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2015届高考调研文科课时作业55


课时作业(五十五)
x2 y2 1.若椭圆16+b2=1 过点(-2, 3),则其焦距为( A.2 5 C.4 5 答案 解析 D 4 3 ∵椭圆过(-2, 3), 则有16+b2=1, b2=4, c2=16-4=12, c=2 3, B.2 3 D.4 3 )

2c=4 3.故选 D. x2 y2 2. 已知椭圆 + =1, 长轴在 y 轴上,

若焦距为 4, 则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.7 答案 解析 D 椭圆焦点在 y 轴上,∴a2=m-2,b2=10-m. B.5 D.8 )

又 c=2,∴m-2-(10-m)=c2=4.∴m=8. x2 y2 10 3.已知椭圆 5 +m=1 的离心率 e= 5 ,则 m 的值为( A.3 C. 15 答案 B 25 B.3 或 3 5 15 D. 15或 3 )

解析

?5>m, 若焦点在 x 轴上,则有? 5-m ? 5 =
10 5 .

10 . 5

∴m=3.

?m>5, 若焦点在 y 轴上,则有? m-5 ? m =

25 ∴m= 3 .

x2 y2 3 4.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为5.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( )

A.10 C.16 答案 D

B.12 D.20

解析

如图,由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a,又 c 3 3 e=a=5,即 c=5a, 16 ∴a2-c2=25a2=b2=16. ∴a=5,△ABF2 的周长为 20. x2 y2 5.椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c.若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( 1 A.2 3 C. 2 答案 解析 A c 1 由 d1+d2=2a=4c,∴e=a=2. 2 B. 2 3 D.4 )

x2 2 6.已知椭圆 4 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 →· → MF 1 MF2=0,则点 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 3 C. 3 答案 解析 B 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). 2 6 B. 3 D. 3 )

→ → 设 M(x,y),则MF1· MF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0,整理得 x2+y2 =3.① x2 x2 又因为点 M 在椭圆上,故 4 +y2=1,即 y2=1- 4 .② 3 2 6 将②代入①,得4x2=2,解得 x=± 3 . 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 3 . x2 y2 1 7. 设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率, 且 e∈(2, 1), 则实数 k 的取值范围是( A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( 3 ,+∞) 答案 解析 C 1 k-4 16 当 k>4 时,c= k-4,由条件知4< k <1,解得 k> 3 ;当 0<k<4 时, 16 B.(3, 3 ) D.(0,2) )

c= 4-k, 1 4-k 由条件知4< 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C. x2 y2 →· → 8.已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的一点,若PF 1 PF2 1 =0,tan∠PF1F2=2,则此椭圆的离心率为( 1 A.2 1 C.3 答案 解析 D 1 →· → 由PF 1 PF2=0,得△PF1F2 为直角三角形,由 tan∠PF1F2= ,设|PF2| 2 2 B.3 5 D. 3 )

5 =m,则|PF1|=2m,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c= a2-b2),即 4c2=5m2,c= 2 m, 而

3m c 5 |PF2|+|PF1|=2a=3m,∴a= 2 .∴离心率 e=a= 3 ,故选 D. x2 y2 9.已知椭圆 4 + 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,点 P 为该椭圆上一动 →· → → → 点,则当PF 2 PA1取最小值时|PA1+PF2|的取值为( A.0 C.4 答案 解析 B 由已知得 a=2,b= 3,c=1,所以 B.3 D.5 )

F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y), →· → 则PF (-2-x,-y) 2 PA1=(1-x,-y)· =(1-x)(-2-x)+y2. 3 又点 P(x,y)在椭圆上,所以 y2=3-4x2,代入上式, 1 →· → 1 2 2 得PF 2 PA1= x +x+1= (x+2) . 4 4 又 x∈[-2,2], →· → 所以 x=-2 时,PF 2 PA1取得最小值. → +PA → |=3. 所以 P(-2,0),求得|PF 2 1 10.设 F1,F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆,已知圆 F2 经过椭圆的 中心,且与椭圆相交于点 M,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率为 ( ) A. 3-1 2 C. 2 答案 解析 A B.2- 3 3 D. 2

π 由题意知∠F1MF2=2,|MF2|=c,|F1M|=2a-c,则 c2+(2a-c)2=4c2,e2 +2e-2=0,解得 e= 3-1. x2 11.已知点 M( 3,0),椭圆 4 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则 △ABM 的周长为______________. 答案 解析 8 x2 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 4 +y2=1

的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8. x2 y2 12.已知点 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆25+ 9 =1 上一动点,则|MA|+|MB| 的最大值为________. 答案 解析 10+2 10

显然 A 是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为 A1(-4,0),连接 BA1 并延长交椭圆于 M1,则 M1 是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆 上的任意点 M 有: |MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当 M1 与 M 重合时取等号), ∴|MA| +|MB|的最大值为 2a+|A1B|=2×5+ 62+22=10+2 10. y2 13.F1,F2 是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E b
2

相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为________. 答案 解析 4 3 由椭圆的定义可知

|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2,相加得 |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4.

∴|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. ∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列, ∴2|AB|=|AF2|+|BF2|. 4 于是 2|AB|=4-|AB|,∴|AB|=3. 14.

x2 y2 如右图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率; → =2F → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF 2 2B,求椭圆的方程. 答案 解析 即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e=a= 2 . (2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), 3 b → =2F → 由AF 2 2B,解得 x= ,y=- . 2 2 9 b2 4 4 x2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1. a b a b 9 1 即4a2+4=1,解得 a2=3. x2 y2 所以椭圆方程为 3 + 2 =1. 15.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的 比是 2: 3. 2 (1) 2 x2 y2 (2) 3 + 2 =1

(1)若∠F1AB=90° , 则△AOF2 为等腰直角三角形. 所以有|OA|=|OF2|,

(1)求椭圆 C 的方程; → |最小时, (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当|MP 点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. 答案 x2 y2 (1)16+12=1 (2)1≤m≤4

解析

c=2, ? ?a 2 (1)由题意知?b= , 3 ? ?a2=b2+4,

2 ?a =16, ? 解之得 2 ?b =12.

x2 y2 ∴椭圆方程为16+12=1. x2 y2 0 0 (2)设 P(x0,y0),且16+12=1, → |2=(x -m)2+y2 ∴|MP 0 0 x2 0 2 =x0 -2mx0+m2+12(1-16) 1 2 =4x0 -2mx0+m2+12 1 =4(x0-4m)2-3m2+12. → |2 为关于 x 的二次函数,开口向上,对称轴为 4m. ∴|MP 0 → |2 最小,∴4m≥4,∴m≥1. 由题意知,当 x0=4 时,|MP 又点 M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4.


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