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第一届美国数学邀请赛


1 9

8

3

年 第 四 期
.



:



9 2
D





: ( 放在 原 点 u “ + 这时 从
,
,<

br />

〔(
:
2

.

)

如图3
,


,

一 把 正 方 形 放 在 座标 平 面 与 它 的 距 离 很 容 易 写 成 一 个代 数


x

一 ~




姗.

. . . . . . . . . 口. . . . , . . . . . . . . 口 暇二 二

月 及 召

.



=

w



得到
仁(


x



1)



+

y “」 + l)
x

1 )

2

+

(y



1)2



=

+
x
,

(y
Z



一 {厂
10
0

一~

. . . ‘司. 口. . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . 曰

.

化简 得
+



4

2

+ 一
,

y

Z

=
2

o
+

就是
Z

(x

2)

y

=

2

.

\

可 见 心

,

P的
,

轨迹 是
为 圆
2




\
, P 加 夕)

以 (2


0 )



150

0



20
:

0

.

半径 为 了
9
,


8

从图 地 楚 看出
.

可以 清 这 个圆
,

再求 出 对△ A c P 和△ B C P 分 别 用 正 弦 定 律 得到
乙 它 PA
,

又解
=

30



.

1矿

1 9

) 上离 D 最 远的 点 是E = ( 2 + 了 2 0 c ) c P B C P ( A △ 0 3 和△ 有角 边 边对 等 因 为 两 个 角 形 不 全 等 (乙 C P 人 今 应相 这 三 乙 C P B ) 所 以 乙 C P A 应与 乙 C P B 互 补 从 △ A e P 算出 乙 C P A = 1 8 0 一 飞0 一 ( 1 8 0 一 4 0 ) 二 3 0
. .

5

in

10

0

s

in

30

C

主 10









CP

A C
11



,

,



和丝

1 0

0

_

s

in



CPB
s

BC

:

因 为A

C



BC
,

,

所以

in

乙e P B
B




一 1 2

-

再 因为
,

c

0





0

_

乙 C P B 今乙 C P A
=

应 得 到乙 C p

25 0



所以 B N



以乙C p B

=

Js o

O

.



BN

=



Pc 。二 28 0

0

-

20



第一 届美国数学邀请赛 (A IM E ) 试题解答
美国举 办了 第一届 数 我 国 的 北 京 市 和 卜海 市 应 邀 学邀 请赛 (A IM E ) 参加 了 竞 赛 竞 赛分 三 个 阶 段 进 行 三 月 一 日 举 行 了 初赛 也 是 第三 十 四 届 美 国 中学 数 学 考试 初 赛 共3 0 道选 择 题 要 求 用 一 个 半 小 时 答 完 每 题 答 对 得 4 分 答错 得 一 〕 分 并 有底 分 3 0 分 因此 满 分 为15 。 分 凡初 赛成 绩在 9 5 分 以 上 的 同 学参加 复 赛 复 赛共 1 5 道 填空 题 要 求 用 二 个 半 小 时 答 完 在 试 卷 的注 意 事 项 上 己 经 指 明 每 题 只 有 一 个 正 确 答 案 分 共 计 工5 分 下 面 向 而 且 它 是一 个 整 数 每 题 了 大 家 介 绍 的 就 是 这 次 复赛 的 试 题 并 由 笔 者 作 了 解 答 供 大 家 参考 : x z 一 设 都 大 于 1 、 是 一 个正 数 而 且 有 0 0 、 , = 0 1 9 w = 24 1 9 w = 40 10 9 12 求1 9 w 0 、 = t 由 题 设有 解 设1 9
,


今年三 月二 十 二 日

,

:

.

10 9

:

y :

w



lg w
lg
x

+

lg y + 1 9 2



,



lg w

,

,

,

,

,

渺 24
一 千
t 12



妞丝一卜 业 w
4O
t





,



,

1 匆
1

+

41
1



1 l 2

,

.



? n

,

解得t

=

60

,

即1
=
x

0

9

:

w
,



60

.




中o <



x 设f (
.

)



P



x 一 一

f 5 l

+

x



P



1 5 ]
f

,





,

,

,

,

:

P< 1 5



,

,

,



,

:

.

:

.

