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高一数学必修2全套教案(共62页)1


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小结: (1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序 (5)评价设计 作业:P38 A(4) 补充:设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进制数. 算法初步 复习课 (1)教学目标 (a)知识与技能 1

.明确算法的含义,熟悉算法的三种基本结构:顺序、条件和循环,以及基本的算法语句。 2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。 (b)过程与方法 在复习旧知识的过程中把知识系统化,通过模仿、操作、探索,经历设计程序框图表达解决问题的过 程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。 (c)情态与价值 算法内容反映了时代的特点,同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征, 取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力,算法进入中 学数学课程,既反映了时代的要求,也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴,也就成为了中国数 学课程的一个新的特色。 (2)教学重难点 重点:算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计 难点:与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写 (3)学法与教学用具 学法:利用实例让学生体会基本的算法思想,提高逻辑思维能力,对比信息技术课程中的程序语言的 学习和程序设计,了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用,引导学生体会算法的核心是一般 意义上的解决问题策略的具体化。 面临一个问题时, 在分析、 思考后获得了解决它的基本思路 (解题策略) , 将这种思路具体化、条理化,用适当的方式表达出来(画出程序框图,转化为程序语句) 。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 一.本章的知识结构
程 序 框 图 算法 算 法 语 句 排序 进位制 辗转相除法与更相减损术

秦九韶算法

二.知识梳理 (1)四种基本的程序框

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终端框(起止框)

输入.输出框

处理框

判断框

(2)三种基本逻辑结构

顺序结构 (3)基本算法语句 (一)输入语句 单个变量

条件结构

循环结构

INPUT “提示内容” ;变量
多个变量

INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,?
(二)输出语句

PRINT “提示内容” ;表达式
(三)赋值语句

变量=表达式
(四)条件语句 IF-THEN-ELSE 格式

IF 条件 THEN 语句 1ELSE 语句 2 END IF

满足条件? 是 语句 1

否 语句 2

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当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语 句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) IF-THEN 格式

IF 条件 THEN 语句

是 满足条件? 否 语句

END IF
计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执 行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。其对应的程序 框图为: (如上右图) (五)循环语句 (1)WHILE 语句

WHILE 条件 循环体 满足条件? 否

循环体

WEND 环体或跳出循环体的。

是 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循
当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环

体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符 合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当 型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) (2)UNTIL 语句

DO 循环体

循环体 否 满足条件? 是

LOOP
(4)算法案例 案例 1 案例 2 案例 3 案例 4

UNTIL

其对应的程序结构框图为: (如上右图)

条件

辗转相除法与更相减损术 秦九韶算法 排序法:直接插入排序法与冒泡排序法 进位制

三.典型例题 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 解:INPUT “n=”;n

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编写时间__年__月__日 i=1 sum=0 WHILE i<=n sum=sum+i i=i+1 WEND PRINT sum END

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思考:在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式的循环语句,能不能使用 UNTIL 循环? 例 2 设计一个程序框图对数字 3,1,6,9,8 进行排序(利用冒泡排序法)
开始

输入

a1,a2,a3,a4,a5

r=1

i=1

ai>ai+1




x=ai ai=ai+1 ai+1=x

i=i+1

r=r+1

否 i=5



否 r=5



输出

a1,a2,a3,a4,a5

结束

思考:上述程序框图中哪些是顺序结构?哪些是条件结构?哪些是循环结构? 例 3 把十进制数 53 转化为二进制数. 解:53=1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 =110101(2) 例 4 利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。 解:6497=3869×1+2628 3869=2628×1+1241 2628=1241*2+146 1241=146×8+73 146=73×2+0 所以 3869 与 6497 的最大公约数为 73 最小公倍数为 3869×6497/73=344341 思考:上述计算方法能否设计为程序框图? 练习:P40 A(3) (4) (5)评价设计 作业:P40 A(5)(6) 2.1.1 教 学 目 标 : 1、知识与技能: (1)正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤; 2、过程与方法: 简 单 随 机 抽 样
5 4 3 2 1 0

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(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题; (2)在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。 3、情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界 及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。 4、重点与难点:正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用相 关知识从总体中抽取样本。 教 学 设 想 : 假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备 怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。 (为什么?)那么,应当怎样获取样本呢? 【探究新知】 一、简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本, 叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 思 考 ? 下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本。 (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一 个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。 二、抽签法和随机数法 1、抽签法的定义。 一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌 均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本。 【说明】抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 思考? 你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 2、随机数法的定义: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅介绍随机数表 法。 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛 奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步 骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘取了附 表 1 的第 6 行至第 10 行) 。

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16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27

49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它 去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出, 这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 【说明】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)在随机数表中选择开始数字。 (3)读数获取样本号码。 【例题精析】 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来 说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张,其他 各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样。 例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下测 量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法。 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测量这个 10 个号签对应 的轴的直径。 解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起始位置,如取 第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,这 10 件即为所要抽取 的样本。 【课堂练习】P 【课堂小结】 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法:放回和不 放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。 2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号 的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时,仍 然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一定要将每个个体入样的可能 性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开业,避免在解 题中出现错误。 【评价设计】 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是 A.总体是 240 B、个体是每一个学生 C、样本是 40 名学生 D、样本容量是 40 2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的

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编写时间__年__月__日 长度是 A、总体 定个体被抽到的可能性是 是 教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; 。 ( )

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B、个体是每一个学生 。

C、总体的一个样本

D、样本容量

3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则某一特 4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽到的均为女生的可能性 2.1.2 系统抽样

(2)掌握系统抽样的一般步骤;

(3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论的数学方法, 3、情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的联系。 4、重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 教学设想: 【创设情境】 :某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名 进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? 【探究新知】 一、系统抽样的定义: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先 制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。 【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2) 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段, 分段的间隔要求相等, 因此, 系统抽样又称等距抽样, 这时间隔一般为 k=[ n ]. (3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分 段间隔的整倍数即为抽样编号。 思考? (1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( ) A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到 大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品 检验 C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为 止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 点拨: 2) 不是系统抽样, ( c 因为事先不知道总体, 抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。 二、系统抽样的一般步骤。 (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。(2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤ k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K,再加上
N

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K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 【说明】从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问题 简单化,体现了数学转化思想。 【例题精析】 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情况,要按 1: 5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。 [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号。 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人, 第一组是编号为 1~5 的 5 名学生, 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生, 第 依次下去, 组是编号为 291~295 59 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 k(1≤k≤5), 那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3, 8,13,??,288,293。 例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若采 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32

[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故选 B。 【课堂练习】P49 【课堂小结】 1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应采用等可能剔除的方剔 除部分个体,以获得整数间隔 k。 【评价设计】 1 、 从 2005 个 编 号 中 抽 取 20 个 号 码 入 样 , 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 , 则 抽 样 的 间 隔 为 ( A.99 ) B、99,5 C.100 ( ) D、4,13,22,31,40 D、100,5 练习 1. 2. 3

N

2、从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法, 则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 性为 A.8 B.8,3 B、5,16,27,38,49 ( C.2, 4, 6, 8, 10 ) D.9 抽样方法。

3、采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个体人样的可能 C.8.5

4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有 关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是 取 10%的工作调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单位的路上平均所用的时间,决定抽

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编写时间__年__月__日 2.1.3 教学目标: 1、知识与技能:

执行时间__年__月_日 分层抽样

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(1)正确理解分层抽样的概念; (2)掌握分层抽样的一般步骤; (3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当正确的方法进行抽样。 2、过程与方法:通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法。 3、情感态度与价值观:通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计与“精确”性的矛盾统一,培养 学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。 4、重点与难点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三种抽样方法解 决现实生活中的抽样问题。 教学设想: 【创设情景】 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地教育部门为了了解本地区中小学的 近视情况及其形成原因,要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 【探究新知】 一、分层抽样的定义。 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定 数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。 【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、 不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每 层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 二、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。 探究交流 (1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个体构成样本,所 以 分 层 抽 样 为 保 证 每 个 个 体 等 可 能 入 样 , 必 须 进 行 ( ) B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等可能抽样 ( ) (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (4)综合每层抽样,组成样本。

A、每层等可能抽样

(2)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本,那么每个个体被抽到的可能性为 A. N 点拨: 1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽共同的特征,为了保证这一点,分层时用 同一抽样比是必不可少的,故此选 C。 (2)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量比,故此题选 C。 知识点 2 类 别 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 共同点 各自特点 联 系 适 用

