nbhkdz.com冰点文库

对一道竞赛题的深入探究

时间:2010-09-05


本文发表于《物理通报》2010 年第一期

对一道竞赛题的深入探究
A deep research on a Competition Problem

田阳阳
(仪征市第二中学,江苏 扬州 211400)

1. 原题及参考解答

1.1 题目 (第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题) 两辆汽车 A 与 B , t = 0 时从 在 十字路口 O 处分别以速度 v A 和 v B 沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如 求在任意时刻 t 汽车 B 的司 图 1 所示。 汽车 A 持续地以固定的频率ν 0 鸣笛, 机所检测到的笛声频率。已知声速为 u ,且当然有 u > v A 、 vB 。 1.2 参考解答 如图 2 所示,t 时刻汽车 B 位于 B ( t ) 处,距 O 点的距离为 vB t 。此时传 播到汽车 B 的笛声不是 t 时刻而是较早时刻 t1 由 A 车发出的。汽车 A 发 出此笛声时位于 A ( t1 ) 处,距 O 点的距离为 v At1 。此笛声由发出点到接 收点( t 时刻 B 车所在点)所传播的路程为 u ( t t1 ) ,由几何关系可知

O

A

vA

B

vB

图1

A(t1 ) θ A(t1 ) O A(t )

vA

B(t )

( vBt ) + ( v At1 ) = u ( t t1 ) 。……………………………(1)
2 2 2

θ B(t )

vB 图2



(u

2

2 v 2 ) t12 2u 2tt1 + ( u 2 vB ) t 2 = 0 。 A

这是以 t1 为变量的一元二次方程,其解为

u 2 ± u 2 (v 2 + v 2 ) v 2 v 2 A B A B t1 = 2 2 u vA
2 2 2

t 。

由于 u > u v A ,且 t1 < t ,所以上式中只能取减号。 即 t1 =
2 2 u 2 u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB A A

u 2 v2 A

t 。………………………(2)

所以 t t1 = 令 u
2

2 2 u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB v 2 A A A

u 2 v2 A

t 。…………………(3)

(v

2 A

2 2 + vB ) v 2 vB = k 。………………………………(4) A

有 t1 =

u2 k k v2 t , t t1 = 2 A2 t 。……………………… (5) u 2 v2 u vA A
1

在 t1 时刻, 位于 A ( t1 ) 处的汽车 A 发出的笛声沿直线 (即波线)A ( t1 ) B ( t ) 在 t 时刻传到 B ( t ) 处, θ A(t ) 、 以

θ B(t ) 分别表示车速与笛声传播方向的夹角,有
cos θ A( t1 ) cosθ B( t ) vA (u 2 k ) v At1 = = 。……………………………(6) u ( t t1 ) u ( k v 2 ) A vB ( u 2 v 2 ) vB t A = = 。……………………………(7) 2 u ( t t1 ) u ( k vA )

令ν ' 表示 B 车司机接收到的笛声的频率,由多普勒效应可知

ν '=

u vB cos θ B( t ) u + v A cos θ A( t1 )

ν 0 。…………………………………………(8)

由(6)(7)(8)式,得 、 、

ν '=

u2 k 2 2 ν 0 ,其中 k = u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB 。……………(9) A A u 2 v2 A

2.创造性解答及讨论

y u

2.1 创造性解答 如图 3 所示,取另一辆从坐标原点 O 出发以速度

γ
β
C (t ) C0 v0 90o α + θ

u'

v0 匀速运动的汽车 C 为参照系。当汽车 A 在 A0
点时, 汽车 C 在 C0 点, 而当汽车 A 行驶到 A ( t ) 点 时, 汽车 C 行驶到 C ( t ) 点, 并收到汽车 A 在 A0 点

E α θ
O

90o α + θ 90o θ

θ

发出的笛声。 θ 为 v0 与 x 轴正方向之间的夹角, 设

A0 A ( t ) vA

α

x

α 为 A ( t ) C ( t ) 与 x 轴正方向之间的夹角, β 为

图3

笛声速度 u' 与汽车 C 运动方向之间的夹角,γ 为 u 与 u' 之间的夹角, 如图 3 所示。 选汽车 C 为参照系时,

易知 u' 与 A0C0 及 A ( t ) C ( t ) 平行。由 v绝对 = v相对 + v牵连 得: u = u' + v0 ; (不妨取 v0 > v A ) 则汽车 C 的司机所接收到的笛声频率为ν ' =

u' , 下面分别计算 u ' 与 λ ' 。 为计算所需, 先做一些准备工作。 λ'

