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深圳外国语学校数学选修2-2


2-2 考前复习题精选(二)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.函数 y=x2cosx 的导数为( ) (A) y′ =2xcosx-x2sinx (B) y′ =2xcosx+x2sinx 2 (C) y′ =x cosx-2xsinx (D)

y′ =xcosx-x2sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
* 3.某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命

题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

4.函数f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ? [0,1])的最大值是( ) 1 ( A)1 ( B) (C )0 ( D) ? 1 2
5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.给出以下命题: ⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0;

(第 1 页)共 17 页



?

2? 0

sin xdx ? 4 ;

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 2 7.若复数 (a ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( ) (A) a ? ?1 或 a ? 2 8.设 0< a <b,且 f (x)= (B) a ? ?1 且 a ? 2 (C) a ? ?1 (D) a ? 2

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是( ). x a?b a?b (A)f ( a )< f ( )<f ( ab ) (B)f ( )<f (b)< f ( ab ) 2 2 a?b a?b (C)f ( ab )< f ( )<f ( a ) (D)f (b)< f ( )<f ( ab ) 2 2
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 9.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x= , y= . 10.曲线 y=2x3-3x2 共有____个极值. 11.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =_______.

12.对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等 : ”,在立体几何中,类比上述命题, 可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________ 13.观察下列式子
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1?

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? ? , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4
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则可归纳出________________________________
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14.关于 x 的不等式 mx ? nx ? p ? 0 (m、n、p ? R) 的解集为 (?1 , 2) ,则复数 m ? pi 所对应的 点位于复平面内的第________象限. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的 速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

(第 2 页)共 17 页

17. (本小题满分 14 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理: DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明.

b ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求证: b ? a .(提示: 18. (本小题满分 14 分)已知 a 、 可考虑用分析法找思路)
a b

(第 3 页)共 17 页

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数 g ( x) ? ⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式;

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y ?

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x ,g ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) , 直线 l 与函数 f ( x) 、 2 2 g ( x) 的图象都相切,且与函数 f ( x) 的图象的切点的横坐标为1. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数),求函数 h( x) 的最大值; b?a (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时,求证: f ( a ? b) ? f (2a ) ? . 2a

(第 4 页)共 17 页

2-2 考前复习题精选(三)
2007-2008 学年度下学期中段考试 高二年级数学(理科 2-2,4-4)考试试卷
(第 5 页)共 17 页

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中。只有一项 是符合题目要求的。 1. 在复平面内, 复数 z ? A .第一象限

1 对应的点位于 2?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



) .

2.设 f ( x) 在 x ? 0 处可导,且当 ?x ? 0 时, A.1 B.-1

f (0 ? ?x) ? f (0) ? 1 ,则 f ?(0) ? ?x C.0 D. 2





3. 函数 y ? x sin x ? cos x 在下面某区间内是减函数,则这个区间是 A. (





3? 5? , ) D. (2? ,3? ) 2 2 2 2 2 4.设实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 有一根为 3i ? 4 ,将此方程的两根与原点在复平面内

? 3?
,

)

B. (? ,2? )

C. (

标出,则此三点所确定的三角形面积为 A. 12 B. 16

C. 24

D. 32

5. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 在区间 (??,1) 上有最小值,则函数 g ( x) ? 一定 A. 是减函数 B. 是增函数 C.有最小值

f ( x) 在区间 (1,??) 上 x
D.有最大值 ( )

6. 曲线 y ? x3 ? x ? 1 的一条切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 则切点 P0 的坐标为 A. (1, ? 1) C. (?
2 2 2 2 , ? 1)或( , ? ? 1) 2 4 2 4

B. (?1, ?1)或(1, ? 1) D. (?1, ? 1) ( ( ) )

7.复数 z ? a ? bi,a,b ? R ,且 b ? 0 ,若 z 2 ? 4bz 是实数,则 a 与 b 的关系是 A. a ? 2b B. a ? ? 2 b C. 2 a ? b 8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ≥ 0 ,则必有 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1) D. 2a ? ?b

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9. 在平面几何中圆有如下特性:与圆心距离相等的两弦相等。 类比上述性质,可得到空间中 球的性质为: 10.定积分 .

? |x
0

3

2

? 1| dx ? ________ 。
3 2

11. 已知 f ( x) ? ax ?3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是________.
(第 6 页)共 17 页

12. 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在 区 间 [? 3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M ,m ,则 M ?m ? .(32) 13.在复数集内一元二次方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的解为 x ?
2



14.设 f ( n) 为正整数 n (十进制)的各数位上的数字的平方和,比如 f (123 ) ? 12 ? 2 2 ? 32 ? 14 记 f1 (n) ? f (n), f k ?1 (n) ? f [ f ( k (n)](k ? 1,2,3,?) ,则 f 2011 (2011) ? 15.若数列 ?an ?(n ? N * ) 是等差数列,则数列 bn ? 。

a1 ? a 2 ? ? a n (n ? N * ) 也是等差数列,类 n * 比上述性质,若数列 ?cn ?(n ? N ) 是等比数列,且 cn ? 0 ,则数列 d n ? 也是等比数列.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 l2 分) 已知复数 ⑴求复数 z ;

?1 ? i ? z?