1

1
B. n

C. N

n

D. N

n

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范 围 简 单 随 机 抽 样 (1) 抽样过程中每个个体 被抽到的可能性相等 (2) 每次抽出个体后不再 将它放回,即不放回 系 统 抽 样 分 层 抽 样 将总体分成几层, 分层进行抽取 分层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 抽样 从总体中逐个抽取 将 总 体 均 分 成 几 部 分,按预先制定的规则在 各部分抽取 在起始部分 样时采用简 随机抽样 总体个数 较少 总体个数 较多 总体由差 异明显的 几部分组 成

【例选精析】 例1、 某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 [分析]因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分。设三部分各抽取的个体数分别 为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15,10,20,故选 D。 例 2:一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样 的方法?并写出具体过程。 [分析]采用分层抽样的方法。 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样 的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。 300×3/15=60(人) ,300×2/15=100(人) ,300×2/15=40(人) ,300×2/15=60(人) ,因此各乡镇抽 取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。 (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。 【课堂练习】P52 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1、 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法, 进行分层抽样时应注意以下几点: (1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面 层之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此 分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 【评论设计】 1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情况,需从他们中抽 取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样 ( ) D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样 C.分层抽样

2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型血 的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血应抽取的人 数为 人,A 型血应抽取的人数为 汝城一中高一数学教案 人,B 型血应抽取的人数为 第 10 页 (共 104 页) 人,AB 型血应抽

编写时间__年__月__日 取的人数为 人。

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3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人,每个学生被抽 到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 下资料: 任职年限 人数 5 年以下 300 5 年至 10 年 500 10 年以上 200 。 4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了如

试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1) 通过实例体会分布的意义和作用。 (2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 (3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法 分析样本的分布,准确地做出总体估计。 过程与方法 通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结合的数学思想和 逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到数学知识源于生 活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。 重点与难点 重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教学设想 【创设情境】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本 的频率分布估计总体分布(板出课题) 。 【探究新知】 〖探究〗 55 :P 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划 在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价 收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比 较合理呢 ?你认为,为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量 在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式,通过分析样本 数据来估计全市居民用水量的分布情况。 (如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可 以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形 式,为我们提供解释数据的新方式。 汝城一中高一数学教案 第 11 页 (共 104 页)

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下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度, 来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。 〈一〉频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。 一般用频率分布直方图反映样 本的频率分布。其一般步骤为: (1) (2) (3) (4) (5) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 决定组距与组数 将数据分组 列频率分布表 画频率分布直方图

以课本 P56 制定居民用水标准问题为例,经过以上几个步骤画出频率分布直方图。 (让学生 自己动手作图) 频率分布直方图的特征: (1) (2) 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体 数据信息就被抹掉了。 〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同。不同的 形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新 作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织 同学们对所作图不同的看法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题: 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分布表 2-2 和频率分 布直方图 2.2-1, (见课本 P57) 你能对制定月用水量标准提出建议吗? (让学生仔细观察表和图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 2.总体密度曲线的定义: 在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光 滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更 加精细的信息。 (见课本 P60) 〖思考〗 : 1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2.对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上, 尽管有些总体密度曲线是饿、 客观存在的, 但一般很难想函数图象那样准确地画出来, 我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个 位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通 常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) 2.茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可 以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据

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虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 【例题精析】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高 (单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计
(2)其频率分布直方图如下: 频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

122

126

130

134

138

142

146

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身 高小于 134cm 的人数占总人数的 19%.

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〖例 2〗 为了了解高一学生的体能情况, : 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次 测试,将所得数据整理后,画出频率分布 直方图(如图),图中从左到右各小长方形 面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小 组频数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容量是 多少? (2) 若次数在 110 以上(含 110 次)为达 标,试估计该学校全体高一学生的达 标率是多少? (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位 数落在哪个小组内?请说明理由。 分析:在频率分布直方图中,各小长方形 的面积等于相应各组的频率,小长方形的 高与频数成正比,各组频数之和等于样本 容量,频率之和等于 1。 0.03 6 0.03 2 0.028 0.024 0.020 0.01 6 0.01 2 0.00 8 0.00 4 o

频率/组距

90

100

110

120

130

140

150

次数

解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前四组的频 数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 【课堂精练】 P61 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1. 2. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的 频率分布去估计总体的分布。 总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总体中 的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频 率分布表或频率分布直方图。 【评价设计】 1.P72 教学目标: 习题 2.2 A 组 1、 2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时)

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编写时间__年__月__日 知识与技能

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(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。 (2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标 准差) ,并做出合理的解释。 (3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 过程与方法 在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想 和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用, 能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 重点与难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。 教学设想 【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握总体的 规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的 数字特征(板出课题) 。 【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 62 :P (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知识,思 考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供 关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据 的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见课本第 62 页) 它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有 告诉我们到底多多少。 〖提问〗 :请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根据众数的定 义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是由样本数 据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。 〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数。因此, 在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。 (图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原因吗?(原 因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) 汝城一中高一数学教案 第 15 页 (共 104 页)

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(课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少数居民 的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏 感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某 地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好, 身高较高。但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么, 这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加正式 比赛? 我们知道, x 甲

? 7, x乙 ? 7 。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察P66图2.2-8)直 观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察 这两组数据。 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法 (1) (2) 、算出样本数据的平均数 x 。 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1, 2,?n)

(3) (4) (5)

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。

、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。

其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出: 本平均数。 (在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。 ) 2.方差

s ? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等于样

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从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 分散程度的工具:

s 2 (即方差)来代替标准差,作为测量样本数据

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准 差。 【例题精析】 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一 组数据的标准差。 解: (图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。 他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。 〖例 2〗(见课本P69) : 分析: 比较两个人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差 的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这 两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个总体之间的差异的估计值。 【课堂精练】 P71 3. a) b) 4. 5. 练习 1. 2. 3 4 【课堂小结】 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: 用样本平均数估计总体平均数。 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。 习题 2.2 A 组 3、 4、10 3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时) 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的意 义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区别 与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2、过程与方法: (1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规 律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中的“掷币”“游戏的公平性”、 , ,“彩票 中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观: (1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实世界的

【评价设计】 1.P72

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联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 二、重点与难点: (1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)教学难点:用 概率的知识解释现实生活中的具体问题. 三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件:必然事件, 不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规 律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么时间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等。 2、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现

的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA n

为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事

件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称 为事件 A 的概率。

(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA n



它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我 们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复 试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 3、例题分析: 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; 签” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (6) “导体通电后,发热”(7) ; “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号 (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3) 、 、 、 、 、 (5)(7)(8)是随机事件. 、 、 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在

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某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

(2)由表中的已知数据及公式 fn(A)= 以这一地区男婴出生的概率约是 0.518.

nA n

即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数 0.518 上,所

例 3 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环,有 1 次未 中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 4 如果某种彩票中奖的概率为

1 1000

,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解释。

分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果 也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每 张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中 奖。 例 5 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球权的概率是 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何一名运动员猜中 的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 4、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解 现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界, 主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 2.下列说法正确的是( B.随机事件 ) B.不可能事件的概率不一定为 0 D.以上均不对 C.不可能事件 ) D.无法确定

A.任一事件的概率总在(0.1)内 C.必然事件的概率一定为 1 每批粒数

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000

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发芽的粒数 发芽的频率

2

4

9

60

116

282

639

1339

2715

(1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。 投篮次数

进球次数 m 进球频率

m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下,天气 预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 6、评价标准: 1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 .解 : 1 )填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1 , 0 . 8 , 0 . 9 , 0 . 8 57 , 0 . 8 92 , 0 . 9 1 0 , 0 . 9 13,0.893,0.903,0.905. ( (2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。 4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近 0.80,因 此,进球的概率约为 0.80。 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率,我们 知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概 率为 90%”的天气预报是错误的。 7、作业:根据情况安排 3.1.3 概率的基本性质(第三课时) 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所 以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳的数学 思想。 3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的 具体情境,从而激发学习 数学的情趣。 二、重点与难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。 三、学法与教学用具:1、讨论法,师生共同讨论,从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识;2、教 学用具:投灯片 四、教学设想: 1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С {2,3,4,5}等; (2) 在掷骰子试验中, 可以定义许多事件如: 1={出现 1 点}, 2={出现 2 点}, 3={出现 1 点或 2 点}, 4={出 C C C C 现的点数为偶数}?? 汝城一中高一数学教案 第 20 页 (共 104 页)

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师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为 必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析: 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时 发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至少一个发生). ,B 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为 “出现奇数点” B 为 , “出现偶数点” 已知 P(A)= , 求出“出现奇数点或偶数点” . 分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加法公式求解. 解:记“出现奇数点或偶数点”为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、B 是互斥事件,所以 P(C)=P(A)+ P(B)= 答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率是 块(事件 B)的概率是

1 2

, P(B)=

1 2



1 1 + 2 2

=1

1 4

,取到方

1 4

,问: (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? 件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解: (1)P(C)=P(A)+ P(B)=

分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件 C 与事

1 2

(2)P(D)=1—P(C)=

1 2 1 ,得到黑 3

例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 球或黄球的概率是 多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.