试求

:

对于 区 间P 毛 成 1 5 中的 来 说
x x

,

x ) 的 (

:

,

‘ g




i ’ ! 牡\

,

,g y







最小 值 是 什 么 : P 解 (


?
x

成 巧 及 P>
P
+

O
+

,

:

?

P



5 ) 1
=

x

.

’f ( :

x “

)

二 x 一
,

15



x

P + ] 5

一 x

30

一 x




:
.



:

蕊 15
0 3

f(x ))



5 1

=

J5
.

.

…f(x)

的 最小 值 是 1 5

.

44

,









. . 曰. . . . 曰口. ‘. . . . .

三 解



求 方程


x Z

+

18

x

+

3 0

=

2


,

x Z

+

18

x

+

45

=

? ‘



y,

的实根的乘积 设
t Z 一


贝 J l
2

7

(x

+

y)


、 ,

2

?

厅 J

,一 ! .

t 二



,

x Z

+
= =

18
0

,

x

+

45

i受
O
,

x

+

y

二 t

,

Zt 5
+

15
t
:

J。 二

t

l

=
x “

3
=

( :


t
,

>

舍去)



丝吐 叮
=

’ :


x Z
.

18
x

x

+

45 0

5
.

t

3



2I t + 20

0

,

+

18

+ 2 0 =


(
O
x l
,
?‘?

t 一
:

1 ) ( t 一 4)

(
,

t + t
3

5)
=

二 一

0 5
.

.


:
.

: △=

8 T


,

4

?

2 0>

t

=

1

,

t

Z

=

4

方程 有 二 实 根
X 1

设为
.



‘:

,



x


+

y可
a
3
:

能 取 的 实 数值 中最 大 的 是 4
= =

.

由韦 达 定 理得
x Z


=


a
,

6
6

.

十 +

8

.

,


3

a 。 :

被钧除的余数
l)
吕 “



20

.



“ 3

s,





一 个机 器 零 件 的 形 伏
,

是一个 有缺 口 灼圆 ( 如 图1)
c
,

m 这 个 圆 约 半 径 是丫 0 5 c A 〕的长 B C 的 长度 度是 6 m
,

m 乙 A B C是直 角 求 几 与圆心的 距离 ( 以 厘 米 为 单

是Z

e

,



位 ) 的 平方 解 如 图艺 补成 一个 圆O 连A e 延长A B交? O于


0
图 丫4 0
.

?

=

(7



1)


““

+
3

(7
8

+


=

( 7
C
+

8 “

C
:
+

孟7

+

?


+

e

7 孟 孟
+



)

+

7 一 “ “

(
+

7

a 3

e
+

;

:

7一
?



e

: ;7

2

)

e

;;7

,



1

显然

,

上 式 中括 号 内 的 各 项 均 是 7 的 倍 数
的余 数 就

,



,



a : 3

被4 9除


是c

,

,

套 二

7



1 、 c

呈 呈

了 + 1 被 49

D

.

连O A
,

,

, O B

作O E 上 于
,

A :

除 的余 数

于E
乙A

O F上 A B
丫A B
Rc
=

F

,


=

CD 2
,


:
.

C
a


7 复 呈
3



1

+

C

7 + 轰 兰

z

=

216 2
.

=

49 x

2 3 35
+

,

6
,

B C



9 除 的 余 数 为 35 被理

为直角
=

由勾 股 定 理 得
2

A C


=


4J

选 出 了 三位 骑 士 ( 选 择 哪 兰 个 都 是 等 概 率 的 ) 去 斩 妖



亚 瑟 王 的 拓 位 骑 士 坐 在 他 们 的 圆 桌旁

,

AE

之了 而

=

设 p 是选 出 的 三 位 之 巾至 少 有二 位 座 次 相 邻 的 概 率 如 果 p 写 成 既约 分 数 求 分 子 当 分 母 的和 解 从 2 5 人 选 出 3 人的 选 法 有

,
,

,



于是

,

OE


了O
E
=

A





AE
=

Z


.

c

:

:

=

’ .

O A s

器 意
=

洛 誉 子
3
,

3

=

. 5 2
2
,

3 2

?

‘ (

种,

?

