.
则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )

? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (1 ? p) 2 ? C1 p(1 ? p) 2 ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p .
2

解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去). (2) ? 的可能取值为 0,2 . 1, 若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P (? ? 0) ?

2 C80 316 ? . 2 C100 495

P(? ? 1) ?

C1 C1 160 80 20 ? . 2 C100 495 C2 19 20 ? . 2 C100 495

P (? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为

?
P
19.解法一:

0

1

2

316 495

160 495

19 495
S

(1)作 FG ∥ DC 交 SD 于点 G ,则 G 为 SD 的中点.

第 90 页

F G

连结 AG,FG ∥

1 CD ,又 CD ∥ AB , 2

故 FG ∥ AE,AEFG 为平行四边形.

EF ∥ AG ,又 AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD . 所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 DC ? 2 ,则 SD ? 4,DG ? 2, ADG 为等 △
腰直角三角形. 取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ AG . 又 AB⊥ 平面 SAD ,所以 AB ⊥ DH ,而 AB ? AG ? 所以 DH ⊥面 AEF . 取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM ⊥ EF . 连结 DM ,则 DM ⊥ EF . 故 ?DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角

A,

tan ?DMH ?

DH 2 ? ? 2. HM 1
z S

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 . 解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 设 A(a,0) S (0, b) ,则 B(a,a,,C (0,a,, 0,, 0, 0) 0)

F

? a ? ? a b? E ? a, ,?,F ? 0, , ? , 0 ? 2 ? ? 2 2?
??? ? ? b? EF ? ? ?a, ? . 0, 2? ? 0, 0, 取 SD 的中点 G ? 0, ? ,则 AG ? ? ?a, ? . ? ? b? 2? ???? ? ? b? 2?
A

G

M D E B A C y

??? ???? ? EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD ,
所以 EF ∥平面 SAD .

x

, ,, 1,, 0,, , 0 1? , 0) (2)不妨设 A(1 0, ,则 B(11 0) C (0,0) S (0, 2) E ?1 ,?,F ? 0, , . ? ? ???? ??? ? ? ? 1 1 1 ? ???? ? 1 1 1 ? ??? MD ? ? EF 0,, EF 中点 M ? , , ?, ? ? ? , , ?, ? (?1,1) MD?EF ? 0,MD ⊥ EF ?2 2 2? ? 2 2 2?
? 又 EA ? ? 0, ??? ? ? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 ? 2 ?

? ? 1 ? ??? ??? ,? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , 0 2 ?

第 91 页

所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角.

???? ?

??? ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? MD?EA 3 . cos ? MD, ?? ???? ??? ? EA ? ? 3 MD ?EA
所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos

3 . 3

20.解:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离,



r?

4 ? 2. 1? 3
2 2

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .

0) 0) (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得
2

A(?2,,B(2, . 0) 0)
PO PB 设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,
即 x ? y ?2.
2 2

??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y )? ? x, y) ? (2 ?
? x2 ? 4 ? y2 ? 2( y 2 ? 1).
由于点 P 在圆 O 内,故 ? 由此得 y ? 1 .
2

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0) 21.解:(1)由 an

??? ??? ? ?

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,…, 3, 2 1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2 ?
又 1 ? a1 ? 0 ,所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

1 的等比数列,得 2

第 92 页

? 1? an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?
(2)方法一: 由(1)可知 0 ? an 那么, bn ?1 ? bn
2 2

n ?1

?

3 ,故 bn ? 0 . 2

2 2 ? an ?1 (3 ? 2an ?1 ) ? an (3 ? 2an )

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
2

又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,
2 2

因此 方法二:

bn ? bn ?1,n 为正整数.

由(1)可知 0 ? an 因为 an ?1

?

3 ? an , 2

3 ? ,an ? 1 , 2

所以

bn ?1 ? an ?1 3 ? 2an ?1 ?

(3 ? an ) an 2
3



? 3 ? an ? 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? , ? 2 ?

? 3 ? an ? 即 a (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ?
2 2 n

两边开平方得

an 3 ? 2an ?

3 ? an ? an . 2

即 bn ? bn ?1,n 为正整数. 22.解:(1)求函数 f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3 x ? 1 .
2

曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,


y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

第 93 页

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .
于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根. 记 g (t ) ? 2t ? 3at ? a ? b ,
3 2

则 g ?(t ) ? 6t ? 6at
2

? 6t (t ? a) .
当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t g ?(t )
g (t )

(??, 0) ?
?

0 0 极大值 a ? b

(0,a)

a
0 极小值 b ? f (a)

?
?

(a, ?) ? ?
?

由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? 个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 根; 当b? 实数根.

f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数 2

a f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的 2

综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则

? a ? b ? 0, ? ?b ? f (a ) ? 0.


?a ? b ? f (a ) .