5 5 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是 12 12

解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为 A、B、C、D,则有 、 、 、

5 5 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= 12 12 1 1 1 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 6 4 4 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 4 6
P(B ∪ C)=P(B)+P(C)=

; P(B ∪ C ∪ D)=1-P(A)=1-

1 3

=

2 3

,解的



1 4



4、课堂小结:概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2)当事 件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事

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件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B);3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事 件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不 发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 5、自我评价与课堂练习: 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件 是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品 (2)至少有 1 件次品和全是次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品;

2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= =

1 2

,P(B)

1 6

,求出现奇数点或 2 点的概率之和。

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手 在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。

4. 已知盒子中有散落的棋子 15 粒, 其中 6 粒是黑子, 粒是白子, 9 已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是 从中取出 2 粒都是白子的概率是 6、评价标准:

1 7



12 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是多少? 35

1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1)恰好有 1 件次品和恰 好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立 事件,同理可以判断: (2)中的 2 个事件不是互斥事件,也不是对立事件。 (3)中的 2 个事件既是互斥事 件也是对立事件。 2.解: “出现奇数点”的概率是事件 A, “出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点”的概率之和为 P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 + = 2 6 3

3.解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和,即为 0.21+0.23=0.44。 (2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件,所以射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。 4.解:从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的概率的和,即为

1 12 17 + = 7 35 35
7、作业:根据情况安排 3.2 古典概型(第四、五课时) 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2) 每个基本事件出现的可能性相等;

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(2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)= (3)了解随机数的概念;

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

(4)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。 2、过程与方法: (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学 知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养 成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:1、正确理解掌握古典概型及其概率公式;2、正确理解随机数的概念,并能应用计算机 产生随机数. 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数字解 决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学设想: 1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” ,它们都是随 机事件。 (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球,只有 10 种不同的 结果,即标号为 1,2,3?,10。 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本 P121~126; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

3、例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点)(出现 2 点)??、 、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

m 3 1 = = n 6 2

=0.5

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1, 2 和一件次品 b1 的三件产品中, a 每次任取一件, 每次取出后不放回, 连续取两次, 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2) 和, 1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(b1,a1)(b2,a2) (a , , , , 。其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)] , , ,

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事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3 3

83 103

=0.512.

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是

正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467.

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种 可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z)(x,z,y)(y,x,z)(y,z,x)(z,x,y)(z,y,x) , , , , , ,是相同的,所以试 验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果 是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。 解:具体操作如下: 键入

PRB

RAND RANDI
STAT DEC

ENTER

RANDI(1,100) STAT DEG

ENTER

RAND (1,100) 3.
STAT DEC

反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应用。 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次 投中的概率是多少?

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分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式 计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%。 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随 机数。 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中的概率是 40%。因 为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。 例如:产生 20 组随机数:812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431, 257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两次投中, 它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似 为

5 20

=25%。

小结: (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题。 (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随 机模拟试验可以大大节省时间。 (3)随机函数 RANDBETWEEN(a,b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。 例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 解: (1)每次按 SHIFT 相同的。 (2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法。Scilab 中用 rand()函数来 产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一个随机数,如果要产生 a~b 之间的随机数, 可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到. 4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任何一个数的可能性是

②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

(3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复 试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。 5、自我评价与课堂练习: 1. 40 根纤维中, 12 根的长度超过 30mm, 在 有 从中任取一根, 取到长度超过 30mm 的纤维的概率是 ( A. )

30 40 1 5

B.

12 40 1 4

C.

12 30
C.

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 A. B.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红 球的概率是 。 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。 6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。 6、评价标准:

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1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们是等可能发生的, 所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 40

,因此选 B.]

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订(记为事件 A)包 含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = 10 5

.(方法 2)本题还可以用对立事件的概率公式求解,

因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,因此, P(A)=1-P(B)=1- 3.

2 4 = 10 5

.]

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 1,红 2)(红 , 10
10 个,其中至少有一个红球的事件包括 7 个基本事

, (红 1,白 3)(红 2,白 3) , ,共 1,白 1)(红 1,白 2) 件,所以,所求事件的概率为

7 .本题还可以利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至 10

少”等事件的概率头问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率 P(A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求 解]。 4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,?,6 点 6 种不同的结果,我们把两颗骰 子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两颗骰子的结果共有 6×6=36 种,在上 面的所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)5 种,所以, , , , , 所求事件的概率为

5 . 36

5.解:具体操作如下 键入

PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG
PANDI(1,20)
3.

ENTER

ENTER

STAT DEG

反复按

ENTER

键 10 次即可得到。

6.解:具体操作如下: 键入

PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(0,1) STAT DEG
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ENTER

ENTER

PANDI(0,1) STAT DEG

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7、作业:根据情况安排 3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式:

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决 问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决 问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点: 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想 与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不 够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任 何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结果都 是无限多个。 2、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的 可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域 时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验

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中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概率可以用阴影部 分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟 的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时 刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率. 因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等 车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段 内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)=

60 ? 50 1 = 6 60

,即此人等车时间不多于 10 分钟的概率为

1 6



小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油 层面的概率是多少? 分析: 石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构成事件的区域面 积,有几何概型公式可以求得概率。

解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)= 答:钻到油层面的概率是 0.004.

储藏石油的大陆架面积 40 = 所有海域的大陆架面积 10000

=0.004.

例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的种子中含有麦 诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的区域,1 升种子 可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = 所有种子的体积 1000

=0.01.

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到 都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数,其中取得 的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的 [1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND.

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(2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N.

(4)计算频率 fn(A)=

N1 N

即为概率 P(A)的近似值.

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转动圆盘记下指针

在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)= 的近似值.

N1 N

即为概率 P(A)

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法 1 用计算机 产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M, 并以线段 AM 为边作正方形, 求这个正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M,求使得 AM 的长 度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率 N 1 . N
2 2

2 2 记事件 A={面积介于 36cm 与 81cm 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近似值为 fn(A)= N 1 . N

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用 条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来 模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数 然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 ( A.0.5 ) B.0.4 C.0.004 D.不能确定 )有关,

2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何 一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主 机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x +1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻, 利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域 A 内的芝麻数与落在 正方形中的芝麻数。 6、评价标准: 1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样 中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比
2

M 2a r o

2 =0.004) 500
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2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得 最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围就是[o,a],只 有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件 A 的概率就是 P(A)=

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表 试验 次数 1出 现 的 数 频 1出 现 的 率 频 (4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。 4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标。如果一个点 (x,y)满足 y≤-x +1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列相应地就填上 1,否则填 0。 x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 ? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393 y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 ? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695 计数 0 1 0 1 1 1 ? 0 1 1 0
2

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

600

650

700

750

800

850

900

1000

1050

1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 汝城一中高一数学教案 第 30 页 (共 104 页)

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①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称:

③角的分类:

B 终边 O 顶点

始边

正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

A

④注意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α 是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α 、β 、γ 各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角. 例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角?

y

y B1 45° O ⑴ x 60o B3 30° x O B 2 ⑵

例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为 1、2、3、4、1、2 象限角. 3.探究:教材 P3 面 终边相同的角的表示: 所有与角α 终边相同的角,连同α 在内,可构成一个集合 S={ β | β = α + k·360 ° , k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整个周角的和. 注意: ⑴ k∈Z ⑵ α 是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k·720 °与角α 终边相同,但不能表示与角α 终边相同的所有角. 例 3.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12' . 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例 4.写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}. 例 5.写出终边在 y ? x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β <720°的元素β 写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类:

正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

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③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材 P2-P5; ②教材 P5 练习第 1-5 题; 思考题:已知α 角是第三象限角,则 2α

③教材 P.9 习题 1.1 第 1、2、3 题

解:?? 角属于第三象限, ? k·360°+180°<α <k·360°+270°(k∈Z) 因此,2k·360°+360°<2α <2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α <(2k +1)360°+180°(k∈Z) 故 2α 是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角. 又 k·180°+90°<

? , 2

各是第几象限角?

