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三角形“四心”与向量练习题


1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP =

1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的( B ) 3 2 2
A.AB 边中线的中点 C.重心 B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点

分 析 :

取 AB 边 的 中 点 M , 则 OA ? OB ? 2OM , 由 OP ? = 3 OP ? 3OM ? 2MC ,∴ MP 不过重心,故选 B.

1 1 1 ( OA ? + OB +2 OC ) 可 得 3 2 2

?

2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点 P 3
??? ? 2 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2

2.在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB , 则O为 ?ABC 的 ( D ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足: PA ? PB ? PC ? 0 , 则 P 为 ?ABC 的( C ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4.已知 O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:

??? ? ??? ? ??? ?

OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三角形的(
外心 B 内心 C 重心 D 垂心

C



A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满足: D ) A

6.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足: a ? PA ? b ? PB ? c ? PC ? 0 ,则 P 点为三 角形的( B ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 7 .在三角形 ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点轨迹一定通过△ ABC 的: ( B ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 → → → → 1 AB AC AB AC → → → 8.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? AB AC ? ? ???? )· 解 析 : 非 零 向 量 与 满 足 ( ??? =0 , 即 角 A 的 平 分 线 垂 直 于 BC , ∴ AB=AC , 又 | AB | | AC | ? ? ?? ? ? ?? ? AB AC 1 c o sA ? ? ? ??? ? ? ?? = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形,选 D. 2 3 | AB| | AC|
9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m = 1

OB ? OB ? OC ?OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的(B ) 10.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
11.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

AB AB

?

AC AC

),

? ? ?0,??? 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的(
(A) 外心(B)内心(C)重心(D)垂心



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A

e1
C B P 解析:因为

e2
C C

AB AB

是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ,

??? ?

??? ?

??? ?



则原式可化为 AP ? ? (e1 ? e2 ) , 由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC , 那么在 ?ABC OP ? OA ? AP , 中,AP 平分 ?BAC ,则知选 B.

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