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易失分点清零(五)三角函数与解三角形


易失分点清零(五) 三角函数与解三角形

A b+c 1.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos2 2 = 2c ,则△ABC 是 A.直角三角形 C.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 ( ).

A b+c A b 解析 因为 cos2 2 = 2c 及 2cos2 2 -1=cos

A,所以 cos A=c,则△ABC 是直 角三角形.故选 A. 答案 A π? π ? 2. 函数 y=sin?5x-2?的图象向右平移4个单位长度, 再把所得图象上各点的横坐 ? ? 1 标缩短为原来的2.所得函数解析式为 3π? ? A.y=sin?10x- 4 ? ? ? 3π? ? C.y=sin?10x- 2 ? ? ? 7π? ? B.y=sin?10x- 2 ? ? ? 7π? ? D.y=sin?10x- 4 ? ? ? ( ).

π ? ? π? π? x- ?- ? 解析 将原函数向右平移4个单位长度, 所得函数解析式为 y=sin?5? ? ? 4? 2? 7π? 7π? ? ? =sin?5x- 4 ?,再压缩横坐标得 y=sin?10x- 4 ?.故选 D. ? ? ? ? 答案 D 3. 在△ABC 中, 角 A,B, C 所对的边分别为 a, b,c,且( 3b-c)cos A=acos C, 则 cos A 的值等于 3 A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 6 ( ).

解析 ( 3b-c)cos A=acos C,由正弦定理得 3sin Bcos A=sin Ccos A+cos 3 Csin A? 3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,又 sin B≠0,所以 cos A= 3 ,故选 B. 答案 B

π? ? 4.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 π,且 f(- ? ? x)=f(x),则 π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? 解析 先将 f(x)化为单一函数形式: π? ? f(x)= 2sin?ωx+φ+4?, ? ? ∵f(x)的最小正周期为 π,∴ω=2. π? ? ∴f(x)= 2sin?2x+φ+4?. ? ? 由 f(x)=f(-x)知 f(x)是偶函数, π π 因此 φ+4=kπ+2(k∈Z). π π 又|φ|<2,∴φ=4,∴f(x)= 2cos 2x. π 由 0<2x<π,得 0<x<2时,f(x)单调递减,故选 A. 答案 A 5.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B= 6 A. 3 2 2 B. 3 6 C.- 3 2 2 D.- 3 ( ). ( ).

解析 因为 a=15,b=10,A=60° ,所以在△ABC 中,由正弦定理可得 sin B 3 10× 2 bsin A 3 = a = 15 = 3 ,又由 a>b 可得 A>B,即得 B 为锐角,则 cos B= 6 1-sin2B= 3 . 答案 A

π 6.已知函数 y=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<2的部分图象如图 所示,则 π A.ω=1,φ=6 π B.ω=1,φ=-6 π C.ω=2,φ=6 π D.ω=2,φ=-6 π π π 解析 ∵T=π,∴ω=2.由五点作图法知 2×3+φ=2,∴φ=-6. 答案 D π 7.(2013· 龙岩模拟)将函数 y=f(x)· sin x 的图象向右平移4个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象,则 f(x)可以是 A.sin x B.cos x C.2sin x D.2cos x ( ). ( ).

解析 运用逆变换方法:作 y=1-2sin2x=cos 2x 的图象关于 x 轴的对称图象 π ? π? 得 y=-cos 2x=-sin 2?x+4?的图象, 再向左平移4个单位得 y=f(x)· sin x=- ? ? ? π? sin 2?x+2?=sin 2x=2sin xcos x 的图象.∴f(x)=2cos x. ? ? 答案 D 1 3 8.若 cos(α+β)=5,cos(α-β)=5,则 tan αtan β= 1 A.2 1 B.-2 3 C.2 3 D.-2 ( ).

