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【高考调研】2016届高三(新课标)数学(文)一轮复习检测:选修4系列综合检测卷


选修系列 4

综合测试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求)

?x=1+2, 1.已知直线 l 的参数方程为? 3 ?y=2+ 2 t
A. 3x+y+2- 3=0 C.x- 3y+2- 3=0 答案 B

t

r />(t 为参数),则其直角坐标方程为(

)

B. 3x-y+2- 3=0 D.x+ 3y+2- 3=0

解析

?x-1=2, ∵? 3 ?y-2= 2 t,

t

∴y-2= 3(x-1).

即 3x-y+2- 3=0. 2.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=5,BC=10,AC 与 BD 交于点 O,过 O 点作 EF∥AD,交 AB 于 E,交 DC 于 F,则 EF=( )

10 A. 3 C.10 答案 B

20 B. 3 D.20

3.“a=2”是“关于 x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 答案 C B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

解析 因为|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空,得 a>1,所 以“a=2”是“关于 x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的充分不必要条件,故选 C. π 4.在极坐标系中,点(2, )到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为( 3 A.2 C. π2 1+ 9 B. D. 3 π2 4+ 9 )

答案 D

解析

?x=ρcosθ=2cos3=1, 由? π ?y=ρsinθ=2sin3= 3

π

π 可知,点(2, )的直角坐标为(1, 3),圆 ρ=2cosθ 的方程为 x2 3

+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,则圆心到点(1, 3)的距离为 3. 5.设 x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则 M 与 N 的关系是( A.M≥N C.M=N 答案 A 解析 x2+1≥2x,y2+1≥2y,x2+y2≥2xy,三式相加即可. 6.如图,E,C 分别是∠A 两边上的点,以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点 D,点 B,若∠A=45° , 则△AEC 与△ADB 的面积比为( ) B.M≤N D.不能确定 )

A.2∶1 C. 2∶1 答案 A

B.1∶2 D. 3∶1

解析 连接 BE,求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE2∶AB2 的值,设 AB=a,∵∠A=45° , 又∵CE 为⊙O 的直径,∴∠CBE=∠ABE=90° . ∴BE=AB=a,∴AE= 2a.∴AE2∶AB2=2a2∶a2. 即 AE2∶AB2=2∶1,∴S△AEC∶S△ABD=2∶1.
?x=1+2t, ? 7.直线? (t 为参数)被圆 x2+y2=9 截得的弦长为( ? y = 2 + t ?

)

12 A. 5 9 C. 5 5 答案 B
? ?x=1+2t, ? ? ?y=2+t ?

12 B. 5 5 9 D. 10 5

解析

?x=1+ ? ?y=1+

5t× 5t×

2 , 5 1 . 5

? ?x=1+2t, 把直线? 代入 x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2 ?y=2+t ?

=9.5t2+8t-4=0. ∴|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 8 16 12 12 ?- ?2+ = ,弦长为 5|t1-t2|= 5. 5 5 5 5 ) B.[-1,+∞)

8.不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集是( A.[1,+∞)

C.(-∞,-1] 答案 A 解析 设 f(x)=|x+1|-|x-2|, -3,x≤-1, ? ? 则 f(x)=|x+1|-|x-2|=?2x-1,-1<x<2, ? ?3,x≥2.

D.(-∞,1]

由 f(x)≥1,解得 x≥1,所以解集为[1,+∞). 9.如图,AC 切⊙O 于 D,AO 延长线交⊙O 于 B,BC 切⊙O 于 B,若 AD∶AC=1∶2,则 AO∶OB 等 于( )

A.2∶1 B.1∶1 C.1∶2 D.2∶1.5 答案 A 解析 如右图所示,连接 OD,OC.

