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2015届广东高考(理科)数学大题考前限时训练(41-50套)精编版

时间:2015-02-22


2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 41
16. (12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R) ,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? 如图 5 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ?1,1, 5 的三点 M , N , P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求 sin ?M

NP 的值.
y
1
?2 ?1 0 ?1 1 2

?
2

?? ?

?
2

,其部分图像

3

4

5

6 x

图5

1

17. (13 分)随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的 关系,得到下面的数据表: 休闲 方式 性别 男 女 合计 10 10 20 50 10 60 60 20 80 看电视 看书 合计

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段 以看书为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望; (2)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关系”? 参考数据:参考公式: K 2 ?
n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K ? k )
k

2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

2

18. (13 分)如图 6,平行四边形 ABCD 中, AB ?

BD , AB ? 2 , BD ?

2 ,沿 BD 将 ?BCD 折起,使二

面角 A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O . (1)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD ? BC 时,求 ? 的大小.
D C

A

B

D

图6

O

C

A

B

3

2 2 19. (14 分)如图 7,已知椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1 的离心率为 3 (a ? b ? 0) ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作 a b 2

圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S , O 为坐 标原点,求证: OR ? OS 为定值.
y P M

R 图7

T N

S

O

x

4

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 42
16. (12 分)在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? CD ? 4 , AD ? 6 , ?A ? ?C ? ? . (1)求 AC 的长;
A

(2)求四边形 ABCD 的面积.
D B

C

5

17. (12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: 就代表空气污染越严重:

这个值越高, ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,

PM 2.5 日均
浓度

空气质量 级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

空气质量 类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

0 ? 35 35 ? 75 75 ? 115 115 ? 150 150 ? 250 ? 250

某市 2012 年 3 月 8 日—4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得数据后得到如下 条形图: (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布列.

6

PA ? 底面 ABCD , AB ? 18. (14 分) 如图所示四棱锥 P ? ABCD 中, 在四边形 ABCD 中,
PA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 4 , E 为 PD 的中点, F 为 PC 中点.
(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)求证: BF / / 平面 ACE ; (3)求直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值.
F P

AD , BC / / AD ,

E

A C

D

B

7

2 2 19. (14 分)已知椭圆 E : x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个交点为 F 1 (? a b

3,0) ,而且过点 H (? 3 , 1 ) .
2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的上下顶点分别为 A1 , A2 , P 是椭圆上异于 A1 , A2 的任一点,直线 PA1 , PA2 分别交 x 轴 于点 N , M ,若直线 OT 与过点 M , N 的圆 G 相切,切点为 T . 证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值.
y T P O M

.G
N

x

8

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 43
16. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 f (C ) ? 1 ,且 b2 ? ac , sin A 的值.

x x x cos ? 2sin 2 . 3 3 3

9

?x ? 0 17. (13 分)在平面直角坐标系上,设不等式组 ? ( n ? N ? ) 表示的平面区域为 Dn , ?y ? 0 ? y ? ?2n( x ? 3) ?
记 Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn?1 ? 2bn ? an , b1 ? ?13 .求证:数列 {bn ? 6n ? 9} 是等比数列,并求出数列 {bn } 的通项公式.

10

18. (13 分)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小 区内种植 A , B , C , D 四棵风景树,受本地地理环境的影响, A , B 两棵树的成活的概率均为

1 ,另外两棵树 2

C , D 为进口树种,其成活概率都为 a (0 ? a ? 1) ,设 ? 表示最终成活的树的数量.
(1)若出现 A , B 有且只有一颗成活的概率与 C , D 都成活的概率相等,求 a 的值; (2)求 ? 的分布列(用 a 表示) ; (3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大,试求 a 的取值范围.

