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1.3.2函数的奇偶性


1. 3.2 函数的奇偶性

【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.学会判断函数的奇偶性; 【教学重难点】 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 (一)创设情景,揭示课题 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列

各函 数有什么共性? 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

f ( x) ? x2
y

f ( x) ?| x | ?1
y

x( x) ?

1 x2

y

0

x

-1 0
-1

1

x

0

x

通过讨论归纳:函数 f ( x) ? x2 是定义域为全体实数的抛物线;函数 f ( x) ?| x | ?1 是定义域为 全体实数的折线; 函数 f ( x ) ?

1 是定义域为非零实数的两支曲线, 各函数之间的共性为图象关于 y x2

轴对称.观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系? 归纳:若点 ( x, f ( x)) 在函数图象上,则相应的点 (? x, f ( x)) 也在函数图象上,即函数图象上横 坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. (二)研探新知 函数的奇偶性定义: 1.偶函数 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x) 就叫做偶函 数. (学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 2.奇函数
1

一般地,对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x) 就叫做奇函 数. 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知, 函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个 x , 则 ?x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维. 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x2 (2) f ( x ) ?

x ?[?1, 2]

x3 ? x 2 x ?1 解:函数 f ( x) ? x2 , x ?[?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.
函数 f ( x) ?

x3 ? x 2 也不是偶函数,因为它的定义域为 ?x | x ? R且x ? 1 ? ,并不关于原点对称. x ?1

点评:判断函数的奇偶性,先看函数的定义域。 变式训练 1 (1) 、 f ( x) ? x 3 ? x (2) 、 f ( x) ? ( x ? 1) (3) 、

x ?1 x ?1

f ( x) ? x 2 ? 4 ? 2 ? x 2

解: (1) 、函数的定义域为 R, f (? x) ? (? x) 3 ? (? x) ? ? x 3 ? x ? ? f ( x) 所以 f ( x) 为奇函数 (2 ) 、函数的定义域为 {x | x ? 1或x ? ?1} ,定义域关于原点不对称,所以 f ( x) 为非奇非偶函数 (3 ) 、函数的定义域为 {-2,2}, f (? x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 既是奇函数又是偶函 数 例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x
4

(2) f ( x) ? x

5

(3) f ( x ) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x2

分析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f (? x)是否等于f ( x)或 ? f ( x) . 解: (1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)偶函数 点评:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x)与f ( x)的关系; ③作出相应结论:
2

若 f (? x) ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是奇函数 . 变式训练 2

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 判断函数的奇偶性: g ( x ) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2
解: (2)当 x >0 时,- x <0,于是

1 1 g (? x) ? ? (? x) 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2
当 x <0 时,- x >0,于是

g (? x) ?

1 1 1 (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?(? x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 2


综上可知,在 R ∪R+上, g ( x) 是奇函数. 四、当堂检测. 五、归纳小结,整体认识. 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定 义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单调性与奇偶性的 综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 一些结论: 1.偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 2.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 【板书设计】 一、 函数奇偶性的概念 二、 典型例题 例 1: 例 2:

小结: 【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

3

1.3.2 函数的奇偶性
课前预习学案 一、预习目标: 理解函数的奇偶性及其几何意义 二、预习内容: 函数的奇偶性定义: 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 数. 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ,都有 数. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ,那么 f ( x) 就叫做 函 ,那么 f ( x) 就叫做 函

课内探究学案 一、学习目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.学会判断函数的奇偶性; 学习重点:函数的奇偶性及其几何意义 学习难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 二、学习过程 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x
2

x ?[?1, 2]

(2) f ( x ) ?

x3 ? x 2 x ?1

4

变式训练 1(1) 、 f ( x) ? x 3 ? x

(2) 、 f ( x) ? ( x ? 1)

x ?1 x ?1

(3) 、

f ( x) ? x 2 ? 4 ? 2 ? x 2

例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x4 (2) f ( x) ? x5 (3) f ( x ) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x2

变式训练 2

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 判断函数的奇偶性: g ( x ) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

三、 【当堂检测】 1、函数 f ( x) ? A.奇函数 A.奇函数

1 , x ? (0,1) 的奇偶性是 x
C.非奇非偶函数 C.非奇非偶函数
2 3 2

( D.既是奇函数又是偶函数



B. 偶函数 B. 偶函数

2、 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 是偶函数,则 g ( x) ? ax ? bx ? cx 是( D.既是奇函数又是偶函数 ( 3、若函数 y ? f ( x), x ? R 是奇函数,且 f (1) ? f (2) ,则必有 A. f (?1) ? f (?2) B. f (?1) ? f (?2) C. f (?1) ? f (?2) D.不确定 ( A. f (?2) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (0) ? f (?2) )

) )

4、函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上单调递增,则下列各式成立的是 B. f (?2) ? f (?1) ? f (0) D. f (1) ? f (?2) ? f (0)

5、已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数根的
5

和为 A.4 B.2 C.1 D.0 6、函数 f ( x) ? a, a ? 0 是_______函数.





7、若函数 g ( x) 为 R 上的奇函数,那么 g (a) ? g (?a) ? ______________. 8、如果奇函数 f ( x) 在区间[3,7]上是增函数,且最小值是 5,那么 f ( x) 在区间[-7,-3]上的 最______________值为____________. 课后练习与提高 一、选择题 1、函数 f ( x) ? x 2 ? A.奇函数

x 的奇偶性是



) D.既是奇函数又是偶函数 )

B. 偶函数

C.非奇非偶函数

2、函数 y ? f ( x) 是奇函数,图象上有一点为 (a, f (a )) ,则图象必过点( A. (a, f (?a)) 二、填空题: B. (?a, f (a)) C. (?a,? f (a)) D. (a,

1 ) f (a)

3 、 f ( x) 为 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x ? (??,0) 时 , f ( x) ? x( x ? 1) , 则 当 x ? (0,??) 时 ,

f ( x) ? _____________________________.
4、函数 f ( x) 为偶函数,那么 f ( x)与f (| x |) 的大小关系为__________________. 三、解答题: 5 、 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 0 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a, b ? R , 都 有

f (ab) ? af (b) ? bf (a)
(1) 、求 f (0), f (1) 的值; (2) 、判断函数 f ( x) 的奇偶性,并加以证明

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参考答案
例 1.解:函数 f ( x) ? x , x ?[?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.
2

函数 f ( x) ? 变式训练 1

x3 ? x 2 也不是偶函数,因为它的定义域为 ?x | x ? R且x ? 1 ? ,并不关于原点对称. x ?1

解: (1) 、函数的定义域为 R, f (? x) ? (? x) 3 ? (? x) ? ? x 3 ? x ? ? f ( x) 所以 f ( x) 为奇函数 (2 ) 、函数的定义域为 {x | x ? 1或x ? ?1} ,定义域关于原点不对称,所以 f ( x) 为非奇非偶函数 (3 ) 、函数的定义域为 {-2,2}, f (? x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 既是奇函数又是偶函 数

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1.3.2 函数的奇偶性(教案)

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