从 圆 桌 旁2 5 人选

人且 有

人相 邻 的 选 法 可 以

又 乙 B ” c 的度 数

云 合
_

的 度数

=



o A

“的 度

这样进行

:

把相 邻 二 人 看成 一 人

则 选 法 有2 5 种
,

,


_

_

,

_


_

_
=

乙 又


UD C
= 二

=

, 乙A U 匕

t g UD d
.

1




: BC

2

,

…BD


=
=

4

另一 人 的 选 法 显 然 还 有 2 3 种 但 这 样选 出 之 后 由 于 是 圆 桌 所 以 三 人都 相 邻 的 选 出 重 复 了 而 三 人 都 相 邻 的 选 法 有 25 种 所 以 从 2 5 人 中选 出 三 位 且 至 少 有二 位 座 次 相 邻 的 选 法有 25 2 3 一 2 5 = 25 2 2 ( 种 )
, ,
. ?

.

.

于是 A
、 。

D
1

A B
:

BD


6



4



10

,

于 是 听求 的 概率 为

盗轰 泥
.

=

.

BF

=

土A
2


,

D





BD



!

因 而 分 子与 分 母 之 和 为 5 7



一 0 B2
=

O F“


+

B F“




0 A
.

2



A FZ

+

FB

整数一
?

Z

50

25 + 1
x ,

26

数 因 子 是几
,


0 是1
,



段两 个 复 数
+


y的平方和是 7

其立 方 和
?

字 忿 ( :} ) 最 注 即 仁 ( {黔 是 二 : 〕
的 大 的两 位 数 的
:
.

X

y可

能 取 的实 数值 中最 友 的 是 几
十 +



:
.


y)

n

=

C

200

?

19 9

?

]98

一 10 2

?

101

x Z x 3

y

Z

= =

7

,

10 0 ! 19 9


:

ys

10 7

=

(x
(X

+ y)
+

(x
2

Z

+

yZ
Z

一 x

=

2

5 0

?

19 7

.

19 5 一 1 0 3 1 0 1




? + y, ‘



-

y)



(x

+

yZ )



3

50 !
,

此 数 为 一整 数

而 分 子 19 9

?

19 7

?

19 5 … 10 3 10 1
?

1

9

8

3

年 第 四 期
,

是 三 位 奇 数 的 乘 积 于 是 所 求 的最 大 的两 位 数 的 素 因 子 只 能 从 三位奇合 数 中寻 找


于是

,

V

:

_ 。 :

.
二 二



1
3



.

了百 粤


s ”

.

由于小 于 2 0 的 合数 一 定 含 有 小 于 了 2 0 0 的素 毛 1 为 因 子 因 在 们 之 的 奇 合 的 数 此 到 9 间 数 素因 子
,

=

兰冬
24

,

3

?

一 定 含有


3

,



,

:

,

: 1

,

13

中 的一 个
,





~

琪早
,

~ -

同 法 可截 得 棱 锥 F
V
,
_



A DN

6 于 是所 求 最 大 的 两 位素 因 子 一 定 小 于 。 一 ” 一 乃 ~ 一 一一 = 1 3 恰 为 而 小 于 6 的 最大 素 数 为 6 且 6 1 x 3 18

66



毛 8


,

‘。 :





















述2
艺4
,

,

C

的 分子中的一个因 子 孟 召 言
.

,

于 是所 求 最 大 素 因 子

又 棱柱

V

‘ :

。。 .



S△

。。 二

?

MN

Z 之 一厂、

1

2

5 5



为6 1

于 是所求体 稠 为




求f( )
x



兮入 2



i”Z
X 3

x

+

4

i

n X

(O <

x

<



) 的

v



述多
24





丝旦
.

5 3



1

,

犷 住



下 若 8

_

, -

最小 值 解



s i n 设l
? ‘(

、 =


t

,

则 t 是实 数

.



翌旦
3

。s 二

25 8

于是
.

卜 里
10 05


.

土生 )

兰一 全矜

, :

.

