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高一(上)期末数学试卷(二)


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高一(上)期末数学试卷 (二)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)cos(﹣1560°)的值为( ) A.﹣ B. C.﹣ D.

2. (5 分) (2014?江西)已知函数 f(x)= a

=( A. ) B. C.1 D.2

(a∈R) ,若 f[f(﹣1)]=1,则

3. (5 分) (2012?安徽)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f (x)=x﹣|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=﹣x



4. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上是减函数 的为( ) A. B.y=x C.
2

D.

5. (5 分) (2015?泉州校级模拟)已知 α∈( A.﹣7 B.﹣ C.7 D.

,π) ,sinα= ,则 tan(α﹣

)=(



6. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) .若 λ 为实数, A. B. C. ,则 λ=( D. )

7. (5 分) (2015?泉州模拟)函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示, x 则函数 g(x)=a +b 的大致图象是( )

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A.

B.

C.

D. 的图象上各点的纵坐标不变, )

8. (5 分) (2010?鲤城区校级二模)将函数 y=sin 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 A.f(x)=sinx B.f(x)=cosx

个单位,所得到的图象解析式是(

C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x

9. (5 分) (2011?海淀区校级模拟)设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0∈R 满足:对任 意 a>0,都存在 x∈X,使得 0<|x﹣x0|<a,称 x0 为集合 X 的聚点.用 Z 表示整数集,则在 下列集合中: ① 以 0 为聚点的集合有( A.②③ B.①④ ; ②{x|x∈R,x≠0};③ ) C.①③ ; ④整数集 Z

D.①②④

10. (5 分) (2015?上饶校级模拟)偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[﹣1,0] 时,f(x)=cos 范围是( A. ) B. C. (2,4) D. (3,5) ﹣1,若函数 g(x)=f(x)﹣logax 有且仅有三个零点,则实数 a 的取值

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知集合 M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∪N= . 12. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)= . 的定义域为

13. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知向量 则 = .

夹角为 45°,且



14. (5 分) (2013?高陵县校级模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A,ω,φ 是常数,A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)= .

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15. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的 初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚 动到圆心位于(1,1)时, 的坐标为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2015 春?松原校级期末)已知 =( (1)若 ∥ ,求 tan2x 的值; (2)若 f(x)=( ﹣ )? ,求 f(x)的单调递增区间. 17. (12 分) (2011?启东市校级一模)如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, . (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求 的值. sinx,1) , =(cosx,2) .

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18. (12 分) (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈[0,1] 时,f(x)=3 ﹣1. (1)求 f(x)在[﹣1,0]上的解析式; (2)求 的值.
x

19. (12 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知函数 f(x)=﹣x +2ax﹣2a+b,且 f(1)=0. (1)若 f(x)在区间(2,3)上有零点,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)在[0,3]上的最大值是 2,求实数 a 的值. 20. (13 分) (2014 秋?合肥校级期末)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象的一 条对称轴是 x= . 上的最大值和最小值; ,求 cos2α 的值.

2

(1)求 φ 的值及 f(x)在区间 (2)若 f(α)= ,

21. (14 分) (2014 秋?合肥校级期末)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条 件:①f(x)在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的 值域为[a,b];那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数,且条件②中的区间[a,b]为 f(x)的一 个“好区间”. (1)求闭函数 y=﹣x 的“好区间”; (2)若[1,16]为闭函数 f(x)=m (3)判断函数 y=k+ x 的“好区间”,求 m、n 的值;
3

是否为闭函数?若是闭函数,求实数 k 的取值范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)cos(﹣1560°)的值为( ) A.﹣ B. C.﹣ D.
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【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可得 到结果. 【解答】解:cos(﹣1560°)=cos(1560°)=cos(360°×4+120°)=cos120°=cos(180°﹣60°) =﹣cos60°=﹣ . 故选:A. 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2. (5 分) (2014?江西)已知函数 f(x)= a=( A. ) B. C.1 D.2
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(a∈R) ,若 f[f(﹣1)]=1,则