? <k·180°+135°(k∈Z) . 2

当 k 为偶数时,令 k=2n(n∈Z),则 n·360°+90°< 此时, ? 属于第二象限角

? <n·360°+135°(n∈Z) , 2

当 k 为奇数时,令 k=2n+1 (n∈Z),则 n·360°+270°< ? <n·360°+315°(n∈Z) , 此时, ? 属于第四象限角 2 ? 属于第二或第四象限角. 因此 2 1.1.2 弧度制(一) 教学目标 (四) 知识与技能目标 理解弧度的意义;了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数. (五) 过程与能力目标 能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公 式解决一些实际问题 (六) 情感与态度目标 通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神;通过对弧度制与角度制下弧长 公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美. 教学重点 弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. 教学难点 “角度制”与“弧度制”的区别与联系. 教学过程 一、复习角度制: 初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的 1 作为 1 度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 360 二、新课: 1.引 入: 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是 60 进制的,运用起来不太方便.在 数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢? 2.定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在 弧度制下, 1 弧度记做 1rad.在实际运算中,常常将 rad 单位省略. 3.思考: (1)一定大小的圆心角 ? 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆的半径大小有关吗? (2)引导学生完成 P6 的探究并归纳: 弧度制的性质: ① 半圆所对的圆心角为 ?r ? ? ; ②整圆所对的圆心角为 2?r ? 2? . ③正角的弧度数是一正数.
r r

2

2

④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.

⑥角α 的弧度数的绝对值|α |= l . r 页 (共 104 页)

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第 32

编写时间__年__月__日 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:

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360 ? ? 2?



180 ? ? ?

; 1? ?

?
180

? 0.01745 rad ; n? ?

n? rad . 180

②将弧度化为角度:

2p = 360



p = 180

; 1rad

180 = ( )盎 57.30? p

180n 57 18?; n = ( ) . p

5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 角 0 30 45 60 度 ° ° ° ° 弧 度 0

90 °

120 °

135 °

150 °

180 °

270 °

360 °

? 6
l ? l r

? 4
r a

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

7.弧长公式

a =

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 例 1.把 67°30'化成弧度. 例 2.把

3 ? rad 化成度. 5
; (2) tan1.5 .

例 3.计算:

(1) sin

?
4

例 4.将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ (k∈Z)的形式:

(1)

19? 3

; (2) ? 315? .

例 5.将下列各角化成 2kπ + α (k∈Z,0≤α <2π )的形式,并确定其所在的象限. 31? . 19? ; ( 2) ? (1) 6 3

19? 7? ? 2? ? , 3 6 7? 19p 而 是第三象限的角, \ 6 3
解: (1) (2)

R
是第三象限角.

l

O

?-

31p 5p 31p 是第二象限角. = - 6p + ,\ 6 6 6

例 6. 利用弧度制证明扇形面 积公式 S ?

1 lR, 其中 l是扇形弧长 , R是圆的半径 . 2

2 证法一:∵圆的面积为 ?R ,∴圆心角为 1rad 的扇形面积为 1 ?R 2 ,又扇形弧长为 l,半径为 R, 2?

∴扇形的圆心角大小为

l R

rad, ∴扇形面积 S ?

l 1 2 1 ? R ? lR . R 2 2

2 证法二:设圆心角的度数为 n,则在角度制下的扇形面积公式为 S ? n ? ?R ,又此时弧长 l ? n?R ,∴ 180 360

S?

1 n?R 1 ? ?R ? l ?R. 2 180 2

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化,而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多. 汝城一中高一数学教案 第 33 页 (共 104 页)

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1 1 扇形面积公式 : S ? lR ? ? R 2 2 2
7.课堂小结①什么叫 1 弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 8.课后作业: ①阅读教材 P6 –P8; ②教材 P9 练习第 1、2、3、6 题; ③教材 P10 面 7、8 题及 B2、3 题. 4-1.2.1 任意角的三角函数(三) 教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的 理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z) cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z) tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z)
o tan600的值是__________ . __

练习 1.

D

A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3
B

练习 2. A. 第 一 、 二 象 限

若 sin θ cosθ ? 0, 则θ在 ________ .
B. 第 一 、 三 象 限 D. 第 二 、 四 象 限

C. 第 一 、 四 象 限
练习 3.

若 cosθ ? 0,且sin2? ? 0则θ的终边在 ____
B. 第三象限 C. 第四象限
x2 ? y2 ? 1

C

A. 第一象限
二、讲解新课:

D. 第二象限

当角的终边上一点 的坐标满足 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示—— 三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P

P ( x, y )

( x, y ) ,

过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 长线交与点 T .

A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延

y P
M

y P A T
第 34

T
A

o
(Ⅱ)

x

o
(Ⅰ)
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M

x

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y
M

T

y

o

A

x

o

M A

x

P

P T
(Ⅲ) (Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

x x y y y MP AT ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正 切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上, 三条有向线段中两条在单位圆 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1) (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 内,一条在单位圆外。 说明:

y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的

? 3



(2)

5? 6



(3) ?

2? 3



(4) ?

13? 6



解:图略 例 2.

若0 ? ? ?

?
2

,证明 sin ? ? cos ? ? 1.

例3.比较大小: 2 4 (1) sin ?与 sin ? 3 5 2 4 (3) t an ?与 t an ? 3 5

2 4 (2) cos ?与 cos ? 3 5

1 例4.在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( 2
? ?? A. ?0, ? ? 6?
1 (1) sin x ? ? ; 2

)
? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

?? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?

?? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.
( 2) cos x ? 1 . 2

答案: (1)

7? 11? ? ? (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6
结:本节课学习了以下内容:

三、巩固与练习:P17 面练习 四、小 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线;

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3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4 参考资料 例 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1?

4? 2? s i n 与 sin 5 3
sin 2? 3

2? tan 2? 与 tan 4? 5 3

解: 如图可知:

? sin 4?
5

tan

2? ? tan 4? 3 5

例 2.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角

1?

sin?≥ 解: 1?

1 2

2? tan? ?

3 3
2?

y P2 o P1 x

y 30? T o 210? A x

30?≤?≤150?

30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? 补充:1.利用余弦线比较 cos 64 2.若
?

,cos 285? 的大小;

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos?

?

3 2



(2) tan ?

? ?1



(3) sin ?

??

3 . 2

4-1.2.1 任意角的三角函数(1) 教学目的: 知识目标:1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、 解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值) 的一种联系方式; (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) , 以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式 表示出来. 汝城一中高一数学教案 第 36 页 (共 104 页)

编写时间__年__月__日 教学过程:

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一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 a b a . sinA ? , cosA ? , tanA ? c c b 角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, 的距离为 r ( r (1)比值

y ) ,它与原点

? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y 说明:①α的始边与 x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表
明与α的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识, 对于确定的角α, 四个比值不以点 P ( x, y ) 在α的终边上的位置的 改变而改变大小; ③当 ?

?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,

所以 tan ?

y x 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时, cot? ? 无意义; x y y x y x ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 、 、 、 分别是一个确定的实数, r r x y ?

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?
注意: (1)在平面直角坐标系内研究角 的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合.?

R R
{? | ? ?

[ ?1,1]

[ ?1,1]

?
2

? k? , k ? Z }

R

(2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么 方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形的性质,“r” 同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与 坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角 的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

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(5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象 限, 使一锐角顶点与原点重合, 一直角边与 x 轴的非负半轴重合, 利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (通过本例总结特殊角的三角函数值) (3)

解: (1)因为当 ?

? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以 sin 0 ? 0 ,

3? 2



cos 0 ? 1 ,

tan 0 ?

0 ,

cot 0 不存在。

(2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r ,

sin ? ? 0 ,
(3)因为当 ?
sin

?

3? 不存在, 3? cot ? 0, 2 2 例 2.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的四个函数值。

3? 2

y ? 0 ,所以 cos ? ? ?1 , tan ? ? 0 ,
时, x

cot ?

不存在,

? 0 , y ? ? r ,所以
tan

, 3? ? ?1 2

cos

3? ? 0, 2

解:因为 x

? 2, y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是
x 2 2 13 ; ? ? r 13 13 x 2 cot ? ? ? ? . y 3 cos ? ?

sin ? ?
tan ? ?

y ?3 3 13 ; ? ?? r 13 13

y 3; ?? x 2

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a 解:因为过点 (a, 2a)(a 当 a ? 0时, ? ? y ? sin

? 0) ,求α

的四个三角函数值。

? 0) ,所以 r ? 5 | a | , x ? a, y ? 2a
x a 5a ; 2a 2a 2 5 1; 5 cos ? ? ? ? ? ? tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? r 5 5 5a 5|a| 5a 2 2
2a 2a 2 5; ? ?? 5 5 | a | ? 5a

r

当 a ? 0时, ? ? y ? sin

r

cos? ?

x a 5a ; ? ?? r ? 5a 5

1 . 5 tan ? ? 2;cot ? ? ;sec? ? ? 5;csc ? ? ? 2 2

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ; r x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; r y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) . x
①正弦值 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ;
?

4 例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则角 ?

(2) sin( ?

?

