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2015年山东省高考数学(理科)试题

时间:2015-06-08


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结 束后,将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的

(1) 已知集合 A={X|X?-4X+3<0},B={X|2<X<4},则 A

B=

(A ) (1,3) (B) (1,4) (C) (2,3) (D) (2,4) (2)若复数 Z 满足 (A)1-i
Z ? i ,其中 i 为虚数为单位,则 Z= 1? i

(B)1+i

(C)-1-i

(D)-1+i

(3)要得到函数 y=sin(4x-

? )的图像,只需要将函数 y=sin4x 的图像() 3

(A)向左平移

? ? 个单位 (B)向右平移 个单位 12 12

(C)向左平移

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3
· =

(4)已知 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60o ,则

(A)-

(B)-

(C)
1

(D)

(5)不等式|X-1|-|X-5|<2 的解集是 (A) (- ,4) (B) (- ,1) (C) (1,4) (D) (1,5)

(6)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=

(A)3

(B)2

(C)-2

(D)-3

(7)在梯形 ABCD 中, ABC= ,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A) (B) (C) (D)2

(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3) ,从中随 机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附: 若随机变量ξ 服从正态分布 N (μ , σ ?) ) , 则P (μ -σ <ξ <μ +σ ) =68.26%, P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%.) (A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74% (9)一条光纤从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆 相切,则反射光线所在直线的斜率为() (A) 或 (B 或

(C)



(D)



(10)设函数 f(x)=

,则满足 f(f(a))=

的 a 取值范围是()

(A)[ ,1](B)[0,1]

(C)[

(D)[1, +

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
(11)观察下列各式: C10 =40
2

?? 照此规律,当 n ? N 时, 0 1 2 n-1 C 2n-1 + C 2n-1 + C 2n-1 +?+ C 2n-1 = (12)若“ ? x ? [0,

. .

? ],tanx ? m”是真命题,则实数 m 的最小值为 4
.

(13) 执行右边的程序框图, 输出的 T 的值为

(14)已知函数 f ( x) ? ax ? b( a ? 0, a ? 1) 的定义域和值 域都是 ? ?1,0? ,则 a ? b ? (15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C:
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2: X2=2py(p>0)交于 O,若? OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C 1 的离心率为 ___ 三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分) ? 2 设 f(x)= sin x cos x ? cos (x+ ). 4 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角? ABC 中,角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f( ? ABC 面积的最大值。 (17)(本小题满分 12 分) 如图,在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点。 (Ⅰ)求证:BC//平面 FGH; (Ⅱ) 若 CF⊥平面 ABC, AB⊥BC, CF=DE, ∠BAC= 450 , 求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. (18) (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n = 3n +3. (I)求 {a n } 的通项公式; (II)若数列 {bn } 满足 anbn = log32 ,求 {bn } 的前 n 项和Tn .
3

A )=0,a=1,求 2

(19) (本小题满分 12 分) 若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百 位数字,则称 n 为“三位递增数” (如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽 取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的 三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得 ?1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . (20) (本小题满分 13 分) 平面直角坐标系 中,已知椭圆 : 的离心率为

,左、右焦点分别是

.以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心

1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设椭圆 交椭圆 ( i )求 的值; 面积的最大值. 为椭圆 上任意一点,过点 的直线 于 两点,射线 交椭圆 于点 .

(ii)求△ (21)(本小题满分 14 分)

设函数 f (x )= In(x +1)+?(x 2 - x ) ,其中 ? ? R 。 (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?? >0, f ( ? ) ? 0 成立,求 ? 的取值范围。

4


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