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件代入计算即可. 【解答】解:∵f[f(﹣1)]=1, ∴f[f(﹣1)]=f(2 ∴ .
﹣(﹣1)

)=f(2)=a?2 =4a=1

2

故选:A. 【点评】本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基 础题. 3. (5 分) (2012?安徽)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f (x)=x﹣|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=﹣x 【考点】进行简单的演绎推理. 【专题】计算题. 【分析】分别根据函数解析式求出 f(2x)与 2f(x) ,看其是否相等,从而可得到所求. 【解答】解:f(x)=|x|,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x) ,故满足条件; f(x)=x﹣|x|,f(2x)=2x﹣|2x|=2(x﹣|x|)=2f(x) ,故满足条件; f(x)=x+1,f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x) ,故不满足条件; f(x)=﹣x,f(2x)=﹣2x=2(﹣x)=2f(x) ,故满足条件;
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故选 C 【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理,同时考查了运算求解的能力,属于基础题. 4. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上是减函数 的为( ) A. B.y=x C.
2

D.
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【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件, 得到本题结 论. 【解答】解:选项 A, ∵f(x)= ,f(﹣x)= ∴y= 是奇函数,不合条件; 选项 B, y=x 在(0,+∞)单调递增,不合条件; 选项 C, ∵ ,f(﹣x)= ,
2

=﹣f(x) ,

∴f(x)是偶函数,在区间(0,+∞)上是减函数,符合条件; 选项 D, ∵ ∴ ,f(﹣x)=( ) =2
﹣x

x



不是偶函数,不符合条件.

故答案为:C. 【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性,本题难度不大,属于基础题. 5. (5 分) (2015?泉州校级模拟)已知 α∈( A.﹣7 B.﹣ C.7 D.
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,π) ,sinα= ,则 tan(α﹣

)=(



【考点】同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】根据同角三角函数关系先求出 cosa,然后根据 tana= 角差的正切函数公式解之即可. 【解答】解:∵a∈( ,π) ,sina= ,

求出正切值,最后根据两

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∴cosa=﹣ ,则 tana= = =﹣

∴tan(a﹣

)=

=

=﹣7

故选 A. 【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系,以及两角差的正切函数,同时考查了运 算求解的能力,属于基础题.

6. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) .若 λ 为实数, A. B. C. ,则 λ=( D.
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【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 根据向量的数乘和加法运算求出 量积等于 0 求解 λ 的值.

的坐标, 然后根据

运用数

【解答】解:因为向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) ,所以 , 所以 所以 11+3λ=0,所以 . ,因为 ,

故选 D. 【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系,考查了计算能力,是基础题. 7. (5 分) (2015?泉州模拟)函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示, 则函数 g(x)=a +b 的大致图象是(
x



A.

B.

C.
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D.

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【考点】指数函数的图像变换. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)的图象确定 a,b 的取值范围,结合指数函数的图象进行判断即可. 【解答】解:由 f(x)的图象可知 0<a<1,b<﹣1, 则函数 g(x)为减函数,且 g(0)=1+b<0, 故选:A 【点评】本题主要考查指数函数的图象的识别和判断,根据一元二次函数的图象确定 a,b 的取值范围是解决本题的关键.
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8. (5 分) (2010?鲤城区校级二模)将函数 y=sin 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移

的图象上各点的纵坐标不变, )

个单位,所得到的图象解析式是(

A.f(x)=sinx B.f(x)=cosx C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】常规题型;计算题.
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【分析】函数 y=sin

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,求

出函数的表达式,然后平移求出函数解析式. 【解答】解:函数 y=sin 倍,得到 y=sin ,再向右平移 个单位,得到 y=sin =sinx 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2