由图 3 可知 β = α θ ,所以 sin β = sin (α θ ) = 由 sin 2 β + cos 2 β = 1 得: cos β = cos (α θ ) =

v At0 sin θ
2 t0 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A

=

v A sin θ
2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



v0 v A cos θ
2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



sin γ =

v0 v sin (α θ ) = 0 u u

v A sin θ
2 v + v0 2 v A v0 cos θ 2 A



cos γ =

2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ A A 2 u v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



cos α = cos (180o α ) =

2 2 v 2 t 2 + v 2 t 2 + v0 t 2 2 v A v0t 2 cos θ v0 t 2 A A 2 2 v 2 t 4 ( v 2 + v0 2 v A v0 cos θ ) A A

=

2 v 2 ( v 2 + v0 2 v A v0 cos θ ) A A

v A v0 cos θ v 2 A



参照图 3 有: u ' = u cos γ v0 cos β = 关于 λ ' 参照图 4 有:

2 2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v0 + v A v0 cos θ A A 2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A



λ ' = λ cos γ
=

λ
u

v A sin ( 90o α )

γ
v A cos α
2 A

2 2 2 2 2 2 2 λ u ( v A + v0 ) 2u v A v0 cos θ v0 v A sin θ

λ

λ'

u 1

2 v 2 + v0 2 v A v0 cos θ A

λ
u


=

u ( v + v ) 2u v A v0 cos θ v v sin θ v A v0 cos θ + v
2 2 A 2 0 2 2 0 2 A 2

vA

ν0

v + v 2 v A v0 cos θ
2 A 2 0

90o α 图4

所以
2 2 2 u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v0 + v A v0 cos θ A A u' ν ' = =ν 0 。……………………(10) 2 2 λ' u 2 ( v 2 + v0 ) 2u 2 v A v0 cos θ v0 v 2 sin 2 θ v A v0 cos θ + v 2 A A A 2 k vB 2 2 ν ,其中 k = u 2 ( v 2 + vB ) v 2 vB 。应当指出以上结 A A 2 0 k + vA

当 θ = 90 , v0 = vB 时,上式化为:ν =
o

果与参考解答的结果(9)式是相等的,因为(9)式
2 2 2 ( u 2 k )( k + v2A ) ν = u 2 k + u 2 v2A u 2 v2A u 2 vB + v2A vB k v2A ν = k vB ν 。 u2 k ν = 2 2 ν0 = 2 2 0 0 u vA k + v2 ( u v A )( k + v2A ) 0 ( u 2 v2A )( k + v2A ) A

2.2 讨论 取 v A = 18m/s , v0 = 20m/s , u = 340m/s 则(10)式化为:

ν ' =ν 0

83694400 83232000 cos θ 129600sin 2 θ 400 + 360 cos θ 83694400 83232000cos θ 129600sin 2 θ 360 cos θ + 324



取 θ ∈ [ -π, π ] 用 Mathematica 软件作图如图 5 所示:

1

ν' ν0

0.98

0.96

0.94

0.92

0.9

-3

-2

-1

1

2

3

θ ( / rad )

图5
分析:从图 5 可以看出, [ -π, π ] 范围内, 在

ν' 随 θ 变化的图像关于 θ = 0 对称。当 θ ∈ [ π, 0] 时, 汽车 C ν0

的司机所接收到的笛声频率ν ' 随 θ 的增大而增大,而当 θ ∈ [ 0, π ] 时,汽车 C 的司机所接收到的笛声频率

ν ' 随 θ 的增大而减小。综而言之,汽车 C 的速
度 v0 与 x 轴正方向之间的夹角的绝对值越大, 其司机所接收到的笛声频率越小。

y

u

γ
β
C (t ) v0 90o α + θ

u'