十二



如图
,

5

,

一个圆 的

x . f( , ) 的最 小 值 为 1 2




144 7

,

,

12 3 1

这 几 个 数有 许 多 相 同 之
,

直 径 A B 的 长度 是 个 两 位 的 整 数 (功 进 制 ) 把 两 个 数字颠
弦 C D 的长 度
O

都 恰 有两 个 相 最高 位 是 1 同 的 数字 一 共 有 多 少 这 样 的 数 ? 则另 解 相 同 数字 是 1 的 由 于 最 高 位 是 1 处
:

它 们 都 是 四 位数
,

,

倒 一 下 就 是与 直 径 A B 垂 直 的 从交 点 H 到 圆 心
, ,


,

,

的 距 离是 一 个 正 的 有 理 数 求 人 B 的 长度


一 个 1 有三 种 位 置 选 择 其 余 两 位 有
,

P孟 种

排 法

,



叭 则 解



3

?

p



=

3

x

72



2 16
,

(种 )

.

设A B = x 且 斗0
.

lo x

+

y

,

其扫



:

,

y



o

,

1

,

2

,

CD
,

=

1 0y +

x

.

相 同 数字不 是 1 的 相 同 数 有 9 种 选 法 另 一 位有 8 种选 法 且 另 一 位 可在 相 同 二 个 数字 之 左 二 6 种 之 右 之 中三 种位 置选 择 因 此 有 3 , 8 2 1 选法 ’ 共 : 有 2 16 + 2 16 = 43 2个 2 g 题 中要求 的 数 字 十 一 图 3 中的 多面 体 的 6 底 面 是 边长 为 的正 方 形 卜 S 面 的棱 平行 于 底 面 其 长 为
,



oH

Z



/

茎士y i夕

?

\


I

、 ‘ 了 /



y 2 0 一 1 一 一 林

、 了 、 ,



,

?

?



,


(:

x
,

, ’ ‘ ”



yZ )

.



由 于 O H 是有 理 数

,

则 11 ( x
(1 I k ) 2
y) (
x
,





yZ )

必须为完 全



,

_

,

厄 三 了

平方 数


,


22
x Z 2


:

y

Z

)
x

=

y

=

(
x

+




y) 。 <

=
x

2 Ik
+

l

.

显然
O<
x

+

y)
:

y

,


x

y

落1 8

,

2,

,

己 知

。 二


6


,

2

,

求这个



y< 8

多面 体 的 体 积

解 如图 过 作 平 面 B C M 垂 直 于 平 面C D F E 与 平面 A B E F 交 于B M 与 犷D FE 交于 CM 于 是 B M 土 E F
, ,
.

4

BC

子 是 只能 有 : 解得 = 6 y
,

+ y = 1 1,

.



y

=

1

.

5

,

l

即 人B 65 十三 对于 { 1



,

2

,

,

. 3
:

?

,

,

.

空子 集

,

我们 定 义 交 替 和 如 下
,
,

} 和 它 的每 个 非 把 子 集 中的 数按 从

n

又 ,.’ A
^ B
二 。,

BE F
=

是等 腰 梯 形
,
,
.

,

大 到 小 的 顺 序排 列 减 各 数 ( 例如 { 1
9

,

然 后 从 最 大 的 数 开 始交 替 地 加
2
,

EF

2

、M E





,



6 + 4
n



2 十 I

夕气 m



、 ,

。 。



一一 甘乙 足 仪干



。 。、

一 七 。

肚 盯U 向

~ *

健力

一 水 浏。

J





。 人
u





3




, s

对于



7

,

9 } 的 交替 和 是 } 而 { 的交 替和就是 5 ) 求 所有 这 些交 替 和 的 总和
4
,

6

,



6

,

6





CM





才早
2
‘二

s △:

?

了 百 冬


。“

,

7 } 的非 空 子 集有 2 而 每 个 元 素 在 子 集 中均 出 现“ 次 按 照 题 目 的 要 求 1 2 3 4 5 6 在 子集 中 的排 列 各有 3 2 次 在 奇 数 位 3 2 次在偶数 位 因 此 子 集 中这 些 数 的 交 替 和 为 。 而 7 也 出 现“ 次 尹 均 = 取 正 值 故所 有 子 集 的 交 替 和 的 总 和 是 7 x 6 4 4 4 8


7



显然 扭 1 = 12 7 个

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

,

,



,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

46
~
曰. . . .

.









. .

一. .

. . .

十四
的 半径 为




8

6
6
,

中两 圆
,

解 交于P
连 OA
,

两个 和 圆 心 的距 离 是 1 2 过 两 圆 交 点之 一 的 直 线 被 两 圆 截 出相 等 的 弦 Q P 和 P R 求 QP 长度 的 平 方
, 。

如图 9 设A D 和 B C 连 O P 则 O P 上A D
,
,
.