11

19. (14 分)如图,圆柱底面的直径 AB 长度为 2 2 , O 为底面圆心,正三角形 ABP 的一个顶点 P 在上 底面的圆周上, PC 为圆柱的母线, CO 的延长线交圆 O 于点 E , BP 的中点为 F . (1)求证:平面 ABP ? 平面 ACF ; (2)求二面角 F ? CE ? B 的正切值.
P

F

C A O E

B

P

F

C A O E

B

备用图

12

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 44
16. (12 分)如图 4,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸找 到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从

E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据: ?ACD ? 90? , ?ADC ? 60? , ?ACB ? 15? , ?BCE ? 105 ? ,

?CEB ? 45? ,DC=CE=1(百米) .
(1)求 ?CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离.

13

17. (12 分) “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强,故名. ”某科研所为进一步改良肇实, 为此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行试验.选取两大片水塘,每大片水塘分成 n 小片 水塘,在总共 2n 小片水塘中,随机选 n 小片水塘种植品种 A,另外 n 小片水塘种植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结束后得到品种 A 和品种 B 在每个小片水塘上的每 亩产量(单位:kg/亩)如下表: 号码 品种 A 品种 B 1 101 115 2 97 107 3 92 112 4 103 108 5 91 111 6 100 120 7 110 110 8 106 113

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

14

18. (14 分)如图 5,AB 是圆柱 ABFG 的母线,C 是点 A 关于点 B 对称的点,O 是圆柱上底面的圆心,

BF 过 O 点,DE 是过 O 点的动直径,且 AB=2,BF=2AB.
(1)求证:BE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 D—BCE 的体积最大时,求二面角 C—DE—A 的平面角的余弦值.
C 图5 E B D O F

A

G

C

图5 E

B D

O

F

A

G

备用图

15

19. (14 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t ,点 (Sn , an?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N ? . (1)若数列 {an } 是等比数列,求实数 t 的值; (2)设 bn

? nan ,在(1)的条件下,求数列 ?b ? 的前 n 项和 T
n

n



(3)设各项均不为 0 的数列 {cn } 中,所有满足 ci
bn

? ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 {cn } 的“积异号

数” ,令 cn ? bn ? 4 ( n ? N ? ) ,在(2)的条件下,求数列 {cn } 的“积异号数” .

16

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 45
16. (12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 ,且 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列. (1)求数列 {an } 通项公式; (2)设 bn ? an ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和记为 Tn .

17

17. (14 分)有一个 3×4×5 的长方体,它的六个面上均涂上颜色,现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的 小正方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

18

18. (14 分) 如图 1 的矩形 ABCD 中, 已知 AB ? 2 ,AD ? 2 2 ,MN 分别为 AD 和 BC 的中点, 对角线 BD 与 MN 交于 O 点,沿 MN 把矩形 ABNM 折起,使平面 ABNM 与平面 MNCD 所成角为 600 ,如图 2. (1)求证: BO ? DO ; (2)求 AO 与平面 BOD 所成角的正弦值.
O

A

M

D

B

N 图1

C

M

D

O

A

N

C

图2

B

19

19. (12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,其中 c ? 2 ,且 cos A ? b ? 3 . cos B a 1 (1)求证: ?ABC 是直角三角形; (2)如图,设圆 O 过 A , B , C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上,求 ?PAC 面积最大值.
C P

B

A

20

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 46
16.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 最低点的坐标分别为 ( (1)求

?
3

) ( A ? 0, ? ? 0) 在某一个周期内的图象的最高点和

5? 11? , 2) , ( , ?2) . 12 12

A 和 ? 的值;
?
2 ) ,且 sin ? ? 4 ,求 f (? ) 的值. 5

(2)已知 ? ? (0,

21

17.(12 分)如图 3, A, B 两点之间有 6 条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3, 4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为 ? . (1)当 ? ? 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.
1 1 2 A 2 3 4 图3 B

22

18. (14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD , 下半部分是长方体 ABCD ? A1B1C1D1(如图 4) . 该 建筑物的正视图和侧视图如图 5, 其中正视图由正方形和等腰梯形组合而成, 侧视图由长方形和等腰三角形 组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值; (2)求二面角 A ? MN ? C 的余弦值;
A M D B N C

(3)求该建筑物的体积.
D1 A1 B1 C1 图4

2 1 1

4

4

正视图 图5

侧视图

23

19.(14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F ,直线 1

l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐 标.