1 3 解析 由已知,得 cos αcos β-sin αsin β=5,cos αcos β+sin αsin β=5,则有 2 1 sin αsin β 1 1 cos αcos β=5,sin αsin β=5,所以cos αcos β=2,即 tan αtan β=2. 答案 A 9.(2013· 湖州模拟)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为 ________.

AB 3 BC 解析 由正弦定理知sin C=sin 60° =sin A, ∴AB=2sin C,BC=2sin A.又 A+C=120° ∴AB+2BC=2sin C+4sin(120° -C ) =2(sin C+2sin 120° cos C-2cos 120° sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C) =2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= 2 ,α 是第一象限角. 由于 0° <C<120° ,且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7 10.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α,tan β,且 α,β∈ α+β ? π π? ?-2,2?,则 tan 2 的值是________. ? ? 解析 因为 a>1,tan α+tan β=-4a<0, tan α· tan β=3a+1>0,所以 tan α<0,tan β<0. ? π π? ? π ? 又由 α,β∈?-2,2?,得 α,β∈?-2,0?, ? ? ? ? α+β ? π ? 所以 α+β∈(-π,0),则 2 ∈?-2,0?. ? ? 又 tan(α+β)= tan α+tan β -4a 4 = =3, 1-tan αtan β 1-?3a+1? 2tan

α+β 2 4 又 tan(α+β)= =3, α+β 1-tan2 2 α+β α+β 整理,得 2tan2 2 +3tan 2 -2=0, 解得 tan α+β α+β 1 =- 2 或 tan 2 2 =2(舍去).

答案 -2

π? ? 11.函数 y=sin?-2x+3?的单调递减区间是________. ? ? π? π π π ? 解析 即求 y=sin?2x-3?的单调递增区间, 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z), ? ? π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). π 5π? ? 答案 ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ? π? π ? 12.将函数 f(x)=2sin?ωx-3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位,得到函数 y=g(x) ? ? π? ? 的图象.若 y=g(x)在?0,4?上为增函数,则 ω 的最大值为________. ? ? π ? π? T π π ? ? x+3ω?- ?=2sin ωx,从而 = ≥ ,解之 解析 由条件,得 g(x)=2sin?ω? ? 3? 4 2ω 4 ? ? 得 ω≤2,所以 ω 的最大值为 2. 答案 2 AC cos B 13.在△ABC 中, AB=cos C. (1)证明:B=C; π? 1 ? (2)若 cos A=-3,求 sin?4B+3?的值. ? ? (1)证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知,

sin B cos B 得sin C=cos C. 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0,即 sin(B-C)=0. 因为-π<B-C<π,从而 B-C=0. 所以 B=C. (2)解 由 A+B+C=π 和(1),得 A=π-2B,

1 故 cos 2B=-cos(π-2B)=-cos A=3. 2 2 又 0<2B<π,于是 sin 2B= 1-cos22B= 3 . 4 2 从而 sin 4B=2sin 2Bcos 2B= 9 ,

7 cos 4B=cos22B-sin22B=-9. π? π π 4 2-7 3 ? 所以 sin?4B+3?=sin 4Bcos 3+cos 4Bsin 3= . 18 ? ? x ? ? 14.已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a>0,且 x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求 a,b 的值. π π ? π? 解 (1)因为 f(x)=1+cos x+sin x+b= 2sin?x+4?+b+1,由 2kπ-2≤x+4 ? ? π ≤2kπ+2(k∈Z), 3π π 得 2kπ- 4 ≤x≤2kπ+4(k∈Z), 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?2kπ- 4 ,2kπ+4?(k∈Z). ? ? (2)因为 f(x)=a(sin x+cos x)+a+b ? π? = 2asin?x+4?+a+b, ? ? π ?π 5π? 因为 x∈[0,π],则 x+4∈?4, 4 ?, ? ? 2 ? ? π? ? 所以 sin?x+4?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ?

? 故? ?

2a+a+b=4, ? 2? 2a×?- ?+a+b=3, 2 ? ?

?a= 2-1, 所以? ?b=3.


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