,

0 3

,

O C
= 一 x

,

作OE 生 B C
_

于E
x
,

,

且 设 PA


p D
.

=

y

,

p E

=

则B P 可 得O E =
A P PD
?

3
.

又 由题 设




O

如 图
.
.

7
:

,


N


由相交弦定理
=


M L QR

QR 于 N
PR

于M O 由 己 知 QP
=



B P
=

?

P C
一 x

.


.

y

(3

) (3
,

+

x

)

=

9



x


Bc

, 贝 , QM

N R





Qp

又 因 为 P 点 唯一

,

则以 O A 为直径 的 圆 与
=



于 是弦 切 角 ‘O P E
因为
e o g

‘A


.


0
,

QM

二 x

,


7

A



P人 0 人

户 V一 O



M

=


=

e o s

0 PE

PE 一 0 P
1

X

一 一



了8
=



一 x





:


16 +

x Z

0

:

N

了0
:

:

R

Z

N R

Z

=
:
:

亿6
,

2



x

2

.

于是
=

,


U

=
、/

作0 则0
0
;

K
.

上0
=

M

交0


M 于K N 0

,

16 + 9
X 2

x 艺


K

0
:

M
K

0



K



M N

Z

x

.

Z 平方后将y



一 x

代 入 可 解得

.

x

=

2

.

由勾股定理得
0

2 2

从而可 得C P
+





3

=

=

0
2 Z

Z

0

:

K

Z ,

于 是△ c P O 为 等 腰 三 角 又因 为‘A
+




,

‘c 所以

PO



‘ CO P

.



14 4

‘ AOP
=

=


90
,

,

(丫 8
理x


一 x “ 一 =

了6

2



x “ t

)2

+

(Z x ) 2
.

解得
十五
,

23 0

如图 的两 个 相 交 的 弦 其 中 B 在 A D Bc 小弧 上 设 圆 半 径 是 5 二 6 A D 被 B C等 分 又设 从 A A D 出 发的 弦 只 有 能 被B c 等 分 这 样可 以 知 道 A B 小 弧 对 应的 正 弦 是 一 个 有 理 数 如
, ,
,

8

,

即 QP 若一个圆
,



1 30

‘ CO P

+

‘AO P
_

9 0

所以 于是
,

O A

LO C
_

.

‘A O
s

B

+

‘BO
二 e o ,

乙= 9 0



,

i

n

AO B
=

B OC
2

,



e o s

BO C

0 B

+

0 C2




BC3

7

2



O B 0 O C

,

是 有 理数

,

,

5

in A O B

=

7
25

也 是有理 数
x

,

果 把这 个 有 理数 化 成 最 简 分 数 竺




,

8
n
.

求m


?

,

m

一 25

7

=

‘ 75

(王 速 笑

解 答)

读 者
本刊 一文的例
n a

作 者应 编 者
.
:

江 苏 省 响 水 县 向 阳 中学 吕忠 诚 同 志 来 信 指 出
19 8 3年
7

第一 期 《 证 明 不 等 式 的 一 种 常用 技巧 》 有误







n

i

入一 卜 吕

原题为

:



如果 )
a

b

.

,

则 显然
,

1 3 一


L n t 一 1

n

+

一 1 2

n

+

3 2 一 n

7 一 巧 n

+

一 2 9

n

(a




b)b 一


,

a


n

b



(

n

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b )a 一

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b


都 小于
因此
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且 为奇数时

结论是不 能 成立
:



原 题 中应 加 上 条 件

“a



b

)


0




=

读者注意

我 们 向 昌思 诚 同 志 致 以 谢 意
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a Z ”

编者

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+ y 八 三 年 第三 期 第 1 8 页右 栏 第 巧 行 圆 “ x “ 于 Z = a “ + Z; y L 应为 圆 第1 9 页右栏 第
“ 二 “

, ,

本 刊 八 三 年 第 一期 第 3 8 页右栏第n 行
n

1
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行 的 第 二 个等 号
_

应为


“ 一 ”




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第 4 3 页右 栏 倒
,



k





告 杏 是 母 含 青

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特此更 正




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