);

(3) tan(?672

?

);

(4) tan

11? 3



是第三象限角,反之也成立。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:

sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
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这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题. 第 38 页 (共 104 页)

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例 5.求下列三角函数的值: (1) cos

9? 4



(2) tan( ?

11? ), 6

例 6.求函数

y?

cos x cos x

?

tan x tan x

的值域

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 ∴当 x 是第Ⅰ象限角时, x ????Ⅱ????, x ????ⅢⅣ???, 四、小

又∵tanx?0 cosx=|cosx|

∴x 的终边不在 y 轴上 tanx=|tanx| ∴y=2

? 0, y ? 0

? 0, y ? 0

|cosx|=?cosx

|tanx|=?tanx ∴y=?2

x ? 0, y ? 0 x ? 0, y ? 0

|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

结:本节课学习了以下内容:

1.任意角的三角函数的定义;2.三角函数的定义域、值域;3.三角函数的符号及诱导公式。 五、巩固与练习 1、教材 P15 面练习; 2、作业 P20 面习题 1.2A 组第 1、2、3(1) (3)题及 P21 面第 9 题的(1)(3)题。 (2) 、

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解题,提高学生分析、解决三角 的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P ( x, y ) ,它与原点的距离为

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么: sin ? ?

y r

, cos ?

?

x y , tan ? ? r x



2.当角α 分别在不同的象限时,sinα 、cosα 、tgα 的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin

A?

3 ,A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5

4.问题:由于α 的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α 的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系: tan ? 说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如
2 2

?

sin ? con ?

(2)平方关系: sin

2

? ? con2? ? 1

4? ? 1 等;

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tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) ; 2


③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos? ? ? 1 ? sin2 ?
2.例题分析: 一、求值问题 例 1. (1)已知 sin ? (2)已知 cos ? 解: (1)∵ sin
2

sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ?

sin ? tan ?

等。

?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

??

4 ,求 sin ? , tan ? . 5
∴ cos
2

? ? cos 2 ? ? 1 ,
∴ cos ?

? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (
5 ,从而 13

12 2 5 ) ? ( )2 13 13

又∵ ? 是第二象限角,

? 0 ,即有 cos ? ? ?

tan ? ?

sin ? 12 1 5 ?? cot ? ? ?? cos ? 5 , tan ? 12
2

(2)∵ sin

? ? cos 2 ? ? 1 ,
?? 4 ?0, 5

∴ sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? ( ) 2 ,

4 5

3 5

又∵ cos ?

∴ ? 在第二或三象限角。

3 sin ? 3 ?? ; , tan ? ? 5 cos ? 4 3 sin ? 3 ? . 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? , tan ? ? 5 cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ?

? 0 ,从而 sin ? ?

总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的 终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时, 漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? . 解:∵ sin
2

? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? ?
2

sin ? cos ?



∴ (cos? ? tan ? )

? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1,即有 cos 2 ? ?

又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ?

1 1 ? tan 2 ?



? 0 ,从而 cos ? ?

1 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?



tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ? 1 1 ? tan 2 ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ? ? ?? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?




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例 3、已知 sin ? 解:? sin ?

? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ?

⑵ 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos2 ?.

? 2 cos?

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6
分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、分母同除以 cos? ,将分子、分母转化为

强调(指出)技巧:1?

tan ? 的代数式;
2? “化 1 法” 可利用平方关系 sin 的分式求值; 小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形, 二、化简 练习 1.化简 解:原式
2

? ? cos2 ? ? 1 , 将分子、 分母都变为二次齐次式, 再利用商数关系化归为 tan ?

1 ? sin 2 440?
2



? 1 ? sin (360? ? 80? ) ? 1 ? sin 2 80?

练习 2. 化简 三、证明恒等式

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos?

? cos2 80? ? cos80? . 3? (? ? ? ? ) 2

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边. ? ∴左边= cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x
例 4.求证: ∴原式成立. 证法二:由题义知 cos x

? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 .
2

又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin ∴

x ? cos2 x ? cos x ? cos x ,

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 .
cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ? 0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x
总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边同等于同一个式子; (3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 汝城一中高一数学教案 第 41 页 (共 104 页)

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2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 五、课后作业: 《习案》作业第 五 课时 参考资料 化简

1 ? 2sin 40? cos 40?



解:原式 ?

sin2 40? ? cos2 40? ? 2sin 40? cos 40?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40? .
思考 1.已知 sin ? ? cos ?

1 (0 ? ? ? ?) ,求 tan? 及 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 5 12 ? , 0 ? ? ? ?, 得: cos ? ? 0 ? ? ? ( , ?) 解:1? 由 sin ? cos ? ? ? 25 2 49 7 2 , 得: sin ? ? cos ? ? 由 (sin ? ? cos ?) ? 联立: 25 5 ?

? ?sin ? ? cos ? ? ? ? ?sin ? ? cos ? ? ? ?
2?

1 4 ? ? sin ? ? 5 4 5? ? t an? ? ? ? 7 3 3 ?cos ? ? ? 5 5 ?

4 3 91 sin 3 ? ? cos 3 ? ? ( ) 3 ? (? ) 3 ? 5 5 125 4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ?是第四象限角, 求 tan? 的值。 2、已知 sin ? ? m?5 m?5 4 ? 2m 2 m?3 2 ) ?( ) ?1 解:∵sin ? + cos ? = 1 ∴( m?5 m?5
2 2

化简,整理得: m(m ? 8) 当 m = 0 时, sin ? 当m =

?0

? m1 ? 0, m2 ? 8

4 3 , cos ? ? ? , (与?是第四象限角不合) 5 5 12 5 12 , cos ? ? , ? tan ? ? ? 8 时, sin ? ? ? 13 13 5 ?

1.3 诱导公式(一) 教学目标 (一)知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式. ⑵培养学生化归、转化的能力. (二)过程与能力目标 (1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五. (2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. (三)情感与态度目标 通过公式四、五的探究,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良 好的个性品质. 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途,熟练驾驭公式. 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. 教学过程 一、复习: 汝城一中高一数学教案 第 42 页 (共 104 页)

编写时间__年__月__日 诱导公式(一)

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sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( ?k ? ? ) ? tan? 360

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos? cos(?? ) ? cos?

tan( ? ? ? ) ? tan? 180

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四)

tan(?? ) ? ? tan?
tan( ? ? ? ) ? ? tan? 180

sin(180? ? ? ) ? sin ?
对于五组诱导公式的理解 :

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

① 公式中的 可以是任意角; ? ②这四组诱导公式可以概括为:

? ? ?, ? ? ? ,的三角函数值,等于它 的同名 三角函数值, 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 ? 符号。
总结为一句话:函数名不变,符号看象限 练习 1:P27 面作业 1、2、3、4。 2:P25 面的例 2:化简 二、新课讲授: 1、诱导公式(五) 2、诱导公式(六)

2k? ? ? (k ? Z),

??,

sin(

?

sin(

?

2

? ? ) ? cos ?

cos(

?

2

? ? ) ? cos ?

cos(

?

2

? ? ) ? sin ?

2

? ? ) ? ? sin ?

总结为一句话:函数正变余,符号看象限 例 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 3:求下列函数值:

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4 3? ? ? ) ? ? cos ? 例 2.证明: (1) sin( 2 3? ? ? ) ? ? sin ? (2) cos( 2 ? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 3.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 例4. 已知 tan( ? ? ) ? 3, ? (1) cos

2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 求: 的值。 4cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) ? 解:? tan( ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3
小结: ①三角函数的简化过程图:

任意负角的 三角函数

公式一或三 任意正角的 三角函数
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公式一或二或四
第 43

00~3600 间角 的三角函数

00~900 间角 的三角函数

查表 求值

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②三角函数的简化过程口诀: 负化正,正化小,化到锐角就行了. 练习 4:教材 P28 页 7. 三.课堂小结 ①熟记诱导公式五、六; ②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限; ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数. 四.课后作业: ①阅读教材; ②《习案》作业七.

1.3 诱导公式(二) 教学目标 (一)知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式. ⑵培养学生化归、转化的能力. (二)过程与能力目标 (1)能运用公式一、二、三的推导公式四、五. (2)掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. (三)情感与态度目标 通过公式四、五的探究,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良 好的个性品质. 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途,熟练驾驭公式. 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. 教学过程 一、复习: 诱导公式(一)

sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( ?k ? ? ) ? tan? 360

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

tan( ? ? ? ) ? tan? 180

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四) sin(?-?)=sin? 诱导公式(五)

cos(?? ) ? cos?
cos(? -?)=-cos?

tan(?? ) ? ? tan?
tan (?-?)=-tan?

