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选修2-1第一章《常用逻辑用语》单元测试题1


选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》单元测试题 1(学生版) 时间 120 分钟,满分 150 分。
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.△ABC 中,sinA=sinB 是∠A=∠B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] △ABC 中,sinA=sinB?A=B. 2.如果命题“綈(p 或 q)”为假命题,则( A.p、q 均为真命题 B.p、q 均为假命题 C.p、q 中至少有一个为真命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 [答案] C [解析] ∵綈(p 或 q)假,∴p 或 q 真, ∴p 与 q 至少一真. 3.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M [答案] D [解析] 即原命题的逆否命题,结论的否定 b∈M 作条件,条件的否定 a?M 作结论,故 选 D. 1 3 4.如果不等式|x-a|<1 成立的充分非必要条件是 <x< ,则实数 a 的取值范围是( 2 2 1 3 A. <a< 2 2 1 3 B. ≤a≤ 2 2 3 1 C.a> 或 a< 2 2 ) ) ) )

3 1 D.a≥ 或 a≤ 2 2 [答案] B [解析] |x-a|<1?a-1<x<a+1 1 3 由题意知?2,2?? ? ? (a-1,a+1)则有 选 B. 5.设集合 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0}, 那么点 P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是( A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5 C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5 [答案] A [解析] ∵P∈A∩?UB, ∴P∈A 且 P?B,
?2×2-3+m>0 ? ∴? , ? ?2+3-n>0 ? ?m>-1 ∴? ,故选 A. ? ?n<5

?a-1≤2 ? 3 ?a+1≥2
1

1 3 ,且等号不同时成立解得 ≤a≤ ,故 2 2

)

6.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ... A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC [答案] C

)

7.已知数列{an},“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=3x+2 上”是“{an}为 等差数列”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] 点 Pn(n,an)在直线 y=3x+2 上,即有 an=3n+2,则能推出{an}是等差数列; 但反过来,{an}是等差数列,an=3n+2 未必成立,所以是充分不必要条件,故选 A. 8.(2010· 福建文,8)若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [答案] A [解析] 本题主要考查充分必要条件问题. 当 x=4 时,|a|= 42+32=5 当|a|= x2+9=5 时,解得 x=± 4. 所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件. 9.在命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则集合{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命 题,否命题,逆否命题的真假结论是( A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 [答案] D [解析] 若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,又 x∈R,则必存在 x,使 ax2+bx+c<0. 故原命题真,其逆否命题也为真,其逆命题为“若{x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物线 y= ax2+bx+c 的开口向下.” 当 a=0 时,显然为假命题,则其否命题也为假,故选 D. 10.(09· 宁夏海南理)有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:?x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny p3:?x∈[0,π], 1-cos2x =sinx 2 ) )

π p4:sinx=cosy?x+y= 2 其中假命题的是( A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 )

D.p3,p4 [答案] A x x π [解析] p1 是假命题,∵?x∈R,sin2 +cos2 =1;p2 是真命题,例如:当 x=y= 时, 2 2 2 sin(x-y)=sinx-siny=0. p3 是真命题, ∵?x∈[0,π],sinx>0, ∴ 1-cos2x =|sinx|=sinx. 2 π x+y= . 2 )

π 7π p4 是假命题,例如:sin =cos 6 3

π 2π 11.“θ= ”是“tanθ=2cos?2+θ?”的( ? ? 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A

π 2π [解析] 解法一:∵θ= 为方程 tanθ=2cos?2+θ?的解, ? ? 3 π 2π ∴θ= 是 tanθ=2cos?2+θ?成立的充分条件; ? ? 3 π 8π 又∵θ= 也是方程 tanθ=2cos?2+θ?的解, ? ? 3 π 2π ∴θ= 不是 tanθ=2cos?2+θ?的必要条件,故选 A. ? ? 3 π 解法二:∵tanθ=2cos?2+θ?, ? ? 1 ∴sinθ=0 或 cosθ=- , 2 π ∴方程 tanθ=2cos?2+θ?的解集为 ? ?
? ? 2 A=?θ?θ=kπ或θ=2kπ±3π,k∈Z ?, ? ? ? ?2π? 显然? 3 ?? A,故选 A. ? ?

