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2011-2012学年北京四中高一上学期期中考试数学试题(Word


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北京市四中 2011-2012 学年上学期高一年级期中考试数学试卷
试卷分为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分,满分共计 150 分 考试时间:120 分钟
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卷(Ⅰ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小

题 5 分,共 50 分 1. 如果 A= x x ? ?1 ,那么正确的结论是 A. 0 ? A B. {0} ? A
x

?

?

C. {0}

?A
?

D. ? ? A

2. 函数 f(x)=2 ? 2 ,则 f(

1 )= 2
D. -

A. 0

B. - 2

C.

2 2

2 2

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3. 设全集 I= x ? Z ? 3 ? x ? 3 ,A={1,2},B={-2,-1,2},则 A ? (CIB)等于 A. {1} B. {1,2} C. {2} D{0,1,2}

?

?

4. 与函数 y=10 lg( x ?1) 的定义域相同的函数是 A. y=x-1 B. y= x ? 1 C. y=

1 x ?1
x ?x

D. y= x ? 1

5. 若函数 f(x)=3 +3

x

?x

与 g(x)=3 -3

的定义域均为R,则

A. f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C. f(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 6. 设 a=log 3 2,b=ln2,c=5 ,则 A. a<b<c B. b<c<a
3
1 2

C. c<a<b
x

D. c<b<a

?1? 7. 设函数 y=x 与 y= ? ? 的图象的交点为(x 0 ,y 0 ) ,则 x 0 所在的区间是 ?2?
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 8. 已知函数 f(x)是R上的偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? 1 ,则 f(x)<0 的解集是 A. (-1,0) B. (0,1) C. (-1,1)

, D. ?? ?,? 1? ? ?1 ? ??

9. 某商店同时卖出两套西服,售价均为 168 元,以成本计算,一套盈利 20%,另一套亏

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损 20%,此时商店 A. 不亏不盈

B. 盈利 37.2 元

C. 盈利 14 元

D. 亏损 14 元

10. 设函数 f(x)在 ?? ?,? ? ? 上是减函数,则 A. f(a)>f(2a) B. f(a 2 )<f(a) C. f(a 2 +a)<f(a) D. f(a 2 +1)<f(a) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 11. log 6 4+ log 6 9-8 =____. 12. 已知函数 y=f(x)为奇函数,若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)-f(-3)=____。 13. 若函数 f x) ( =
2 3

1 2 m]有最大值 3, 最小值 1, m 的取值范围是____。 则 x -2x+3 在[0, 2

? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) 14. 已知函数 f(x)= ? ,若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则 ? x ( x ? 0)
实数 m 的取值范围是____。 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)
x 15. 已知: 函数 (x) f = 4 ? x +lg (3 -9) 的定义域为 A, 集合 B= x x ? a ? 0, a ?R ,

?

?

(1)求:集合 A; (2)求:A ? B。

]

16. 已知:函数 f(x)=x -bx+3,且 f(0)=f(4) 。 (1)求函数 y=f(x)的零点,写出满足条件 f(x)<0 的 x 的集合; (2)求函数 y=f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。 17. 已知:函数 f(x)=

2

x 2 ? 2x ? a ,x ? ?1,?? ? , x

(1)当 a=-1 时,判断并证明函数的单调性并求 f(x)的最小值; (2)若对任意 x ? ?1,?? ? ,f(x)>0 都成立,试求实数 a 的取值范围。

卷(Ⅱ) 一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分

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1. 下列函数中,满足“对任意 x 1 ,x 2 ? ?0,?? ? ,当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 )>f(x 2 )”的 是 A. f(x)=(x-1) 2 B. f(x)=

1 x

C. f(x)=e x D. f(x)=ln x 2. 设二次函数 f(x)=x +2x+3, x 1 ,x 2 ? R,x 1 ? x 2 ,且 f(x 1 )=f(x 2 ) ,则 f
2

(x 1 +x 2 )= A. 1 B. 2
3

C. 3

D. 4

3. 若函数 f(x)=x+x , x 1 ,x 2 ? R,且 x 1 +x 2 >0,则 f(x 1 )+f(x 2 )的值 A. 一定大于 0 B. 一定小于 0 C. 一定等于 0 D. 正负都有可能

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分

?1? 4. 函数 y= ? ? ?2?