∵AD∶AC=1∶2, ∴D 为 AC 的中点. 又∵AC 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥AC.∴OA=OC. ∴△AOD≌△COD. ∴∠1=∠2. 又∵△OBC≌△ODC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2=∠3=60° ,∴OC=2OB. ∴OA=2OB.故选 A. 10.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l 的参数方程是

?x=-1+ 22t, ? 2 ?y=1+ 2 t
A. 2 C.4 答案 B

(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2,直线 l 与曲线 C 交于 A,B,则|AB|=(

)

B.2 2 D.4 2

解析 依题意得,直线 AB 的普通方程是 y-1=x+1,即 x-y+2=0.曲线 C 的标准方程是 x2+y2=4, 圆心 C(0,0)到直线 AB 的距离等于 2 = 2,|AB|=2 4-? 2?2=2 2,选 B. 2 )

11.若不等式|x+a|≤2 在 x∈[1,2]时恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,0] C.(-3,0) 答案 A B.[0,3] D.(0,3)

解析 由题意得-2≤x+a≤2,-2-x≤a≤2-x,所以(-2-x)max≤a≤(2-x)min.因为 x∈[1,2],所以 -3≤a≤0. 12.如图,AB 是半圆的直径,点 C,D 在 AB 上,且 AD 平分∠CAB,已知 AB=10,AC=6,则 AD 等于( )

A.8 C.2 10 答案 D

B.10 D.4 5

解析 如图,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=∠D=90° .

又∵AC=6,AB=10,∴BC=8. 3 ∴cos∠BAC= . 5 又∵AD 平分∠BAC, 1 ∴∠BAD= ∠BAC. 2 8 ∴2cos2∠BAD=1+cos∠BAC= . 5 2 5 ∴cos∠BAD= . 5

2 5 又在 Rt△ADB 中,AD=AB· cos∠BAD=10× =4 5. 5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1 13.(2014· 重庆)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 ________. 1 答案 [-1, ] 2 1 1 1 5 1 解析 |2x-1|+|x+2|=|x- |+(|x- |+|x+2|)≥0+|(x- )-(x+2)|= ,当且仅当 x= 时取等号,因 2 2 2 2 2 5 1 5 1 此函数 y=|2x-1|+|x+2|的最小值是 .所以 a2+ a+2≤ ,即 2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤ ,即实数 a 2 2 2 2 1 的取值范围是[-1, ]. 2 x= t, ? ? 14.(2014· 湖北)已知曲线 C1 的参数方程是? (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 3t y= ? 3 ? 为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 答案 ( 3,1) x= t, ? ? 由题意,得 ? 3t y= ? 3 ?

解析

? x2 = 3y2(x≥0 , y≥0) ,曲线 C2 的普通方程为 x2 + y2 = 4 ,联立

?x2+y2=4, ? ?x= 3, ? 2 得? 即 C1 与 C2 的交点坐标为( 3,1). 2 ? ?x =3y ?y=1,

15.如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G,给出下列三个 结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF· AG=AD· AE;③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是________. 答案 ①② 解析 由题意,根据切线长定理,有 BD=BF,CE=CF,所以 AD+AE=(AB+BD)+(AC+CE)=(AB +BF)+(AC+CF)=AB+AC+(BF+CF)=AB+AC+BC. 所以①正确;因为 AD,AE 是圆的切线,根据切线长定理,有 AD=AE. 又因为 AG 是圆的割线,所以根据切割线定理有 AD2=AF· AG=AD· AE,所以②正确; 根据弦切角定理,有∠ADF=∠AGD.又因为 BD=BF,所以∠BDF=∠BFD=∠ADF,在△AFB 中, ∠ABF=2∠ADF=2∠AGD,所以③错误. 1 16.已知正实数 x,y 满足 2x+ y+m=xy,若 xy 的最小值是 9,则实数 m 的值为________. 2

答案 3 解析 由基本不等式,得 xy≥2 xy+m,令 xy=t,得不等式 t2-2t-m≥0.∵xy 的最小值是 9,∴t 的最小值是 3.∴3 是方程 t2-2t-m=0 的一个根,∴m=3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 a2 b2 c2 (2) + + ≥1. b c a 答案 (1)略 (2)略

证明 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a a2 b2 c2 所以 + + ≥1. b c a 18.(本小题满分 12 分)如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG=PD,连 接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F.

(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED. 答案 (1)略 (2)略

证明 (1)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA. 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA. 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD. 从而∠BDA=∠PFA.

由于 AF⊥EP,所以∠PFA=90° ,于是∠BDA=90° . 故 AB 是直径.