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

诱导公式(六)

sin(

?
2

cos(

?
2

二、新课讲授: 练习 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 2:求下列函数值:

(1) cos

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4
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例 1.证明: (1) sin(

? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 2.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 2cos( ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? ? 例3. 已 知tan( ? ? ) ? 3, 求 : ? 的值。 4cos( ? ) ? sin(2 ? ? ) ? ? 解:? tan( ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. ? ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3 4 2 sin( ? ? ) ? 3 tan(3? ? ? ) ? 例 4. 已 知sin( ? ? ) ? , 且 sin? cos? ? 0, 求 ? 的 值. 5 4 cos( ? 3? ) ?
小结: ①三角函数的简化过程图:

3? ? ? ) ? ? cos ? 2 3? ? ? ) ? ? sin ? (2) cos( 2

任意负角的 三角函数

公式一或三 任意正角的 三角函数

公式一或二或四

00~3600 间角 的三角函数

00~900 间角 的三角函数

查表 求值

②三角函数的简化过程口诀: 负化正,正化小,化到锐角就行了. 练习 3:教材 P28 页 7. 化简:

?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin( ? 2? ) ? cos(2? ? ? ); ? ? 5? ? sin? ?? ? ? 2 ?
( 2) cos2 ( ?? ) ? tan(360o ? ? ) . sin( ? ) ?
1 7? ? 0的两根,且 3? ? ? ? . 2 2

例 5.

已知sin? , cos?是关于 x的方程 x 2 ? ax ?



tan(6? ? ? ) sin( ?2? ? ? ) cos(6? ? ? ) 的值. cos(? ? 180? ) sin( 900? ? ? )

三.课堂小结 ①熟记诱导公式五、六; ②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限; ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数. 四.课后作业: ①阅读教材; ②《学案》P.16-P.17 的双基训练. 1.4.1 正弦、余弦函数的图象 教学目的: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出

y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状;
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(2)根据关系 cos

x ? sin( x ?

?
2

) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) P 与原点的距离 r( r 则比值

?

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
2 2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

记作: 记作:

y r x cos ? ? r sin ? ?

?

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M, 则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) :为了作三角 函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐 标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把 圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧 度制下角与实数的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0,

? 6



? 3



? 2

,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列表” ).

把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点就是正弦函 数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图 象.

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根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的 距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R ) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点的 轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象? 根据诱导公式 cos x

? sin( x ?

?
2

) ,可以把正弦函数

y=sinx 的图象向左平移

? 2

单位即得余弦函数

y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲线” )
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (

? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数 和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx ●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 汝城一中高一数学教案 第 47 页 (共 104 页)

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(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 ● 探究3. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究4. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=2-cosx ,x∈〔0, 2π 〕的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx ●探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们 的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π /2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合: 的图象。

1 (1) sin x ? ; 2
三、巩固与练习

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法

2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业: 《习案》作业:八 1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一) 教学目的: 知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函 数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程: 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量 x 函数值

?2?
0

?

3? 2

??
0

?

? 2

0 0

? 2

?
0

3? 2

2?
0

sin x

1

?1
y
– 1
?

1

?1

?5?

?2?

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??

?

?

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O

?

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2?

5?

2

2

?1 –

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正弦函数

f ( x) ? sin x 性质如下:
2? 规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3? 这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明

(观察图象) 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;

结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有

f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) .

也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课:

(2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。

1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有: f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题: (1)对于函数

2? ? 2? ? y ? sin x , x ? R 有 sin( ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3 6 (2) 正弦函数 y ? sin x ,x ? R 是不是周期函数, 如果是, 周期是多少? 2k? ,k ? Z 且 k ? 0 ) (

f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z * 也是 f ( x) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) )
(3)若函数 2、说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的 (如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期) 周期 T 中最小的正数叫做 f (x) 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出

y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2?




判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ①

f ( x) ? c 没有最小正周期)

y ? 3 cos x



解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? ,函数 所以,函数

1 ? y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ? ) , x ? R . 2 6

y ? 3cos x , x ? R 的值才能重复出现,

y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . 1 ? 1 ? 1 ? (3)∵ 2sin( x ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? .
练习 1。求下列三角函数的周期: 汝城一中高一数学教案 第 49 页 (共 104 页)

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1? y=sin(x+

? ) 3

2? y=cos2x

3? y=3sin(

x ? + ) 2 5

解:1? 令 z= x+

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3
∴T=?

即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2)?+ 2?令 z=2x

∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]

即:f (x+?)=f (x) 3?令 z=

x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5
=3sin(

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?

思考:从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关? 说明: (1) 一般结论: 函数

y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ,x ? R(其中 A, ? , ? 2? 常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ;



?

(2)若 ?

? 0 ,如:① y ? 3cos(? x) ;



y ? sin(?2 x) ;



1 ? y ? 2sin( ? x ? ) , x ? R . 2 6

则这三个函数的周期又是什么? 一般结论:函数 y ?

A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ?
? ? )+2cos(3x- ) 4 6
y2=2cos(3x2? y=|sinx|

2? |? |

思考: 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 解:1? y1=sin(2x+

? ) 最小正周期 T1=? 4

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图 三、巩固与练习 P36 面 四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期
??

-?

y 1 o 1

?

2?

3?

x

五、课后作业: 《习案》作业九

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求 是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程: 一、 复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢? 汝城一中高一数学教案 第 50 页 (共 104 页)

编写时间__年__月__日 二、讲解新课: 1. 奇偶性

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请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如:f(-

? 1 )= 3 2

,f(

? 1 )= 3 2

,即 f(-

? ? )=f( );?? 3 3

由于 cos(-x)=cosx

∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的 对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们说函数 y=cosx 是偶函数。

(2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y)也在 函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 2.单调性 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:

? ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
, 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[-

? 2

? +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1; 2 ? 3? 在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2 2
+2kπ ,

? 2

余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? 练习 1。 (1)写出函数

?

?
2

k∈Z

y=cosx 的对称轴为 x= k?

k∈Z

y ? 3 sin 2 x 的对称轴;

(2)

y ? sin( x ?

?
4

) 的一条对称轴是(
y 轴, (C) 直线 x

C )

(A) x 轴, (B) 思考:P46 面 11 题。 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性

?

?
4



(D)

直线 x

??

?
4

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(1)

f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2)

f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x );
.

例2

函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是

;对称中心是

例 3.P38 面例 3 例 4 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

?
18

10 1 ? 例 5 求函数 y ? 2 sin( x ? ) 2 3 ? 1 思考:你能求 y ? sin( ? x ) 3 2
练习 2:P40 面的练习

) ? sin( ?

?

)

② cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

的单调递增区间;

x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗?

三、小 结:本节课学习了以下内容:正弦、余弦函数的性质 1. 单调性 2. 奇偶性 3. 周期性 五、课后作业: 《习案》作业十。 1.4.3 正切函数的性质与图象 教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数

y ? tan x 的定义域是什么?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

2.正切函数是不是周期函数?

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? ? ? t a n x ? ? ? ? t a x? x R , ? ? k n ? 且 x ? ? 2 ?
∴? 是

? ?k ? , , z ?

? ? ? y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 的一个周期。 2 ? ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作

? ? ?? y ? tan x , x? ? ? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。

y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)正切曲线是由被相互平行的直线 x 4.正切函数的性质 (1)定义域: ? x |

? k? ?

?
2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成的。

引导学生观察,共同获得:

? ?

x?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

(2)值域:R

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

??? ?k ? z ? , x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

?
2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

? k?

?? ?? 。 时, tan x ?

(3)周期性: T

??



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(4)奇偶性:由 tan ? x

? ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;
?
2 ? ? k? ,

(5)单调性:在开区间 ? ? ? 5.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

?

? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?
, tan? ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ? 内

? ? 13? ? ? ? ? tan 4 ? 4 ?


2? ? 17? ? ? ? ? tan 5 ? 5 ?


,0 ? 递

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 5 ? 2?
增 ,

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
??

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期: (1)

?? ? y ? 3tan ? x ? ? 5? ?

答: T



(2)

?? ? y ? tan ? 3x ? ? 6? ?
?

答: T

?

?
3



说明:函数

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0?

的周期 T

? ?



例 3:求函数

?? ? y ? tan? 3x ? ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, 3? ? ? ? k? 5? ? k? ? 得 x ? ? 解:1、由 3 x ? ,所求定义域为 3 2 3 18 k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? ? 2、值域为 R,周期 T ? , 3 ? k? ? k? 5? ? 3、在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?
?? ?? y ? tan? x ? ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 3? ?2
? ? x ? R且x ? k? ?

思考 1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数) , 练习 1:求函数

略解:定义域: ? x | 值域:R

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

单调性:在 ( k?

?