2008 年高考试题答案(理)
一、选择题 1 2 B 提示: 1、? M ? N ? { x | ?1 ? x ? 2, x ? Z } ? {?1,0,1} A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 B 9 B 10 C 11 A 12 C

第 94 页

2、? (a ? bi ) ? a ? 3ab ? ( 3a b ? b )i ,? 3a b ? b ? 0,? b ? 0 ? b ? 3a
3 3 2 2 3 2 3 2

2

3、 f ( x ) 为奇函数 4、? e 5、当 ?
?1

? x ? 1 ? ?1 ? ln x ? 0 ? b ? a ? c

? x ? ?2 时, Z min ? x ? 3 y ? ?8 ?y ? 2
3 3 C 20 C 10 20 ? 3 ? 3 C 30 C 30 29
1 2 x ) 6 (1 ? x ) 4 ? (1 ? x ) 4 (1 ? x ) 2 ? x 的系数为 ? C 4 ? C 2 ? ?3

6、 P ? 1 ? 7、? (1 ?

8、 | MN |?| sina ? cos a |?

2 | sin(a ?

?
4

) |? 2

9、 e ?

a 2 ? (a ? 1) 2 1 2 1 1 ? ( )2 ? ? 2 = ( ?)2 ? 1 ? 0 ? ? 1 a a a a a

u ? ( t ? 1) 2 ? 1 在 (0,1) 为单增函数, 2 ? u ? 5 ? 2 ? e ? 5
10、连结 AC、BD 相交于 O 点,连结 OE,则 OE//SO,所以 ?AEO 为所求角,设 AB=2, 则 OE=1,AE= 3 ,AO= 2 , cos ?AEO ? 11、设底边斜率为K,直线 x ?

OE 3 ? AE 3

y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 的斜率分别为 ? 1,

1 7

1 ?k 1 7 ,? k ? 3,? ,又原点在底边上,所以K=3 k 3 1? 7 12、 O1 与 O 2 的公共弦为 AB,球心为O,AB 中点为 C,则四边形 O1OO 2 C 为矩形,所以 ?1? k ? ? 1? k ?
| O1O 2 |?| OC |,?| OA |? 2, | AC |? 1, AC ? OC ?| OC |? | OA | 2 ? | AC | 2 ? 3

O1

C O2

二、填空题



13、? ? a ? b ? (? ? 2,2? ? 3) ? 4( 2? ? 3) ? 7(? ? 2) ? 0 ? ? ? 2 ; 14、 y ? ae
' ax

,当 x

? 0 时 y' ? a ? a ? 2 ;
?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

15、设 AB 所在直线方程为 y ? x ? 1 , ?

? y2 ? 4y ? 4 ? 0? y ? 2 ? 2 2

?

| FA | 2 ? 2 2 ? ? 3? 2 2; | FB | 2 2 ? 2
第 95 页

16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形。 注:上面给出了四个充要条件。如果考生写出其他正确答案,同样给分。 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由 cos B ? ? 由 cos C ?

5 12 ,得 sin B ? , 13 13

4 3 ,得 sin C ? . 5 5

所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C (Ⅱ)由 S△ ABC ?

?

33 . ·················· 分 ················· 5 ················· 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ········································· 8 分 ········································· ········································· AB ? sin B 20 又 AC ? ? AB , sin C 13 20 13 故 AB 2 ? 65 , AB ? . 2 13 AB ? sin A 11 所以 BC ? ·································· ·································· ? . ·································· 10 分 sin C 2 18.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人数
为 ? ,则 ? ~ B(10 ,p) .
4

(Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 ················································ ················································ ? ? 0 , ················································ 2 分

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p )10 ,
4

又 P( A) ? 1 ? 0.999

104



故 p ? 0.001 . ············································5 分 ············································ ··········································· (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0 a? 0
?3

1 0 0E 0 ?? 0
?3

, ·0··················· · 0 ················· ·· 5 0 0····················9 分

10 由 ? ~ B(10 , ) 知, E? ? 10 000 ?10 ,

第 96 页

E? ? 104 a ? 104 E? ? 5 ?104 ? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 . E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0

? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元).
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. ····························12 分 ···························· ··························· 19.解法一: 依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ?

AC .

由三垂线定理知, BD ? A1C . ·································· 3 分 ·································· ·································· 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G ,

AA1 AC 由于 ? ?2 2, FC CE
故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE , ?AA1C ? ?CFE ,

D1 A1 B1

C1

?CFE 与 ?FCA1 互余.
D 于是 A1C ? EF . A F

HE G C B

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,
所以 A1C ······································ ······································ ? 平面 BED . ······································ 6 分

(Ⅱ)作 GH

? DE ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1 H ? DE ,

故 ?A1 HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角. ··························· 分 ·························· 8 ··························

EF ? CF 2 ? CE 2 ? 3 ,

CG ?