3? 2 x? x 2

的定义域为____,值域为____。

5. 已知函数 f(x)=ax +(1-3a)x+a 在区间 ?1,?? ? 上递增,则实数 a 的取值范围是
2

____。 6. 若 0<a<b<1,则在 a b ,b ,log a b,log b a 这四个数中最大的一个是____。 三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分 7. 已知:函数 f(x)=ax(0<a<1) , (Ⅰ)若 f(x 0 )=2,求 f(3x 0 ) ; (Ⅱ)若 f(2x -3x+1) ? f(x +2x-5) ,求 x 的取值范围。
2 2 a

8. 已知:集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:在定义域内存在 x 0 ,使得 f(x 0 +1)=f(x 0 )+f(1)成立。 (1)函数 f(x)=

1 是否属于集合 M?说明理由; x

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(2)设函数 f(x)=lg

a ? M ,求实数 a 的取值范围; x ?1
2

(3)证明:函数 f(x)=2 x +x 2 ? M。

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【试题答案】
卷Ⅰ 1. C 6. A 11. -2 12. 1 13. [2,4] 14. (0,1) 15. 解: (1) ? 2. A 7. B 3. D 8. C 4. C 9. D 5. B 10. D

?4 ? x ? 0

?x ? 4 ?? x ? 2 ? x ? 4 ,定义域 A= ?2,4? ; x 2 ?3 ? 9 ? 0 ?3 ? 3

4分

(2)B= x x ? a ? 0, a ?R =(- ? ,a) ①当 a ? 2时,A ? B ? ? , 6分 8分

?

?

②当 2<a ? 4时,A ? B ? 2, a) , ( ③当 a>4 时, A ? B ? ?2, ? 。 4

10 分

]

16. 解: (1)由 f(0)=f(4) ,得 b=4,

2分 4分

所以,f(x)=x 2 -4x+3,函数的零点为 1,3, 依函数图象,所求集合为 x 1 ? x ? 3 。

?

?

6分

(2)由于函数 f(x)的对称轴为 x=2,开口向上, 所以,f(x)的最小值为 f(2)=-1, 8分 f(x)的最大值为 f(0)=3 10 分 17. 解: (1)当 a=-1 时 f(x)= 对任意 1 ? x1 ? x 2 ,

x 2 ? 2x ? 1 1 ? x? ? 2, x x

1分

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?
3分 ∵ 1 ? x1 ? x 2 ,

x ? x 2 ( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 1) 1 1 ? 2 ? x2 ? ? 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? x1 x2 x1 x 2 x1 x 2

∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1,

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∴ x1 x2 ? 1 ? 0, ∴f(x 1 )-f(x 2 )<0,f(x 1 )<f(x 2 ) 所以 f(x)在 ?1,?? ? 上单调递增 5分 6分

所以 x=1 时 f(x)取最小值,最小值为 2

(2)若对任意 x ? ?1,?? ? ,f(x)>0 恒成立,则
2

x 2 ? 2x ? a >0 对任意 x ? ?1,?? ? 恒成 x
2

立,所以 x +2x+a>0 对任意 x ? ?1,?? ? 恒成立,令 g(x)=x +2x+a, x ? ?1,?? ? 因为 g(x)= x +2x+a 在 ?1,?? ? 上单调递增,
2

所以 x=1 时 g(x)取最小值,最小值为 3+a,∵ 3+a>0,∴ a>-3。 卷Ⅱ 1. B

10 分

2. C

3. A

4. R, ? ,?? ? ; 16 5. [0,1] 6. log b a 7. 解: (Ⅰ)f(3x 0 )=a
3x0

?1 ?

? ?

=(a

x0

) 3 =8;
x

4分

(Ⅱ)因为 0<a<1,所以 f(x)=a 单调递减; 所以 2x -3x+1≥x +2x-5,解得 x≤2 或 x≥3; 8. 解: (Ⅰ)f(x)= 令
2 2

10 分

1 的定义域为 ?? ?, ? ? ?0,? ? ? , 0 x

1 1 ? ? 1 ,整理得 x 2 +x+1=0,△ =-3<0, x ?1 x

0 因此,不存在 x ? ?? ?, ? ? ?0,? ? ? 使得 f(x+1)=f(x)+f(1)成立,所以 f(x)


1 ?M ; x

3分

(Ⅱ)f(x)=lg

a a 的定义域为R,f(1)=lg ,a>0, 2 x ?1
2

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若 f(x)= lg

a a a a =lg 2 +lg , ? M,则存在 x ? R使得 lg 2 2 ( x ? 1) ? 1 x ?1 x ?1
2

整理得存在 x ? R使得(a 2 -2a)x 2 +2a 2 x+(2a 2 -2a)=0. (1)若 a 2 -2a=0 即 a=2 时,方程化为 8x+4=0,解得 x=- (2) a 2 -2a ? 0 即 a ? ?0, ? ? ?2,? ? ? 时, 若 令△ ≥0, 解得 a ? 2 综上,a ? [3- 5 ,3+ 5 ]; 7分

?3 ? 5,2?? ?2,3 ? 5 ?

1 ,满足条件: 2



(Ⅲ)f(x)=2 x +x 2 的定义域为R, 令2 x ?1 +(x+1) 2 =(2 x +x 2 )+(2+1) ,整理得 2 x +2x-2=0, 令 g(x)=2 x +2x-2,所以 g(0)· g(1)=-2<0, 即存在 x 0 ? (0,1)使得 g(x)=2 x +2x-2=0, 亦即存在 x 0 ? R使得 2 x ?1 + (x+1)2 = x +x 2 ) (2+1) 故 f x) x +x 2 ? M。 (2 + , ( =2 10 分


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