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第15课时5.2.2数学归纳法应用


第15课时
第5章 数学证明
5.2数学归纳法
5.2.2数学归纳法应用

数学归纳法应用
? 例2:某次象棋比赛共有人参加,每两个 都应对奕,且一定决出胜负.证明:比赛 结束后,可将这个人列为一队,使队列 中的每一个人都曾战胜过紧跟在他后面 的那个人.

? 例3.有2n+1个飞机场,每个机场都

有一架飞机,各 个机场间的距离都不相等,让所有的飞机一起起飞, 飞向最近的机场降落。 ? 求证:必存在一个机场,没有飞机降落。 ? 1当n=1时,3个机场为A、B、C,且BC<AC,BC<AB ? 则B、C间的飞机必定对飞, ? 于是不管A机场的飞机飞向B还是C机场,A机场都没 有飞机降落。 ? 2假设n=k时命题成立,则当n=k+1即2k+3个机场时, ? 由于各机场间距离都不相等,必有两个机场间距离最 短,这两处的飞机对开。 ? 将这两机场“撤出”,由假设,剩下的2k+1个机场 中,必存在一个机场P没有飞机降落。 ? 再把“撤出”的两机场复归,则机场P仍无飞机降落, ? 得n=k+1时命题仍成立。

第二数学归纳法例举

? 例4、有两堆棋子,数目相等。两人玩耍,每人可以在一堆里 任意取几棵,但不能同时在两堆里取,规定取得最后一棵者胜。 问先取者得胜,还是后取者可以得胜?试加以证明。 ? 猜测“后取者可以得胜”。 ? 证明:(1)当n=1时,必是后取者得胜。 ? (2)假设当n≤k时命题成立,对于n=k+1,当先取者在一堆里 取棋子m (1≤m≤k+1)颗时, ? 后取者则在另一堆里取棋子m颗,两堆棋子仍都是(k+1-m)颗。 ? 这样就变成了 n=k+1-m的问题,按照归纳假设,后取者可以得 胜,即n=k+1命题也成立。 ? 由第二数学归纳法,证明了:对于任意正整数 n,后取者按上 述策略都可以得胜。 ? 思考:若两堆棋子的数目不同,则先取者和后取者哪个有必胜 的策略?

案例1
多面体欧拉公式

多面体欧拉公式的证明及其在平面上的推广 ——连通平面图的特征
? 外部面 —— “海洋”,内部 面。 ? 连通图:图中任意两点都有 路相通。 ? 如果一个连通的平面图G有V 个顶点,E条边,F个面,那 么V-E+F=2。 ? 对平面图的边数用数学归纳 法证明

如果一个连通的平面图G有V个顶点,E条 边,F个面,那么V-E+F=2。
? 思考:对 V,E,F 哪个量进行归纳 比较合适? ? 对边数E进行归纳试试看! ? 证明: ? 1)若G只有1条边,则 ? V=2,E=1,F=1,故V-E+F=2成立。 ? 2 )假设 G 为有 k 条边的连通的平 面图,公式Vk-Ek+Fk=2成立。 ? 考察 G 为( k+1)条边时的情况。 ? 即当图 G由 k条边增加 1条边,使 它仍为连通图时,有哪些情形?

连通平面图G有V-E+F=2成立
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2) 当G为(k+1)条边时,只有两种情形: 1 )增加一个新顶点 v/,则 v/ 必与图中的一点 v 相连。 此时,Vk与Ek都增加1,而Fk不变, 故Vk+1-Ek+1+Fk+1 =(Vk+1)-(Ek+1)+Fk=Vk-Ek+Fk=2. 2)用一条边连结图中两个顶点u和v。 这时,Ek和Fk都增加1,而顶点数Vk没有变, 故Vk+1-Ek+1+Fk+1 =Vk-(Ek+1)+(Fk+1)=Vk-Ek+Fk=2. 所以,E=k+1时,公式V-E+F=2也成立。 由数学归纳法,命题对任何正整数E都成立。


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