3? ? , k? ? ) 上是增函数 4 4


王新敞
奎屯

新疆

练习 2:教材 P45 面 2、3、4、5、6 题 解:画出 y=tanx 在(-

? 2

? 2

)上的图象,在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围为:0<x<

? 2

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结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+

? 2

上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+

? 2

)(k∈ Z)

思考 2:你能用图象求函数 解:由 tan x ?

y ? tan x ? 3


的定义域吗?

3?0

tan x ? 3 ,利用图象知,所求定义域为

? ?? ? ? ?k? ? 3 , k? ? 2 ? ? k ? Z ? , ?
亦可利用单位圆求解。

y

y
T

3
0 A

3
x
0 ? ?

x

3 2

四、小结:本节课学习了以下内容: 1. 因 为 正 切 函 数

, k ? Z} , 所 以 它 的 图 象 被 2 3 x ? ? ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

?

y ? tan x

的 定 义 域 是 {x |

x ? R, x ? k? ?

?

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π/2,π/2)的区间内的函数的图象,然后再将它 沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π个单位,就可以得到整个正切函数的图象。 五、作业《习案》作业十一。 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二) 教学目标 (七) 知识与技能目标

(1)了解三种变换的有关概念; (2)能进行三种变换综合应用; (3)掌握 y=Asin(ω x+φ )+h 的图像信息. (八) 过程与能力目标

能运用多种变换综合应用时的图象信息解题. (九) 情感与态度目标

渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点. 教学重点 处理三种变换的综合应用时的图象信息. 教学难点 处理三种变换的综合应用时的图象信息. 教学过程 一、复习 1. 如何由 y=sinx 的图象得到函数

y ? A sin( x ? ? )的图象. ?
第 55 页 (共 104 页)

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2. A、 、 对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响. ? ? 二、函数 ? A sin( x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义: y ?
函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”. T: T f :

?

2?

?

往复振动一次所需的时 间,称为“周期”.

f ?

?x ? ? : 称为“相位” . ? : x=0 时的相位,称为“初相”.
三、应用 例 1、教材 P54 面的例 2。

1 ? ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . T 2? y

2 1
?

例2.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .
解析:由图象可知 A=2,

? o
8

3? 8

7? 8

x

?2

T? 即

2?

7? ? ? (? ) ? ? , 8 8 ? ?, ? ? 2. ?

?

又(? ,0)为五点作图的第一个点 , 8 因此2 ? ? (

?

?

8

) ? ? 0, ? ? ? ?

?

4

.

因此所求函数的表达式 y ? 2 sin(2 x ? 为

?
4

).

例3.右图所示的曲线是 ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, y 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

y

2

4 5? ? 2? A ? 2, T ? ( ? ) ? ? ,即 ? ?, 3 6 12 ? ?? ? 2 5? 又( ,)是“五点法”作图的 0 第五个点, 6 5? ? 即2 ? ? ? ? 2?, ? ? . ? 6 3 ? 所求函数的解析式为 y ? 2 sin(2 x ?

o ?
12

5? 6

x

?2

?

3

).

思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.

y

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3

N

o

M

?

5? x

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解 1:以点 N 为第一个零点,则

A ? ? 3,

T ? 2(

5? ? ? ) ??, 6 3

?? ? 2, 此时解析式为 ? ? 3 sin(2 x ? ? ). y ? 点N (? ,0) 6 ??

?

?

6

?2 ?? ? 0 ?? ?

?
3

.? 所求解析式为 ? ? 3 sin(2 x ? y
2? ? 2, T

?
3

)

解 2:以点 M ( 解析式为

?
3

,0) 为第一个零点,则 A ? 3 , ? ?

y ? 3 sin(2x ? ? ), 将点 M 的坐标代入得 2 ?

?

? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ?

2? ). 3 例4.函数y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0) 在同一周期内, 5? 7 11? 2 当x ? 时,y有最大值为 ; x ? 当 时,y有最小值为? , 3 3 3 3 求此函数的解析式 .

3

?? ? 0 ?? ? ?

2? , 3

7 3 ? ? ? A? k ? 3, ?A ? 2 , 解由已知 ? 解得 ? 5 2 ?? A ? k ? ? , ?k ? . 6 3 ? ? 11? 5? 2? ? ) ? 4? ,即 ? 4?, 又 T ? 2( 3 3 ? 1 ?? ? . 2 5? 7 1 5? ? ? ( ,) ? )? ? , ? ?? . ? ? 又 为“五点法”作图得第二个点,则有 ( 3 3 2 3 2 3 ? 所求函数的解析式为 3 1 ? 5 y ? sin( x ? ) ? . 2 2 3 6
四、课堂小结:

求函数y ? A sin(?x ? ? )的表达式: 1. A由图像中的振幅确定 ; 2.?由图像的周期确定 ; 3.求?常用的两种方法: (1)平移法 (2)代点法
五、课后作业 1.阅读教材第 53~55 页; 2.教材第 56 页第 3、4 题. 作业: 《习案》作业十三。 1.6 三角函数模型的简单应用 汝城一中高一数学教案 第 57 页 (共 104 页)

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教学目的 【知识与技能】 1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 【过程与方法】 一、 练习讲解: 《习案》作业十三的第 3、4 题 3、一根为 Lcm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开平衡位置的

? ? 位移 s(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 s ? 3 sin ? g t ? ? ?, t ? [0,??) , (1)求小球摆动的周期和 ? l ? 6? ?

频率; (2)已知 g=980cm/s ,要使小球摆动的周期恰好是 1 秒,线的长度 l 应当是多少? 解: (1)?? ? 4、略(学生看书) 二、应用举例: 例 1 如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(?x+?)+b (1) 求这一天 6~14 时的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

2

g 2? ?T ? ? 2? l ?

l 1 ,f ? g 2?

g g ; (2) 若T ? 1 ,即 l ? ? 24.8cm . 4? 2 l

T /oC
30 20 10

O

6

8 10 12 14

t /h

本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线,要求这一天的最 大温差,并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围. 例2 画出函数 y=|sinx|的图象并观察其周期.

y=|sinx|
? 2?

y
?
2

?? ? ? 2

?

2?

x

本题利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用方法. 显然,函数

y ? sin x

与正弦函数有紧密的联系.

练习:教材 P65 面 1 题 例 3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 ?,? 为此时太阳直射纬度,? 为该地的纬度值,那 么这三个量之间的关系是 ? =90?-|? -? |.当地夏半年 ? 取正值,冬半年 ? 取负值. 汝城一中高一数学教案 第 58 页 (共 104 页)

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如果在北京地区(纬度数约为北纬 40?)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午 的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

? -? ?
? ? ?-?

太阳光 北回归线 南回归线

? -?
B

?

?
C

?

太阳光

本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模 型,然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科 知识来帮助理解问题。 例 4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通 常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节 每天的时间与水深的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 9:00 12:00 15:00 水深/米 2.5 5.0 7.5 时刻 18:00 21:00 24:00 水深/米 5.0 2.5 5.0

(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出整点时的水深的近似数值 (精确到 0.001). (2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙(船 底与洋底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3) 若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 本题的解答中,给出货船的进、出港时间,一方面要注意利用周期性以及问题的条件,另一方面还要 注意考虑实际意义。关于课本第 64 页的 “思考”问题,实际上,在货船的安全水深正好与港口水深 相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的,因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。 练习:教材 P65 面 3 题 三、小结:1、三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 四、作业《习案》作业十四及十五。 补充例题: 一半径为 3m 的水轮如右图所示,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上 P 点

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y
从水中浮现时(图中 P0)点开始计算时间. (1) 求 P 点相对于水面的高度 h(m)与时间 t(s)之间的函数关系式; (2) P 点第一次达到最高点约要多长时间? 2.1.1 教学目标: ? 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、 平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. ? ? 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

P O -2

?
P0

x

向量的物理背景与概念及向量的几何表示

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习

向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路: 一、情景设置: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上 都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 (二) (教材 P74 面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答: 个问题一次出现) (7 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; (一)

C A B D

a
A(起点)

B (终点)

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向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;

③用有向线段的起点与终点字母:

AB ;④向量 AB 的大小―长度称为向量的模,记作| AB |.

3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. (四)理解和巩固: 例 1 书本 75 页例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) 课堂练习: 书本 77 页练习 1、2、3 题 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、平面向量的概念和向量的几何表示; 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。 四、课后作业: 《学案》P49 面的学法引导,及 P44 面的单元检测卷。 注意 0 与 0 的含义与书写区别.

2.1.2 教学目标: ?

相等向量与共线向量

掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

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编写时间__年__月__日 ? ?