(2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径, 故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB. 于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB, 所以∠DCB=∠CBA. 故 DC∥AB. 由于 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角. 于是 ED 为直径,由(1)得 ED=AB. 19.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐标 2 4 方程为 ρ2= ,直线 l 的极坐标方程为 ρ= . 1+sin2θ 2sinθ+cosθ (1)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (2)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值. 答案 (1)C1:x2+2y2=2,l: 2y+x-4=0 2 3 (2) 3 解析 (1)C1:x2+2y2=2,l: 2y+x=4. (2)设 Q( 2cosθ,sinθ),则点 Q 到直线 l 的距离 | 2sinθ+ 2cosθ-4| d= = 3 π |2sin?θ+ ?-4| 4 2 ≥ , 3 3

π π π 当且仅当 θ+ =2kπ+ ,即 θ=2kπ+ (k∈Z)时取等号. 4 2 4 2 3 ∴点 Q 到直线 l 距离的最小值为 . 3 20.(本小题满分 12 分)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延 长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC.

(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6,求 AD 的长. 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3

解析 (1)∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB. ∴FB=FC. (2)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD, FB FA ∴△FBA∽△FDB,∴ = ,∴FB2=FA· FD. FD FB (3)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90° . 1 ∵∠EAC=120° ,∴∠DAC= ∠EAC=60° ,∠BAC=60° .∴∠D=30° . 2 ∵BC=6,∴AC=2 3,∴AD=2AC=4 3. 21.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1, C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. π? ? π? 答案 (1)C1:ρ=2,C2:ρ=4cosθ,? ?2,3?,?2,-3?
?x=1, ?x=1, ? ?-π≤θ≤π? 或? ? ?- 3≤t≤ 3? (2)? 3? ? ? ?y=t ?y=tanθ ? 3

解析 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.
?ρ=2, ? π 解? 得 ρ=2,θ=± . 3 ?ρ=4cosθ, ?

π π 2, ?,?2,- ?. 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? 3 3 ? ? ? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一.
? ?x=ρcosθ, (2)方法一:由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρsinθ, ? ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t ?

?x=1, ? ? ? ?- 3≤y≤ 3?? ?或参数方程写成? ?y=y ? ? ? ?x=ρcosθ, ? 方法二:将 x=1 代入? ? ?y=ρsinθ,

1 得 ρcosθ=1,从而 ρ= . cosθ 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
? ?x=1, ? ?y=tanθ ?

?-π≤θ≤π?. 3? ? 3

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=|x-1|+2a(a∈R). (1)解关于 x 的不等式 f(x)<3. (2)若不等式 f(x)≥ax,?x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 3 3 答案 (1)当 a≥ 时,x∈?;当 a< 时,x∈(2a-2,4-2a) 2 2 (2)[0,1] 解析 (1)由 f(x)<3,即|x-1|+2a<3,得|x-1|<3-2a. 3 当 3-2a≤0 时,即 a≥ ,不等式的解集为?; 2 3 当 3-2a>0 时,即 a< ,不等式等价于 2a-3<x-1<3-2a,得 2a-2<x<4-2a. 2 3 3 综上,当 a≥ 时,不等式的解集为?;当 a< 时,不等式的解集为{x|2a-2<x<4-2a}. 2 2 1-x 1 (2)方法一:由 f(x)≥ax,当 x<1 时,a≥ =(-1- )∈(-1,0).∴a≥0. x-2 x-2 x-1 当 1≤x≤2 时,a(x-2)≤x-1 恒成立?a≥ 恒成立, x-2 ∵ x-1 1 =(1+ )∈(-∞,0],∴a≥0. x-2 x-2

当 x=2 时,1+2a≥2a 恒成立,a∈R. x-1 当 x>2 时,a≤ 恒成立, x-2 ∵ x-1 ∈(1,+∞),∴a≤1. x-2

综上,?x∈R 使得不等式 f(x)≥ax 恒成立的 a 的取值范围是[0,1]. 方法二:由 f(x)≥ax,即|x-1|+2a≥ax, ∴|x-1|≥a(x-2).

依题意,y=|x-1|的图像恒在 y=a(x-2)图像的上方,而 y=a(x-2)恒过(2,0)点,依图分析得 0≤a≤1.


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