24

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 47
16. (12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? (1)求 f ( x ) 的最大值; (2)设 ?ABC 中,角 A , B 的对边分别为 a , b ,若 B ? 2 A ,且 b ? 2af ( A ? ) ,求角 C 的大小. 6

?
6

), x? R.

?

25

17. (12 分)深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的 球) ,3 个是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

26

18. (14 分)如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正 投影(投影线垂直于投影面)是四边形 A1B1C1D1 , . 其中

A 与 A1 重合,且 BB1 ? DD1 ? CC1 .

(1)证明 AD1 / / 平面 BB1C1C ,并指出四边形 AB1C1D1 的形状; (2)如果四边形 AB1C1D1 中, AD1 ?

2 , AB1 ? 5 ,正方形 ABCD 的边长为

6 ,求平面

ABCD 与平面 AB1C1D1 所成的锐二面角 ? 的余弦值.
C

D C1

B

B1 D1 A(A1) 图5

27

19. (14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?2 ? (2 ? cos n? )(an ?1) ? 3 , n ? N ? . (1)求通项公式 an ; (2)设 {an } 的数列的前 n 项和记为 Sn ,问:是否存在正整数 m , n ,使得 S2n ? mS2n?1 ?若存在,请求出所 有的符合条件的正整数对 (m , n) ,若不存在,请说明理由.

28

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 48
16. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? (1)求 ? 的值;

?
6

) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 10? .

? 5? 6 5? 16 (2)设 ? , ? ? [0, ] , f (5? ? ) ? ? , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 5 6 17

29

17. (13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是:40,50 ,

?

?

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(1)求图中 x 的值; (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望.
频率/组距 0.054

图4

x 0.010 0.006 40 50 60 70 80 90 100 成绩

30

18. (13 分) 如图 5, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , 点 E 在线段 PC 上,

PC ? 平面 BDE .
(1)证明: BD ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1, AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.
A E D P

B

图5

C

31

19. (14 分)设数列 (1)求 a1 的值; (2)求数列

?an? 的前 n 项和为 S

n

,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N * ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.

?an? 的通项公式;
? 1 3. ? an 2

(3)证明:对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? a1 a2

32

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 49
16. (12 分)已知 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 3 sin C cos C ? cos 2 C ? (1)求角 C 的值; (2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.

1 ,且 c ? 3 . 2

33

17. (12 分)近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得 知,某地在未来 5 天的指定时间的降雨概率是:前 3 天均为 50%,后 2 天均为 80%,5 天内任何一天的该 指定时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天不实施人工降雨. (1)求至少有一天需要人工降雨的概率; (2)求不需要人工降雨的天数 ? 的分布列和期望.

34

18. (14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是 直角梯形, AB / /CD , ?ADC ? 900 , CD ? 2 , AB ? (1)证明: BC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为侧棱 PC 上一点,且 PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为 450 .
P

AD ? PD ? 1 .

D

C B

A

35

19. (14 分)已知数列

?an? 满足: a ? a , a
1

n ?1

?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 , n ? N*. 2n ? 1

an ? 2 ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项公式 ; (1)判断数列 ? an ? ? ? 2n ? 1 ?

(2)如果 a ? 1 ,数列

?an? 的前 n 项和为 S

n

,试求出 Sn .

36

2015 届广东高考(理科)数学大题考前限时训练 50
16. (12 分)已知函数 y ? 1 cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . 2 2 (1)求函数 y 的最小正周期、最值,并求出取最值时 x 的集合; (2)写出函数

y 的图象对称轴和对称中心;

(3)求函数 y 的单调递减区间.

37

17. (12 分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率;

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相互 3 4

(2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少? ...

38

18. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 900 ,且异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角等于 600 ,设 AA1 ? a . (1)求 a 的值;
B1

A1

C1

(2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小.

A C B

39

2 2 19. (14 分)已知椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的 a b 3

三角形的面积为 5 2 . 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A , B 两点. ①当线段 AB 的中点的横坐标为 ?

1 时,求斜率 k 的值; 2

7 ②已知点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3

40


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