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通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念, 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路: 一、情景设置: (一)、复习 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系? (二)、新课学习 1、有一组向量,它们的方向相同、大小相同,这组向量有什么关系? 2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗?这组向量有什么关系? 三、探究学习 1、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关. .......... 2、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). ........... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 四、理解和巩固: 例 1.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量.

变式一:与向量 OA 长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB,

DO, FE )
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编写时间__年__月__日 例 2 判断:

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(1)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (2)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (3)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (4)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的 非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以 否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零 向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量, 所以应选 C. 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量

AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;?

②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当

AB = DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量 同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量, 但零向量与零向量是 的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图 点却相同. 2.书本 77 页练习 4 题 三、小结 : 2、 描述向量的两个指标:模和方向. 汝城一中高一数学教案 第 63 页 (共 104 页)

AB 、 AC 在

相 等 其 终

AC 与 BC 共线,虽起点不同,但

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2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。 四、课后作业: 《习案》作业十八。

2.2.1 教学目标:

向量的加法运算及其几何意义

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能 力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用 它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与 起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 2、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和:

AB ? BC ? AC AB ? BC ? AC

(2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和:

(3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和:

AB ? BC ? AC
C C

(4)船速为

AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC
B C B A B A B

A

C A
二、探索研究:

1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图, 已知 向量 a、b.在平面

a

a C a A + a b b
第 64

a

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a+b b B



a+b

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内任取一点

A , 作 AB = a , BC = b , 则 向 量 AC 叫 做
规定: a + 0-= 0 + a

a 与 b 的 和, 记 作 a + b , 即 a + b

? AB ? BC ? AC ,

探究: (1)两向量的和与两个数的和有什么关系?

两向量的和仍是一个向量;

(2) 当向量 a 与 b 不共线时, | a + b |<| a |+| b |; 什么时候| a + b |=| a |+| b |, 什么时候| a + b |=| a | -| b |,

当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |;

当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |,

当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;

若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (3) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

O b a b

a

A b a

a AB ? b ,则 OB ? a ? b .

B

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a

a

5.你能证明:向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 6.由以上证明你能得到什么结论? 三、应用举例: 汝城一中高一数学教案 第 65

吗?

多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

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例二(P83—84)略 变式 1、一艘船从 A 点出发以 2 为 4 km

3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行速度的大小

/ h ,求水流的速度.

变式 2、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v 2 ,船的实际航 行的速度的大小为 4 km 练习:P84 面 1、2、3、4 题 四、小结 1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律;3、| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取 等号. 五、课后作业: 《习案》作业十八。 六、备用习题 思考:你能用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗? 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标: 1. 了解相反向量的概念; 2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 教学思路: 一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则,向量加法的运算定律: 例:在四边形中, CB ? BA ? 二、 提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a+b=0

/ h ,方向与水流间的夹角是 60? ,求 v1 和 v 2 .

AD ?

.

解: CB ? BA ?

AD ? CA ? AD ? CD

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量的减法是向量加法的逆运算:

2. 用加法的逆运算定义向量的减法:

若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b

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3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a,

a b B b

O a?b

a

AB = b

则 BA = a ? b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1?

AB 表示 a ? b.

强调:差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)

B’ a O b B
4. 探究: 1) 如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b ? a. 2)若 a∥b, 如何作出 a ? b ?

?b
a

a+ (?b) b A

B

b

a O b a b
三、 例题: 例一、 (P86

a?b B A B’ O B

a?b A

a?b O A ?b B B O

a?b A

例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d.

解:在平面上取一点 O,作 OA = a, 作 BA ,

OB = b, OC = c, OD = d,
DC = c?d
B D D C

DC ,

则 BA = a?b,

A a b d c

例二、平行四边形

ABCD 中, AB ? a, AD ? b,
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O

C
用 a、b 表示向量

A

B

AC 、 DB .

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解:由平行四边形法则得:

AC = a + b, DB = AB ? AD

= a?b

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相等向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同)

例 3. 如图, 已知一点O到平行四边形 ABCD 的三个顶点A、B、C的向量分别为 、 c, a b、 试用向量a、 c表示OD. b、
练习:1。P87 面 1、2 题 2.在△ABC 中, A.a+b?

BC =a, CA =b,则 AB 等于( B
B.-a+(-b)? C. -b? a

)? D. -a? b

四:小结:向量减法的定义、作图法| 五:作业: 《习案》作业十九

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的: (1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重 要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程: 一、 复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ (1)|λ

?

? a

? a |=|λ

|| a |; <0 时λ

?

(2)λ >0 时λ 2.运算定律

? ? a 与 a 方向相同;λ

? ? a 与 a 方向相反;λ

=0 时λ

? a =0

结合律:λ (μ

? a )=(λ

μ ) a ;分配律:(λ +μ ) a =λ

?

?

? ? a +μ a ,

λ ( a + b )=λ

? ?

? ? a +λ b
? a.

3. 向量共线定理 二、讲解新课:

向量 b 与非零向量 a 共线则:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ

?

?

?

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1.思考: (1)给定平面内两个向量 e1 , e2 ,请你作出向量 3 e1 +2 e2 , e1 -2 e2 ,

(2)同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ

1

e1 +λ e2 的向量表示?
2

平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量

? a ,有且只有一对实数λ
2.探究:

1

,λ 2 使 a =λ

?

1

e1 +λ e2 .
2

(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 3.讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e2 例2 求作向量?2.5 e1 +3 e2

?

P B O A

如图, 、 不共线, 且 OA OB AP ? t AB (t ? R ), 用 OA OB 表示 OP . ,

本题实质是

已知 O、A、B三点不共线,

若点 P 在直线 AB 上,则 OP ? mOA ? nOB , 且 m ? n ? 1.
4.练习 1: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( D ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈ R)

D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈ R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系(B ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 不共线. (填共线或不共线). 5.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,作 OA ?

?

?

?

? ? ? a , OB ? b ,则∠AOB= ?

,叫向量 a 、 b 的夹

?

?

角,当 ? =0° a 、 b 同向,当 ? =180° a 、 b 反向,当 ? =90° a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 , , , 6.平面向量的坐标表示 (1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。

?

?

?

?

?

?

?

?

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(2)思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一个向量,如何表 示呢? 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、

y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向
1 y ,使得 a ? xi ? yj ????○

量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、

我们把 ( x,

y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) ????○ 2

其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, 的坐标也为 ( x, .....

2 y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向量的坐标表示.与 a 相等的向量 . .....

y) .

特别地, i

? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? 设 OA ?

a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定.

xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量

OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
7.讲解范例: 例 2.教材 P96 面的例 2。 8.课堂练习:P100 面第 3 题。 三、小结: (1)平面向量基本定理; (2)平面向量的坐标的概念; 四、课后作业: 《习案》作业二十一

2.3.3 平面向量的坐标运算 教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 汝城一中高一数学教案 第 70 页 (共 104 页)

编写时间__年__月__日 教学过程: 一、复习引入:

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1. 平面向量基本定理: 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ

?

?

1

e1 +λ e2
2

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标运算 思考 1:已知: a

?

? ? ? ? ? ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,你能得出 a ? b 、 a ? b 、 ? a 的坐标吗?

设基底为 i 、

j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j

即a

? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
则 ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(1) 若 a

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. (2)若 a

? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) .

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、

j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 思考 2:已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,怎样求

? A B 的坐标?

(3) 若

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?
x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

AB = OB ? OA =(

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考 3:你能标出坐标为(x2? x1, y2? y1)的 P 点吗?

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向量

AB 的坐标与以原点为始点、点 P 为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例:

例 1 已知 a =(2,1),

?

? ? ? ? ? ? ? b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

例 2 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行 四边形四个顶点.

解:当平行四边形为 ABCD 时,由

AB ? DC 得 D =(2,
1

2)

当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时,得 D3=(?6, 0) 例 3 已知三个力 F1 (3, 4),

F2 (2,

?5),

F3 (x,

y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标.

解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

即: ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5,1)

四、课堂练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且

MP ?

1 MN , 2

求 P 点的坐标

2.若 A(0, 1),

B(1, 2),

C(3, 4) , 则 AB ?2 BC = C(1, 3),

.

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), 五、小结:平面向量的坐标运算; 六、课后作业: 《习案》作业二十

D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD 是梯形.

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 汝城一中高一数学教案 第 72 页 (共 104 页)

编写时间__年__月__日 (1)两个非零向量夹角的概念:

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已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 2

时,a与b垂直,记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180? (2)两向量共线的判定 (3)练习 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 C ) D.8 B )?

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

(4)力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ, 则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π). 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. ?探究:1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两个向量的数量的 积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c a=c

如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a?c

(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 2.“投影”的概念:作图

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定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 探究:两个向

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