故选 A 【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,注意三角函数的平移原则为左加右减 上加下减. 9. (5 分) (2011?海淀区校级模拟)设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0∈R 满足:对任 意 a>0,都存在 x∈X,使得 0<|x﹣x0|<a,称 x0 为集合 X 的聚点.用 Z 表示整数集,则在 下列集合中: ① ; ②{x|x∈R,x≠0};③ ; ④整数集 Z

以 0 为聚点的集合有( ) A.②③ B.①④ C.①③ D.①②④ 【考点】空集的定义、性质及运算. 【专题】压轴题;新定义. 【分析】由已知中关于集合聚点的定义,我们逐一分析四个集合中元素的性质,并判断是否 满足集合聚点的定义,进而得到答案.
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【解答】解:①中,集合 除了第一项 0 之外,其余的都至少比 0 大 ,

中的元素是极限为 1 的数列,

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∴在 a< 的时候,不存在满足得 0<|x|<a 的 x, ∴0 不是集合 的聚点

②集合{x|x∈R,x≠0},对任意的 a,都存在 x= (实际上任意比 a 小得数都可以) ,使得 0 <|x|= <a ∴0 是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点 ③集合 中的元素是极限为 0 的数列,

对于任意的 a>0,存在 n> ,使 0<|x|= <a ∴0 是集合 的聚点

④对于某个 a<1,比如 a=0.5,此时对任意的 x∈Z,都有|x﹣0|=0 或者|x﹣0|≥1,也就是说 不可能 0<|x﹣0|<0.5,从而 0 不是整数集 Z 的聚点 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是集合元素的性质, 其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义, 是解答本题的关键. 10. (5 分) (2015?上饶校级模拟)偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[﹣1,0] 时,f(x)=cos 范围是( A. ) B. C. (2,4) D. (3,5)
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﹣1,若函数 g(x)=f(x)﹣logax 有且仅有三个零点,则实数 a 的取值

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得,函数 f(x)的图象既关于 y 轴对称又关于 x=1 对称,函数 f(x)是 周期为 2,函数 y=f(x)的图象

和函数 y=logax 有的图象有且仅有 3 个交点,数形结合可得 范围. 【解答】解:∵偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2﹣x) , 故函数的图象既关于 y 轴对称又关于 x=1 对称, 故函数 f(x)是周期为 2. 由当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=cos 可得函数 f(x)的图象, 如图所示: 由题意可得,函数 y=f(x)的图象
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,由此求得 a 的

﹣1,

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和函数 y=logax 有的图象有且仅有 3 个交点,

故有

,求得 <a< ,

故选:A.

【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,体现了转化、数形结合的数学思想, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知集合 M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则 M∪N= {0,1,3,9} . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由题意求出集合 N,然后直接利用并集运算得答案. 【解答】解:∵M={0,1,3}, ∴N={x|x=3a,a∈M}={0,3,9}, 则 M∪N={0,1,3,9,}. 故答案为:{0,1,3,9}. 【点评】本题考查了并集及其运算,是基础的计算题.
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12. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)=

的定义域为

(﹣2,1] . 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】根据二次根式的定义可知 1﹣x≥0 且根据对数函数定义得 x+2>0,联立求出解集即 可.
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【解答】解:因为 f(x)=

,根据二次根式定义得 1﹣x≥0①,根据对

数函数定义得 x+2>0② 联立①②解得:﹣2<x≤1 故答案为(﹣2,1] 【点评】 考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量 x 的取值范围. 会求不等 式的解集.
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13. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知向量 则 = .
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夹角为 45°,且



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意,先求出 【解答】解:∵向量 且 ∴ =4×1 ﹣4×1× ∴ =
2

,再计算 夹角为 45°,

即可.

, =4 ﹣4 ? + =2,

cos45°+ ;

故答案为: . 【点评】本题考查了求平面向量的模长运算问题,是基础题. 14. (5 分) (2013?高陵县校级模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A,ω,φ 是常数,A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)= .

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可 得函数的解析式,从而求得 f(0)的值.
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【解答】解:由函数的图象可得 A= 再根据五点法作图可得 2× 故答案为: .