12. a、 c 表示三条直线, β 表示两个平面, 设 b、 α、 则下列命题中逆命题不成立的是( A.已知 c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B.已知 b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a

)

C.已知 b?β,若 b⊥α,则 β⊥α D.已知 b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c [答案] C [解析] A 的逆命题是:c⊥α,若 α∥β,则 c⊥β,真命题;B 的逆命题是 b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥a,则 b⊥c. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设有两个命题:p:|x|+|x-1|≥m 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3m)x 是减函数, 若这两个命题中有且只有一个真命题,实数 m 的取值范围是________. [答案] 1<m<2 [解析] 若 p 为真命题,则根据绝对值的几何意义可知 m≤1. 若 q 为真命题,则 7-3m>1,所以 m<2,若 p 真 q 假,则 m∈?. 若 p 假 q 真,则 1<m<2. 综上所述,1<m<2. 14.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数 f(x)=3+log2x 的图象 与 g(x)的图象关于________对称,则函数 g(x)=________.(注:填上你认为可以成为真命题 的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形). [答案] 可以填以下几种情形之一: ①x 轴,-3-log2x ②y 轴,3+log2(-x) ③原点,-3-log2(-x) ④直线 y=x,2x
-3

15.已知 p:a+b≠5,q:a≠2 或 b≠3,则 p 是 q 的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 命题:“如果 a+b≠5,则 a≠2 或 b≠3”的逆否命题为“如果 a=2 且 b=3, 则 a+b=5”,显然是真命题. ∴p?q 即有:p 是 q 的充分条件. 同理:p 不是 q 的必要条件. ∴p 是 q 的充分条件,但不是必要条件. 16.(2010· 四川文,16)设 S 为实数集 R 的非空子集,若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x -y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+b 3.a,b 为整数}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) [答案] ①② [解析] 本题考查根据所给信息解决实际问题的能力,要注意从基本概念,基本公式着 手,理解题目中给出的信息是什么. 对于①②都正确,对于③,封闭集不一定是无限集,例如当 S={0}时,S 是有限集,对 于④不正确,例如当 S={0},M 是自然数集 N 时,M 不是封闭集. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)将下列命题改写为“若 p,则 q”的形式.并判断真假. (1)偶数能被 2 整除; (2)奇函数的图象关于原点对称; (3)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角不相等. [解析] (1)若一个数是偶数,则它能被 2 整除.真命题. (2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题. (3)在同圆或等圆中,若两个角是同弧或等弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题. 18.(本题满分 12 分)“菱形的对角线互相垂直”,将此命题写成“若 p 则 q”的形式, 写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并指出其真假. [解析] “若 p 则 q”形式: “若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直” 逆命题:“若一个四边形的对角线互相垂直,则它是菱形”,假. 否命题:“若一个四边形不是菱形,则它的对角线不垂直”,假. 逆否命题:“若一个四边形的对角线不垂直,则它不是菱形”,真. x 19.(本小题满分 12 分)已知命题 p:lg(x2-2x-2)≥0;命题 q:|1- |<1.若 p 是真命题, 2 q 是假命题,求实数 x 的取值范围. [解析] 由 lg(x2-2x-2)≥0 得 x2-2x-2≥1,即 x2-2x-3≥0, 即(x-3)(x+1)≥0, ∴x≥3 或 x≤-1. x x 由|1- |<1,-1<1- <1 2 2 ∴0<x<4. ∵命题 q 为假, ∴x≤0 或 x≥4, 则{x|x≥3 或 x≤-1}∩{x|x≤0 或 x≥4} ={x|x≤-1 或 x≥4}, ∴满足条件的实数 x 的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞).

20.(本小题满分 12 分)已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若 p 是 q 的充分 不必要条件,求实数 a 的取值范围. [解析] p:A={x|x<-2 或 x>10},q:b={x|x<1-a 或 x>1+a,a>0}如图

依题意,p?q,但 q ?/ p,说明 A? B,则有

?a>0 ? ?1-a≥-2 且等号不同时成立,解得 0<a≤3 ?1+a≤10 ?
∴实数 a 的取值范围是 0<a≤3 21. (本小题满分 12 分)求使函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴上方 成立的充要条件. [解析] 要使函数 f(x)的图象全在 x 轴上方的充要条件是:
? 2 ? 2 ?a +4a-5>0 ?a +4a-5=0 ? 或? 2 2 ?Δ=16(a-1) -4(a +4a-5)×3<0, ?a-1=0 ? ?

解得 1<a<19 或 a=1,故 1≤a<19. 所以使函数 f(x)的图象全在 x 轴的上方的充要条件是 1≤a<19. 22.(本小题满分 14 分)证明二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两 侧的充要条件是 af(m)<0. b b2 [解析] 充分性:设 Δ=b2-4ac≤0 则 af(x)=a2x2+abx+ac=a2(x+ )2- +ac=a2(x 2a 4 b 1 + )2- (b2-4ac)≥0, 2a 4 所以 af(m)≥0,这与 af(m)<0 矛盾,即 b2-4ac>0. 故二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有两个不等的零点,设为 x1,x2,且 x1<x2,从而 f(x) =a(x-x1)(x-x2), af(m)=a2(m-x1)(m-x2)<0,所以 x1<m<x2. 必要性:设 x1,x2 是方程的两个零点,且 x<x2,由题意知 x1<m<x2, 因为 f(x)=a(x-x1)(x-x2),且 x1<m<x2. ∴af(m)=a2(m-x1)(m-x2)<0,即 af(m)<0. 综上所述,二次函数 f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是 af(m)<0.


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