CE ? CF 2 3 2 2 ? , EG ? CE ? CG ? . EF 3 3

1 EF ? FD 2 EG 1 ? ? , GH ? ? . 3 DE EF 3 15
又 A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 2 6 , A1G ? A1C ? CG ?

5 6 . 3

第 97 页

tan ?A1HG ?

A1G ?5 5. HG
z D1 A1 B1 C1

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 . ························12 分 ························ ······················· 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz .

2,, 2,, 2,, 0, 依题设, B(2, 0) C (0, 0) E (0,1) A1 (2, 4) .
???? ??? ? DE ? (0,1) DB ? (2, 0) , 2,, 2,
D A x B

E C y

???? ???? ? A1C ? (?2, ? 4), 1 ? (2, 4) . ································ 3 分 2, DA 0, ································ ································
(Ⅰ)因为 A1C ?DB ? 0 , A1C ?DE ? 0 , 故 A1C ? BD , A1C ? DE . 又 DB ? DE

???? ??? ?

???? ????

? D,

所以 A1C ? 平面 DBE . ······································· 分 ······································ 6 ······································ (Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA1 E 的法向量,则

???? ? ???? n ? DE , n ? DA1 .
故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 . 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4,? 2) . ························· 9 分 ························· ························· 1,

???? n,1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, A

???? ???? n?AC 14 1 . cos n,1 ? ???? ? AC 42 n AC 1
所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos 20.解: (Ⅰ)依题意, Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? S n ? 3 ,即 S n ?1 ? 2 S n ? 3 ,
n n

14 . ························ 分 ······················· 12 ······················· 42

由此得 Sn ?1 ? 3

n ?1

? 2( Sn ? 3n ) . ·································· 分 ································· 4 ·································

因此,所求通项公式为

第 98 页

bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ?N* .① ····························· 6 分 ····························· ·····························
(Ⅱ)由①知 S n ? 3 ? ( a ? 3)2
n n ?1

, n ?N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
an ?1 ? an ? 4 ? 3n ?1 ? (a ? 3)2n ?2
?2
n?2

? ? 3 ?n ?2 ? ?12? ? ? a ? 3? , ? ? ?2? ? ? ?

当 n ≥ 2 时,

?3? an ?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?

n?2

? a ? 3≥ 0

? a ≥ ?9 .
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? 综上,所求的 a 的取值范围是 ?9, ? ? .····························12 分 ···························· ···························

?

x2 ? y 2 ? 1, 21.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . ·················· 2 分 ·················· ·················· 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B D O E

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2

第 99 页

由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 所以

?

2 . 1 ? 2k

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2

化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或 k ? .········································ 6 分 ········································ ········································ 3 8 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为
解得 k

?

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

. ·························· 分 ························· 9 ·························

又 AB ?

2 2 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2
1 ? 4k 2 ? 4k ≤2 2 , 1 ? 4k 2

?2
当 2k

? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ············· 12 分 ············· ············· 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△ AEF
? x2 ? 2 y2 ··············································· 分 ·············································· 9 ··············································
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2

第 100 页

≤ 2( x22 ? 4 y22 )
?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ···················· 分 ··················· 12 ··················· 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 . ··············2 分 ·············· ············· ? 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

2π 2π 1 ( k ?Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; ? x ? 2kπ ? 2 3 3 2π 4π 1 当 2kπ ? ( k ?Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . ? x ? 2kπ ? 2 3 3
当 2kπ ? 因此 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? ,kπ ? 2 ? ( k ?Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? ·············· 6 ·············· 2 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? ,kπ ? ? ( k ?Z )是减函数.··············· 分 3 3 ? ?
(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f ( x) ,则

g ?( x) ? a ?

2 cos x ? 1 (2 ? cos x) 2

?a?

2 3 ? 2 ? cos x (2 ? cos x) 2
2

1 1? 1 ? ? 3? ? ? ?a? . 3 ? 2 ? cos x 3 ?
故当 a ≥

1 时, g ?( x ) ≥ 0 . 3

又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . ············9 分 ············ ··········· 当0 ? a ?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . 3

arccos 3a ? 时, h?( x) ? 0 . 故当 x ? 0, arccos 3a ? 上单调增加. 因此 h( x ) 在 0,
故当 x ? (0, arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 即 sin x ? 3ax .
第 101 页

?

?

于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, 当 a ≤ 0 时,有 f ?

f ( x) ?

sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π ?π? 1 ? ? ? 0 ≥ a? . 2 ?2? 2 ?1 ?3 ? ?

因此, a 的取值范围是 ? , ? ? . ································12 分 ································ ······························· ?

第 102 页

第 103 页

第 104 页

第 105 页

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第 112 页

第 113 页

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