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

,若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,

⑵求实数 a , b 的值.

17.(本小题满分 l2 分) 已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 1 ; (1)求该函数的解析式; (2)求函数的极小值。

18. (本小题满分 l4 分)在曲线 y ? x 2 ( x ? 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成 的面积为

1 ,求: (1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程。 12

19.(本小题满分 l4 分)用数学归纳法证明: (3n ? 1)7 ? 1(n ? N *) 能被 9 整除。
n

(第 7 页)共 17 页

20. (本小题满分 l4 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1 ? 1 , a n ?1 ?

n?2 S n (n=1,2,3, ?). n

S S1 S S , 2 , 3 , 4 ; 2 3 4 1 S (Ⅱ)求数列 { n } 的通项(要有推证过程) ; n (III)证明: S n?1 ? 4an .
(Ⅰ)求出

21.(本小题满分 l4 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m.
2

是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

(第 8 页)共 17 页

2-2 考前复习题精选(四)
2008——2009 学年度第二学期第一学段考试数 学 试 题(理科)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1? i 1、若将复数 表示为 a + bi(a,b∈R,i 是虚数单位)的形式,则 a + b =( ) 1? i
A.0 B.1 C.–1 D.2 2、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖有( A 4n-2 块 B 4n+2 块 3、在复数集内,方程 x ? 1 ? 0 的解有
4

) C 3n+3 块 D 3n-3 块 ( )

A、1 个 B、2 个 C 、3 个 D、4 个 4、用反证法证明某命题时,对结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 中至少有两个偶数 D. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 5、曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是( ) A 5 B 2 5 C 3 5 D 0

6、已知复数z的模为2, 则 z ? i 的最大值为 A 1 B 5 C 2 D 3

(

)

(第 9 页)共 17 页

7. 已知 y ? x sin 2x ? cos 2 x ,则导函数 y ' 是





A、奇函数 B、周期函数 C、单调函数 D、常数函数 8.已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x ) 是函数 f ( x) 的导函数),下面四个图象 中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )

y
1

x
1 2

-2

-1

O -1

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 9、 z ? 5 ? 12i, 则 z = .
10、函数 y ? a sin x ? sin 3x 在 x ? 11、已知函数 f ( x) ? _________________.

?
3

处取得极值,则 a=

.

1 3 x ? mx 2 ? (m ? 2) x ? 3 在 x ? R 是增函数,则 m 的取值范围为 3

3 1 12 1 ? i 8 . ? i) ? ( ) ? 2 2 1? i 设函数 f(x)=ax2+c(a≠0).若 ? 1 0 f ( x)dx ? f ( x0 ) ,0≤x0≤1,则 x0 的值为
12、计算 (? 14、设 f ( x) ?

.

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是____________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分) 3 15.(本大题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3x 3 (I)求函数 f ( x ) 在 [?3, ] 上的最大值和最小值. 2 (II)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程.

(第 10 页)共 17 页

16、 (本大题 12 分)设函数 f ( x) ? kx3 ? 3x2 ? 1(k ? 0) (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 的极小值大于 0,求 k 的取值范围。

17.(本大题 14 分) 设 f ( x) ? x 3 ? 3x ( x ? R ) . (Ⅰ)作出函数 y ? f ( x) 的图象(要求标明极值点以及与坐标轴的交点) ; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? a 有 3 个相异的实数根,求实数 a 的取值范围.

2 18.(本大题 14 分)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,并且满足 2S n ? an ? n ,an ? 0(n∈N*).

(Ⅰ)求 a 1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)猜想{ an }的通项公式,并加以证明.

19.(本大题 14 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:“①方程 f ( x) ? x ? 0 有 实数根;
(第 11 页)共 17 页

②函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 .”

x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4 (2)集合 M 中的元素 f ( x) 具有下面的性质:若 f ( x) 的定义域为 D,则对于任意 [m,n] ? D,都存在 x0 ? [m,n],使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ?( x0 ) 成立”, 试用这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根.
(1)判断函数 f ( x) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x) 、 2 2 g ( x) 的图象都相切,且与函数 f ( x) 的图象的切点的横坐标为1. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数),求函数 h( x) 的最大值; b?a (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时,求证: f ( a ? b) ? f (2a ) ? . 2a
20.(本大题 14 分)已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

(第 12 页)共 17 页

(第 13 页)共 17 页

2-2 考前复习题精选(五)
一.选择题: (本大题共 8 小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把正 确的结论填涂在答题卡上.每小题 5 分,满分 40 分) 1 1. 复数 z ? 的共轭复数是 1? i A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2
2 0

C. 1 ? i

D. 1 ? i

2.若 a ?

?

2

0

x 2 dx , b ?

?