, ?T=



= ? sin (2x+

,求得 ω=2. ) , ∴( f 0) = sin = ,

+φ=π, ∴φ=

, 故( f x) =

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【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点 坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,属于基础题. 15. (5 分) (2014 秋?合肥校级期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的 初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚 动到圆心位于(1,1)时, 的坐标为 (1﹣sin1,1﹣cos1) .

【考点】平面向量的坐标运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】设滚动后的圆的圆心为 C 并设∠BCP=θ,求出⊙C 的方程和参数方程,由题意求
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出角 θ,再由三角函数的诱导公式,化简可得 P 为(2﹣sin2,1﹣cos2) ,即可求出 标. 【解答】解:设滚动后的圆的圆心为 C,切点为 A(2,0) ,连接 CP 过 C 作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 C 于 B(2,1) ,设∠BCP=θ 2 2 ∵⊙C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =1, ∴根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(1+cosθ,1+sinθ) , ∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,圆滚动到圆心位于(1,1) ∴∠ACP=1,可得 θ= 可得 cosθ=cos( +1, ﹣1)=﹣cos2,

的坐

﹣1)=﹣sin1,sinθ=sin(

代入上面所得的式子,得到 P 的坐标为(1﹣sin2,1﹣cos2) , 所以 的坐标是(1﹣sin1,1﹣cos1) ,

故答案为: (1﹣sin1,1﹣cos1) .

【点评】本题根据半径为 1 的圆的滚动,求一个向量的坐标,考查了圆的参数方程和平面向 量的坐标表示的应用等知识点,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2015 春?松原校级期末)已知 =( sinx,1) , =(cosx,2) .

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(1)若 ∥ ,求 tan2x 的值; (2)若 f(x)=( ﹣ )? ,求 f(x)的单调递增区间. 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】平面向量及应用. 【分析】 (1)利用向量共线定理、倍角公式即可得出;
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(2)利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得 f(x)=( ﹣ )? = ﹣ = ﹣ ,再利用正弦函数的单调性即可得出. ,

【解答】解: (1) ∴ ;





(2) f (x) = ( ﹣ ) ? = ﹣2 = = 令 ﹣ ,



=

=

. .

所以 f(x)的单调递增区间是

【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正 弦函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17. (12 分) (2011?启东市校级一模)如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, . (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求 的值.

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【考点】平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义;向量的三角形法则;数量积表 示两个向量的夹角. 【专题】计算题.
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【分析】 (1) ,据相等向量的定义及向量的运算法则:三角形法则求出 本定理求出 x,y 的值 (2) 利用向量的运算法则将 用

,利用平面向量基

表示, 利用向量数量积的运算律将



的模及它们的数量积表示求出值. 【解答】解: (1)∵ ∴ ∴ (2)∵ ∴ ∴ ∴ , ,即 ,即 , ,即 , , ,

= = 【点评】本题考查向量的加法、减法的运算法则;向量的数量积及其运算律; 利用运算法则将未知的向量用已知向量表示, 从而将未知向量的数量积, 用已知向量的数量 积表示. 18. (12 分) (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈[0,1] x 时,f(x)=3 ﹣1. (1)求 f(x)在[﹣1,0]上的解析式;
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(2)求 的值.

【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数周期性的性质即可求 f(x)在[﹣1,0]上的解析式; (2)利用函数的周期性和奇偶性的性质将变量进行转化即可求 的值.
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【解答】解: (1)当 x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],又 f(x)是偶函数 则 (2) , ∵1﹣log32∈[0,1], ∴ 即 . , ,x∈[﹣1,0].