3.拓展

E
现将创造性解答中的从坐标原点 O 出发以速度

o α θ 90 α + θ

O

θ

C0

A0 A ( t ) vA

α

90o θ

x

图6

v0 匀速运动的汽车 C 拓展为以速度 v = at 匀加速运动 (如图 6 所示)。考虑到此时 S =
C 以速度 v0 匀速运动时 S ' = v0t ;故可令 S = bt ,其中 b =
需将(10)式中的 v0 改为 b =

v at t = t ,而汽车 2 2

at (设时间 t 已足够大,使得 b > v A ) 。则只 2

at 。所以当汽车 C 以速度 v = at 匀加速运动时,其司机接收到的笛声频率: 2

ν '=

u' =ν 0 λ'

1 1 1 1 u 2 v 2 + a 2t 2 u 2 v A at cos θ a 2t 2 v 2 sin 2 θ a 2t 2 + at v A cos θ A A 4 4 4 2 。………(11) 1 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 2 u v A + a t u v A at cos θ a t v A sin θ at v A cos θ + v A 4 4 2
2 o

讨论:取 v A = 18m/s , u = 340m/s , a = 1m/s , θ = 45 ,则(11)式化为: 讨论

1 37454400 + 28859.5t 2 1040400 2t t 2 + 4.5 2t u' 4 ; ν ' = =ν 0 2 λ' 37454400 + 28859.5t 1040400 2t 4.5 2t + 324
取 t ∈ [ 0,1000 ] 用 Mathematica 软件作图如图 7 所示。

1

ν' ν0

0.8

0.6

0.4

0.2

200 -0.2

400

600

t0

800

1000

t

-0.4

图7

同时利用 Mathematica 软件可以求得: t0 = 680s 时,

ν' =0。 ν0

分析: 分析:从图 7 可以看出,当 θ = 45 时,
o

ν' ν' 随 t 变化的图像先增加后一直递减,至 t0 = 680s 时, =0。 ν0 ν0

至 ν 汽车 C 即汽车 C 的司机所接收到的笛声频率ν ' 先增加,后一直减小, t0 = 680s 时, ' = 0 。究其原因,

的速度不断增加,至一定值时,声速无法追及。 参考文献: [1]田阳阳,叶清,李明跃.一道竞赛题的四种解法探讨.物理教师,2009(1) :58


赞助商链接

探究题一

专题一:探究题 4页 免费 一道竞赛题的探究 2页 免费 一道习题引发的探究 3页 5财富值 对一道竞赛题的深入探究 6页 免费 探究性题一 2页 2财富值 对一...

解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮

解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮_学科竞赛_小学教育_教育专区。高中数学总结 ...“垂心”后,仍有类似的面积问题值得我们探究.同时我将给出在同一锐角三角形中...

一道竞赛题的解法探究

一道竞赛题的解法探究湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 如图 1,在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边 分别为a、b、c,若∠A :∠B:∠C=4:2:1, 1 1...

一道竞赛题的探究创新与思维拓展

一道竞赛题的探究创新与思维拓展湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题Ⅰ:...适用于各种题型变化的一种方法,也是笔者 对它进行深入探究创新和思维拓展而得出...

一道平面几何题的深入探究

一道平面几何题的深入探究_学科竞赛_初中教育_教育专区。从一道平面集合题,笔者...《平面解析几何方法证明方法》全书,归纳总结,以供我们以后对一道几何题从不同...

一道竞赛题的解法探究

一道竞赛题的解法探究 湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题:如图 1,在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对 边分 别为a、b、c,若∠A :∠B:∠C=4:2:...

对一道数学竞赛试题的思考

对一道数学竞赛试题的思考 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 对一道数学竞赛试题的思考 作者:李波 来源:《中学数学杂志(高中版)》2015 年第 04 期 ...

片段之十:从一道模拟试题到一道联赛试题

学科竞赛片​段​之​十​:​从​一​...从一道模拟试题一道联赛试题 1 问题提出最近我校...“组装构造斜率”法. 2 解法探究 2.1 一种新的...

竞赛题

一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 2.00元 竞赛题1 14页 免费 竞赛用题 暂无...(A ) A. 民主共和的观念已深入人心 B. 北洋军阀的势力不够强大 C. 护国...

《极恶非道2》一场黑吃黑的较量_1

《极恶非道2》一场黑吃黑的较量_1_互联网_IT/计算机_专业资料。《极恶非道2...《关于举办二道区“颂歌... 6页 免费 对一道竞赛题的深入探究 6页 免费 竞赛...