2

0

e x dx, c ? ? sin xdx ,则 a 、 b 、 c 大小关系是

A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b ? ? 3.设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ( x) 的图象如右图所示, y 则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是 y y y y O x 1 2 x

O1 2

x

O

1 2

x

O 1

2

x

O

1 2

A B C D 4.有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这 n 个圆把平 面分成的部分是 A. n ? n ? 2 B. n ? n C. n ? 2n ? 3 D. 2n ? n ? 1 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离等于 5.曲线 y ? ln(2 x ? 1)上的点到直线
2 2 2 2

A. 5
c

B. 2

C. 2

D. 1 )

6.由函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象所围成的区域(如图)面积的总和是( A、

? [ f ( x) ? g ( x)]dx B、 ? [ g ( x) ? f ( x)]dx C、 ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx D、 ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a c
a b

y
y ? f ( x)

a
O b

c

c

a b a

b c b

x y ? g ( x)

7.若非零复数 x, y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则 (
2 2

x 2012 y 2012 ) ?( ) 的值是 x? y x? y

A. 1 B. ? 1 C. 3i D. ? 3i 8.已知函数 f (t ) 对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 3xy( x ? y ? 2) ? 3, f (1) ? 1.
(第 14 页)共 17 页

若 n ? N ,则 f ( n) 的表达式为
*

A. f (n) ? (?1) n ?1 C. f (n) ? 15 n 2 ? 13 n
2 2

B. f (n) ? 16n ? 1 D. f (n) ? n ? 3n ? 3
3 2

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡指定的位置上) 9.由直线 x ? 0, x ? 1 , y ? 0 与抛物线 y ? x 2 围成图形的面积为_______________ . 10.已知 z ? ( 3 ? i ) ? 1 ,则 z 的最大值是 . 11.航天飞机发射后的一段时间内,第 t (单位为 s )时的高度 h(t ) ? 5t 3 ? 30t 2 ? 45t ? 4 (单 位为 m ) ,则它在第 1

s 内的平均速度为

m / s ;在第 1

s 末的瞬时速度为

m/s. (第一空 3 分,第二空 2 分)
12.若 ? ? ?

2 1? 3 i

,则 1 ? ? ? ?2 等于



13.设 z 1 , z 2 ? C ,给出下列四个命题:
2 2 ①若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? ? z 2 ;②若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? 0 ;

③若 | z1 | ? | z 2 | ,则 z1 ? ? z 2 ;④若 z1 ? z 2 ? 0 ,则点 Z1 与点 Z 2 关于虚轴对称. 其中假 命题有 . .

14.公比为 4 的等比数列 ?bn ? 中,若 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项积,则有 列,且公比为 4 项和,则数列 第二空 2 分)
100

T20 T30 T40 也成等比数 , , T10 T20 T30

;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列 ?an ? 中,若 S n 是 ?an ? 的前 n 也成等差数列,且公差为 . (第一空 3 分,

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分) 若下列方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x ? (a ? 1) x ? a ? 0, x ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个 方程有实根.试求实数 a 的取值范围.
2 2 2 2

(第 15 页)共 17 页

16. (本题满分 14 分) 若 1 ? i 是 z ? az ? b ? 0 的一个根, 其中 a, b ? R, Z ? C , 求(
2

a ? bi 2011 ) a ? bi

的值;

17. (本小题满分 8 分) 从点 A(t , 0) (其中 t ? 0 )作曲线 C : y ? x 的切线 l ,切点为 B . (Ⅰ)当 t ? ?

1 时,求曲线 C 与切线 l 以及 x 轴所围成的封闭区域的面积; 4

(Ⅱ) x 轴上是否存在定点 F ,使得对任意的 t ? 0 ,恒有 FA ? FB ?如果存在, 求出定点 F 的坐标;如果不存在,请说明理由.

18.(本题满分 12 分,其中第(1)问 5 分,第(2)问 7 分) 设函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x ,其中 a 为实数. (1) 若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

19.(本题满分为 14 分,其中第(1)问 8 分,第(2)问 6 分) 已知函数 f ( x ) ?

x ,若数列 {an } 满足: an ? 0, a1 ? 1, an?1 ? [ f ( a n )]2 x ?1

(1),求数列 {an } 的通项公式 an (若结论为猜想,必须给予证明) ; (2)若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,证明 S n ? 2 ?

1 . n

(第 16 页)共 17 页

20.(本题满分 14 分,其中第(1)问 3 分,第(2)问7分,第(3)问4分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 满足 f (0) ? f (1) ? 0, 且 f ( x) 的最小值是 ? . (1)求 f ( x) 的解析式; (2) 设直线 l : y ? t 2 ? t (其中0 ? t ? , t为常数) ,若直线 l 与 f ( x) 的图象以及 y 轴所围成封闭图 形 的 面 积 是 S1 (t ) , 直 线 l 与 f ( x) 的 图 象 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 是 S 2 (t ) , 设

1 4

1 2

1 g (t ) ? S1 (t ) ? S2 (t ) 求 g (t ) 的表达式; 2 (3)在(2)的条件下,当 g (t ) 取最小值时,求 t 的值.

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深圳外国语学校数学选修2-2_高二理科期末测试题

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