【点评】 本题主要考查函数值的计算以及函数解析式的求解, 根据函数奇偶性和周期性的性 质,是解决本题的关键. 19. (12 分) (2014 秋?合肥校级期末)已知函数 f(x)=﹣x +2ax﹣2a+b,且 f(1)=0. (1)若 f(x)在区间(2,3)上有零点,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)在[0,3]上的最大值是 2,求实数 a 的值. 【考点】二次函数的性质;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)由 f(1)=0 可得 b=1,由 f(x)在区间(2,3)上有零点,结合二次函数的
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2

图象和性质,可得
2

,解得实数 a 的取值范围;

(2)根据二次函数 f(x)=﹣x +2ax﹣2a+1 的图象开口方向朝上,对称轴为 x=a,分类讨论 [0,3]与对称轴位置关系,进而结合 f(x)在[0,3]上的最大值是 2,可求实数 a 的值 2 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=﹣x +2ax﹣2a+b, 由 f(1)=0,得﹣1+2a﹣2a+b=0, 解得:b=1.…(2 分) 又 f(x)在区间(2,3)上有零点,且 f(x)的一个零点是 1; 所以,
2

.…(6 分)

(2)∵f(x)=﹣x +2ax﹣2a+1 的图象开口方向朝上,对称轴为 x=a. ①当 a≤0 时,fmax=f(0)=﹣2a+1=2,则 ;

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②当 0<a<3 时, ③当 a≥3 时,fmax=f(3)=4a﹣8=2,则 综上: 或 . …(12 分) ,则 (舍去) ; ,或 (舍去) ;

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的零点,是函数图象和性质的综 合应用,难度不大,属于基础题. 20. (13 分) (2014 秋?合肥校级期末)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象的一 条对称轴是 x= . 上的最大值和最小值; ,求 cos2α 的值.
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(1)求 φ 的值及 f(x)在区间 (2)若 f(α)= , 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】 (1)根据函数的对称轴即可求 φ 的值及 f(x)在区间 值; (2)根据 f(α)= ,

上的最大值和最小

,利用两角和差的余弦公式即可求 cos2α 的值. .

【解答】解: (1)f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图象的一条对称轴是 故 又 0<φ<π,故 所以, . . ,k∈Z …(3 分)

即 f(x)在区间 (2)由已知得 所以

上的最大值是 1,最小值是 ,

. …(7 分) , ,

=

…(13 分)
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【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数值的计算, 利用条件求出函数的 解析式是解决本题的关键. 21. (14 分) (2014 秋?合肥校级期末)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条 件:①f(x)在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的 值域为[a,b];那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数,且条件②中的区间[a,b]为 f(x)的一 个“好区间”. (1)求闭函数 y=﹣x 的“好区间”; (2)若[1,16]为闭函数 f(x)=m x 的“好区间”,求 m、n 的值;
3

(3)判断函数 y=k+ 是否为闭函数?若是闭函数,求实数 k 的取值范围. 【考点】函数单调性的性质;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 3 【分析】 (1)根据“好区间”的定义即可求闭函数 y=﹣x 的“好区间”;
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(2)根据若[1,16]为闭函数 f(x)=m

x 的“好区间”,建立方程组关系即可求 m、

n 的值; (3)根据闭函数的定义,进行验证即可得到结论.
3

【解答】解: (1)∵y=﹣x 是减函数,∴
3

故闭函数 y=﹣x 的“好区间”是[﹣1,1]. (2)①若 f(x)是[1,16]上的增函数,则∴ 此时 是[1,16]上的增函数,故

…(3 分)

符合题意.

②若 f(x)是[1,16]上的减函数,则∴ 此时 因为 函数, 故 综上: …(8 分) 不符合题意. . ,所以 在区间[1,16]上不是减

(3)若

是闭函数,则存在区间[a,b]?[﹣1,+∞) ,满足



故方程 f(x)=x 在区间[﹣1,+∞)上有两不相等的实根.
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由 得 2 令 则 x=t ﹣1, 2 方程可化为 t ﹣t﹣k﹣1=0,且方程有两不相等的非负实根; 2 令 g(t)=t ﹣t﹣k﹣1, 则 …(14 分)

【点评】 本题主要考查与函数有关的新定义问题, 考查学生的理解和应用能力, 综合性较强, 难度较大.

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